Сходящиеся и расходящиеся ряды. Исследование сходимости рядов вида

Ряды бывают: сходящиеся и расходящиеся.

Если в ряде a₁+a₂+…+a_n+… (1) взять сумму первых n-слагаемых, то получим n-ую частичную сумму ряда (S_n)

S_n=a₁+a₂+…a_n(2)

Ряд (1) называется сходящимся, если сущ-ет конечный предел при n→∞, n-ой частичной суммы ряда, т.е.: =S (*), т.к. предел существует и конечен, то он = константе S.

Теорема: для сходящегося ряда справедлива формула S=S_n+R_n, где R_n– n-ый остаток ряда, предел которого при n→∞равен 0.

Доказательство: рассмотрим ф-лу (1) в развернутом виде:

a₁+a₂+…+a_n+a_n+1+a_n+2+…=S_n+R_n

 

S_n R_n

Возьмем предел от суммы:

= + = = S

Т.к. ряд сходится, то справедлива ф-ла (*),значит = S.

S=S_n+R_n(3)

Т.к. S- константа, то по т. о пределе константы:

В ф-ле (3) S - называется суммой ряда

Sn – энная частичная сумма ряда

Rn – энный остаток ряда

Примером ряда может служить сумма бесконечная геометрическая прогрессия вида:a+ aq+aq²+…+aq^n-1+… = , a≠0

Вычислим для данного ряда S, для этого рассмотрим S_n:

S_n = a+aq+aq²+…+aq^n-1 =

Для того что бы найти S и сделать вывод о сходимости или расходимости ряда вычислим предел S_nпри n→∞:

=

Вычисление предела зависит от того, какое значение принимает q.

Рассмотрим три случая:

1. │q│>1, ∞

2. │q│<1,

3. │q│=1, при q=-1,предел не существует

При q=1, = = ∞

Вывод:беск. сумма прогр. сходится к числу , при │q│<1; беск. сумма прогр. расходится в случае │q│≥1.

Далее рассмотри гармонический ряд 1 + ½ + 1/3 + 1/4 + … +1/n+…

a_n = =0

Еслиlim общ.члена ряда при n→∞равен 0, то о сходимости ряда ничего неизвестно, т.е. нужны дополнительные исследования.