Дифференциального уравнения II порядка.

y’’ + py’ + qy = f(x) (1)

y_oн=y_oo+y_чн ,где y_oo – общее решение соотв. однородного ДУ

y_чн – какое-то частное решение ур-я (1)

y_oн – общее решение (1)

Т. о структуре общего решения неоднородного ЛДУ II

Если y_oн это решение (1), то будучи подставленным в него, Обращает это уравнение в тождество.

y_oн=y_oo+y_чн

лдя этого найдем 1-ую и 2-ую производные.

y’_oн=y’_oo+y’_чн

y’’_oн=y’’_oo+y’’_чн

y’’_oo+y’’_чн+p(y’_oo+y’_чн)+q(y_oo+y_чн)=f(x)

преобразуем левую часть равенства.

(y’_oo+py’_oo+qy_oo)+(y’’_чн+py’_чн+qy_чн)=f(x) => f(x)=f(x)

первая скобка обращается в 0 т.к y_oo – общее решение соотв. однородного ур-я, а значит будучи подставленным в него, обращает уравнение в тождество т.е 0 вторая скобка = f(x) т.к y_чн – частное решение неоднор. ур-я. Т.е будучи подставленным в него обращает (1) в тождество (в f(x))