y’’ + py’ + qy =f(x) (1)
если f(x)=0, то уравнение называется однородным.
В случае если у однородного уравнения p(x) и q(x)- const.
То уравнение примет вид y’’ + py’ + qy = 0 , которое называется ЛОДУ II
порядка с постоянными коэффициентами. y’’ + py’ + qy = 0 (2)
Ур-е (2) имеет общее решение, которое может быть представлено в
виде, где у1 и у2 линейно независимые решения ур-я (2). (ф-ии y1 и y2 назыв. линейно-
независимыми на [a;b] если y1(x)/ y2(x) не явл. const
при х принадлежащем [a;b])
yоо=С1у1+С2у2 (3)
yоо – общее решение однородного ур-я.
Док-во. для того чтобы док-ть что уоо явл решением ДУ (2), то по определению
ДУ (3) будучи подставленным в ДУ (2) оно должно обращать его в равенство,
иначе (3) не является решением (2).
Подставляем (3) в (2), для этого предварительно найдем 1-ую и 2-ую производную.
y'оо= c1y’1+c2y’2
y'’оо= c1y’’1+c2y’’2
имеем
(c1y’’1+c2y’’2)+p(c1y’1+c2y’2)+q(С1у1+С2у2)=0
Раскроем скобки и перегруппируем слагаемые.
С1( y1’’+py1’+qy1)+ С2(y2’’+py2’+qy2)=0
Каждая из этих скобок тождества равны 0, т.к по условию теоремы
у1 и у2 – решения ур-я (2)
Т.О нами доказано что уоо будучи подставленным в (2) вместо у,
обратил его левую часть в 0, а это значит, что уоо,
описанный формулой (3) является решением уравнения(2).
yoo=eαx(C1cosβx + C2sinβx)