| Ɛ M0 |
В окрестности множество точек, лежащие внутри
Круга с центром в точке М0 и радиусом Ɛ. (Ɛ→0)
Аналогично определяется и локальный максимум: точка М0 – точка локального максимума для функции Ƶ = f(x, y), если для любой точки М из Ɛ окрестности точке М справедливо неравенство:
На практике для нахождения экстремумов необходимы 2 условия в виде теорем:
Теорема 1. (необходимое условие существования экстремума в точке М0)
Если М0 – точка локального экстремума, то в точке М0 1ые производные функции 2ух переменных обращаются в 0.
Несмотря на то, что это условие является необходимым, оно используется для выбора среди точек из области определения ряда точек, в которых может быть экстремум. Конкретно для выбора экстремальных точек среди уже отобранных с помощью Теоремы 1 , применяется Теорема 2(критерий Сильвестра).
Теорема 2. Функция Ƶ = f(x, y) имеет в М0 экстремум, если определитель 2го порядка, состоящий из всевозможных 2ых производных функции 2ух переменных и вычисленный в этой точке М0 >0. >0
⃒M0=(x0, y0)
Характер экстремума определяется по 1му элементу, а именно, если , то в точке М0 достигается минимум, если , то в точке М0- максимум.
Если при вычислении Δ он окажется < 0 , то в точке М0 экстремума нет, если Δ = 0, то вопрос о существовании экстремума в точке M0 остается открытым – нужны дополнительные исследования.
Ввиду того, что = ( при выполнении условия теоремы) критерий можно переписать в следующем виде: Δ = 2⃒М0
8.Свойства неопределённого интеграла
1. (òf(х)dх)'= f(х)
(òf(х)dх)'=(F(x)+C)'=F'(x)+C'= f(х)
2.Интеграл от дифференциала ф-ции f(х)равен самой ф-ции f(х) òdf(х)= f(х)
3.Свойство линейности. Интеграл от линейной комбинации двух ф-ций равен
ò( α1f1(х)± α2f2(х))dх= α1 òf1(х)dх± α2òf2(х)dх
Св-во 1 неопред. интеграла будем использовать на практике для проверки правильности нахождения неопред. интеграла.
В рез-те дифференцирования любой ф-ции, заданной в виде линейной комбинации элементарной ф-ции всегда получается также комбинация элементарной ф-ции. При нахождении неопред. интеграла от комбинации элементарных ф-ций не всегда получается комбинация элементарн. ф-ций, т.е. не все комбинации элементарн. ф-ций интегрируются, т.е. интегралы не от всяких ф-ций берутся.
Известные примеры «не берущихся» интегралов
- интеграл Пуасона
- интеграл Кринеля
25. Понятие несобственных интегралов I рода. Пример интеграл Дирихле I рода.
Если в определении определенного интеграла нарушено либо условие непрерывности функции, либо условие конечности отрезка интегрирования, то имеем дело с НИ.
1) Если отрезок интегрирования [a,b]- бесконечен, то НИ-1
2) Если подынтегральная функция y=f(x) разрывна на отрезке [a,b], то НИ-2
Рассмотрим НИ-1. Их может быть 3 варианта: 1) 2) 3)
Дадим определение НИ-1первого варианта: =
В случае если при вычислении НИ-1 получается константа, то говорят, что НИ-1 сходятся к этому числу. В случае если в ответе получается ∞ или предел не существует, то говорят, что НИ-1 расходится.
Аналогично определения и других НИ-1: ;
Пример: = = =
Вывод: НИ сходится к π.