Пусть в некоторой окрестности точки (x0 ,y0) задана функция f(x,y). Фиксируя переменную y(y=y0), получим функцию одной переменной x: f(x,y0). Обычная производная этой функции в точке x=x0 называется частной производной функции f(x,y) в точке (x0,y0) по x и обозначается
Т.о,
Если вспомнить определение производной функции одной переменной, то
Или, если ввести обозначение
f(x0 + Δx, y0) – f(x0, y0) = Δxf
Где Δxf – приращение функции по переменной x, то
Аналогично вводится частная производная по y:
Или
Где Δyf – приращение функции по y.
и - единые символы, так как в них числитель и знаменатель не имеют самостоятельного смысла. По аналогии с функциями 1ой переменной линейные функции и , переменных dx и dy, называемых дифференциалами независимых переменных, называются частными дифференциалами функции f(x,y) соответственно по переменным x и y обозначаются так:
Аналогичные определения имеют место для любого числа переменных.
Для нахождения частной производной функции 2ух переменных по переменной x(y) необходимо применять правило дифференцирования и таблицу производных для функции 1ой переменной считая всё что x(не y) константой.