Уравнение вида y'+ρ(x)y=f(x), где ρ(x) и f(x) непрерывные функции, называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка относительно у. Если f(x)=0, то уравнение называется линейным однородным, иначе- лин. Неоднород.
Лин. Однород.-это ур-е с раздел-ся переменными, его общее решение выражается формулой у=Се-∫p(x)dx. Для реш-я лин неоднород ур-я можно применить метод вариации произвольной постоянной, тогда общее реш-е неоднород
у=С(х) е-∫p(x)dx.
Уравнением Бернулли наз-ся ур-е вида y’+p(X)y=q(x)yα, где α-действительное число. В случае α=0,α=1 ур-е является линеным. Во всех других случаях оно сводится к линейному при помощи подстановки u=y1-α. Но можно решать подстановкой y=uv.Записав ур-е в виде u’v+(v’+p(x)v)u=q(x)uαvα, находим частное реш-е ур-я v’+p(x)v=0 и общее реш-е ур-я u’=q(x)uαvα-1.Тогда y(x)=u(x,C)v(x) даст общее реш-е ур-я Бернулли.