Для нахождения ф-ий у1 и у2 Эйлером был предложен метод,
так называемого характеристического уравнения, с помощью
которого ищется у1 и у2, а=> и общее решение уравнения y’’ + py’ + qy = 0 (1)
Суть метода состоит в том что вместо исходного ДУ (1)
решается так называемое характеристическое уравнение которое
получается из ур-я (1) с помощью замены у’’→k2 , y’→k, y→1. т.о
уравнению (1) соответствует характеристическое ур-е k2+pk+q=0 (2)
– квадратное ур-е, корни которого опред. стр-ру ф-ий у1 и у2 в
зависимости от его дискриминанта.
Рассмотрим возможные варианты:
1.Пусть квадратное хар. ур-е имеет D>0, в этом случае
Ур-е (2) имеет два различных действительных корня,
которые мы обозначим k1 и k2 принадлежат R.
у1 =еk1x , y2=ek2x , а уоо=С1еk1x+С2ek2x
2.D=0
При решении квадратного ур-я (2) имеется два действительных
совпадающих корня k1 и k2 ( k1 =k2=k) принадлежит R. в этом случае
у1=kx, y2=xekx
yoo= С1еkx+С2xekx
3.D<0
В этом случае имеется два комплексно сопряженных корня
k1=α+βi и k2= α-βi принадлежат C.
В этом случае у1 =eαxcosβx и у2=eαxsinβx