Методическое пособие для выполнения практических работ по дисциплине Математика часть 1

ОБЛАСТНОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
СРЕДНЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«КУРСКИЙ ТЕХНИКУМ СВЯЗИ»

 

Методическое пособие для выполнения практических работ по дисциплине «Математика» (часть 1).

для профессий начального профессионального образования и специальностей среднего профессионального образования;

 

 

г. Курск 2013 г

РАССМОТРЕНО УТВЕРЖДАЮ

на заседании методической комиссии директор ОБОУ СПО « КТС»

Протокол №____ от _____ ______________ П.П.Ремпель

Председатель методической комиссии Приказ №__________________

__________ Л.А.Лабузова от «____»_______2013г.

Согласовано

Заместитель директора по ООД

__________Т.В.Домашева

 

Автор: Николенко Денис Владимирович, преподаватель ОБОУ СПО «Курский техникум связи»

 

Рецензенты:

1.Чекоданова Екатерина Алексеевна, преподаватель математики ОБОУ СПО «Курский автотехнический колледж»

2.Нескородова Ирина Андреевна, преподаватель математики ОБОУ СПО «Курский техникум связи»,высшей квалификационной категории.

 

Пояснительная записка

Методическое пособие состоит из 28 практических работ, каждая из которых проводится после изучения соответствующей темы курса. По каждой теме… Все работы содержат задания для самостоятельного выполнения. Кроме того, здесь… При работе со студентами на очном и очно-заочном отделениях используется электронная версия данного методического…

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА № 1

Пропорции. Проценты.

1) Обобщить теоретические знания по теме «Проценты и пропорции». 2) Рассмотреть виды и алгоритмы решений задач на проценты, составление… 3) Формировать тактичность; терпимость; умение доказать свою точку зрения при работе в коллективе.

Задача 1.

Цена товара понизилась на 40%, а затем ещё на 25%. На сколько процентов понизилась цена товара по сравнению с первоначальной? Сколько стал стоить товар, если его первоначальная стоимость была 3000 р.?

Решение. Первоначальную цену принимаем за 100%. После первого понижения цена товара стала равна:

Второе снижение происходит от новой цены:

Таким образом, общее снижение цены товара равно:

Цена товара после второго снижения стала равной:

4)100% – 55% = 45%
Найдем 45% от 3000р.

5) = 1350 (р.)
Ответ: на 55% понизилась цена товара по сравнению с первоначальной;
1350 р. стал стоить товар.

Задача 2.

Катя ест пирожок с малиновым вареньем. После каждого откусывания масса пирожка уменьшается на 20%. После второго откусывания она составила 160г. Какой она была вначале? Сможет ли Катя при таких условиях доесть пирожок?

Решение:

1) 100% – 20% = 80%- процентное содержание пирожка после первого откусывания;

2) Второе откусывание происходит от остатка.
=16% – откусили во второй раз

3) 80% – 16% = 64% – процентное содержание пирожка после второго откусывания;

4) Т.к 64% равны160 г, имеем
(г) – первоначальная масса пирожка

Ответ: 250г, нет

Задача 3.

В магазине батон хлеба стоит 10 руб., а на лотке цена такого же батона – 9 руб.

Определите:

1) На сколько процентов дешевле продается батон с лотка, чем в магазине?
2)На сколько процентов батон хлеба в магазине дороже, чем на лотке?

Решение:

1) По условию цена “дешевого” батона сравнивается с ценой “дорогого”.
В таких задачах всегда за 100% принимают то, с чем сравнивают.
100% – батон в магазине:
= 90%
100%-90%=10% – продается дешевле с лотка

2) На этот раз “дорогой” батон сравнивается с “дешевым”.
Значит 100% – батон на лотке:
= 111,1%
111,1% – 100% = 11,1% – продается дороже в магазине

Ответ: на лотке батон на 10 % дешевле, чем в магазине; в магазине батон на 11,1% дороже, чем на лотке.

Задача 4.

На складе было 100 кг ягод. Анализ показал, что в ягодах 99% воды. Через некоторое время часть воды испарилась, и её процентное содержание в ягодах упало до 98 %. Сколько теперь весят ягоды?

Решение:

Решая задачи, в которых речь идёт о свежих и сухих фруктах и т. п., как правило, следует найти массу сухого вещества, которая остается неизменной.

1) Найдем массу сухого вещества в ягодах.
100%-99% =1% -процентное содержание сухого вещества в ягодах;
100: 100 = 1(кг) – масса сухого вещества.

2) 100%-98% =2% – процентное содержание сухого вещества в ягодах после испарения части воды;

3) Найдем новую массу ягод. Т.к. 2% равны 1 кг, имеем
= 50(кг)
Ответ: 50 кг

Задача 5 .

Свежий гриб содержит 90% воды, а сушеный 15%. Сколько сушеных грибов получится из 17 кг свежих? Сколько надо взять свежих грибов, чтобы получить 3,4 кг сушеных?

Решение:

1) 100%-90% =10% – процентное содержание сухого вещества в свежих грибах;
= 1,7(кг) – масса сухого вещества
100%-15% =85% – процентное содержание сухого вещества в сушеных грибах;
Т.к. 85% равны 1,7 кг, имеем
=2(кг) – сушеных грибов

2) Найдем массу сухого вещества в 3,4 кг сушеных.
(кг)
Т.к 2,89 кг равны 10%, имеем
(кг)- свежих грибов надо взять

Ответ: 2 кг, 28,9 кг

Задача 6 .

В 400 г воды растворили 80 г соли. Какова концентрация полученного раствора?

Решение:

1) Учтем, что масса полученного раствора
400+80 = 480(г)

2) Сколько процентов 80 г составляют от 480 г?
= 16,7%

Ответ: 16,7% концентрация полученного раствора.

Задачи для самостоятельного решения

Задача 1.При сушке ромашки теряется 85% первоначального веса. Учащиеся собрали 105 кг цветов ромашки. Достаточно ли этого количества, чтобы выполнить взятое обязательство – сдать в аптеку 15 кг сухой ромашки?

Задача 2.Вкладчик взял из сбербанка 25% своих денег, потом оставшихся и ещё 64 тыс. р. После этого у него осталось на сберкнижке 15 % всех его денег. Как велик вклад?

Задача 3. Мебельный гарнитур стоил 25 000 рублей. Какова будет его цена, если в связи с рождественскими праздниками, в магазине объявлена скидка на 10% на всю мебель?

Примечание: важно обратить на возможность более рационального решения с учетом повторенного на устном счете факта, что найти10% можно, разделив заданную величину на 10.

Задача 4. Некоторый товар сначала подорожал на 10%, а затем во время распродажи подешевел на 10%. Изменилась ли его цена?

Задача 5. Антикварный магазин, купив два предмета за 225 тыс. руб., продал их, получив 40 % прибыли. За какую цену был куплен магазином каждый предмет, если при продаже первого предмета было получено 25% прибыли, а второго —50%?

Ответ: 90 тыс. руб.; 135 тыс. руб.

Задача 6. Стоимость 70 экземпляров первого тома книги и 60 экземпляров второго тома составляла 230 тыс. руб. В действительности за все эти книги уплатили 191 тыс. руб., так как была произведена скидка: на первый том -15%, а на второй том - 20 %.

Пропорция.

Задачи на проценты удобно решать единым методом –составлением пропорции. Пример. Комиссионный магазин помогает населению продавать вещи и берёт за услугу 7% … от стоимости проданной вещи. Сколько денег удержит магазин, если вещь была продана за 5460 руб.

I Вариант

1.Дневная норма вытачивания токарем деталей составляет 24 детали.

Токарь выполнил за день работу, составляющую 125% нормы. Сколько деталей выточил токарь за день?

2.Токарь выточил за день 30 деталей, что составило 125% . Какова дневная норма выработки токаря?

3. Дневная норма выработки токаря 24 детали, а выточил он 30 деталей. На сколько % выполнил токарь дневную норму?

II Вариант

1.В школе 800 учащихся, из них 120 спортсменов. Сколько процентов составляет число спортсменов от числа учащихся.

2. Составить и решить обратную задачу- на нахождение процентов от числа.

3. Составить и решить обратную задачу- на нахождение числа по его процентам.

III Вариант

1.Бригада должна по плану построить жилой дом за 400 дней. Однако, работая по новой технологии, эта бригада построила дом за 320 дней. На сколько процентов сократилось время строительства дома благодаря новой технологии? (Сравните ответ с ответом следующей задачи).

2. Рабочий зарабатывал 320 руб. в час. После перехода на новую технологию он заработал 400руб. в час. На сколько процентов вырос заработок рабочего?

3.Сравнить с ответом предыдущей задачи. Почему ответы разные?

Список литературы

1. Пехлецкий И. Д. Математика, СПО. - М.: Академия, 2008.

2. Григорьев С.Г., Задулина С.В. Математика, СПО. - М.: Академия, 2009.

3. Спирина М.С., Спирин П.А. Теория вероятностей и математическая статистика, СПО. - М.: Академия, 2007.

4. Валуце И.И., Дилигул Г.Д. Математика для техникумов. - М.: Наука, 1980.

5. Подольский В. А., Суходский А.М. Сборник задач по высшей математике. - М.: Высшая школа, 1974.

6. Башмаков М.И. Математика, 10 кл. - М.: Академия, 2009.

7. Башмаков М.И. Математика, 11 кл. - М.: Академия, 2009.

8. Шибасов Л.П., Шибасова З.Ф. За страницами учебника математики. - М.: Просвещение, 1997.

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА № 2

Цели урока: 1) Обобщить теоретические знания по теме: «Уравнения и неравенства». 2) Рассмотреть алгоритмы решений заданий теме «Уравнения и неравенства», решить задачи.

Уравнения, содержащие переменную под знаком модуля.

  П р и м е р: Решить уравнение . Р е ш е н и е. Если , то и данное уравнение примет вид . Можно записать так:

Уравнения с переменной в знаменателе.

Решение уравнения вида (1) основано на следующем утверждении: дробь равна 0 тогда и только тогда, когда ее числитель равен 0, а знаменатель отличен… В соответствии со сказанным решение уравнения проводится в два этапа:…  

Рациональные уравнения.

Чтобы решить рациональное уравнение, нужно: найти общий знаменатель всех имеющихся дробей; заменить данное уравнение целым, умножив обе его… Решение уравнения p(x) = 0 методом разложения на множители. Если p(x) удается разложить на множители: , тогда уравнение принимает вид . Если а - корень уравнения , то…

Решение уравнений методом введения новой переменной.

П р и м е р: Решить уравнение . Р е ш е н и е. Положим , получим уравнение , откуда находим . Задача… Û

Иррациональные уравнения.

А) преобразуем заданное иррациональное уравнение к виду: ; Б) возводим обе части полученного уравнения в n - ую степень:

Метод интервалов

Решение. ОДЗ: откуда имеем x [-1; 5) (5; + ) Решим уравнение Числитель дроби равен 0 при x = -1, это и есть корень уравнения. Отметим найденный корень на…

Упражнения для самостоятельной работы.

, (х – 3) - х = 7 – 5х. (х + 2) - 11(х + 2) = 12.

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА № 4

Цели урока: 1) Обобщить теоретические знания по теме: «Функции, свойства и графики». 2) Рассмотреть алгоритмы решений заданий теме «Функции, свойства и графики», решить задачи.

Кубическая парабола задается функцией .

Перечислим основные свойства функции

Эти знания полезны при исследовании графиков функций.

График функции

Выполним чертеж:

 

 

График гиперболы

Опять же вспоминаем тривиальную «школьную» гиперболу .

Выполним чертеж:

 

Будет грубой ошибкой, если при оформлении чертежа по небрежности допустить пересечение графика с асимптотой.

Построить правую ветвь гиперболы Используем поточечный метод построения, при этом, значения выгодно…  

График косинуса

Построим график функции

 

Графики тангенса и котангенса

Построим график функции

 

 

График котангенса – это почти тот же самый тангенс, функции связаны тригонометрическим соотношением . Вот его график:

 

Графики обратных тригонометрических функций

Построим график арккосинуса Построим график арктангенса  

Математические портреты пословиц

Функции — это математические портреты устойчивых закономерностей, познаваемых человеком. Чтобы проиллюстрировать характерные свойства функций, нам… «Выше меры конь не скачет»Если представить траекторию скачущего коня как… «Пересев хуже недосева»Урожай лишь до некоторой поры растет вместе с плотностью посева, дальше он снижается, потому…

Задачи для самостоятельного решения

б)у=1/х, у=1/(x-2),y=1/x -2 на одной координатной плоскости. Построить графики функций c помощью преобразования координатной плоскости. 1.y=(x-2)2-1 2.y=1-√1-x 3.y=√x+4 -2

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА № 4

Натуральные числа

1) Обобщить теоретические знания по теме «Натуральные числа». 2) Рассмотреть виды и алгоритмы решений задач связанных с понятием… 3) Формировать умение доказать свою точку зрения при работе в коллективе.

Свойства сложения и умножения натуральных чисел

(a + b) + c = a + (b +c) - сочетательное свойство сложения ab = ba - переместительное свойство умножения (ab)c = a(bc) - сочетательное свойство умножения

Признаки делимости натуральных чисел

Шкалы и координаты

  Каждое деление соответствует одному градусу Цельсия (пишут 1 °С). Термометр… ·

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА № 5

Рациональные числа

1) Обобщить теоретические знания по теме «Натуральные числа». 2) Рассмотреть виды и алгоритмы решений задач связанных с понятием… 3) Формировать умение доказать свою точку зрения при работе в коллективе.

Пример

Дроби и эквивалентные, так как

Рациональным числом называется множество всех эквивалентных между собой дробей.

Сравниваются рациональные числа следующим образом:

1. Всякое положительное рациональное число больше нуля.

2. Всякое отрицательное рациональное число меньше нуля.

3. Из двух отрицательных чисел больше то, у которого абсолютная величина меньше.

Пример

, так как

 

Арифметические операции с рациональными числами

Сложение рациональных чисел. Чтобы сложить рациональные числа с одинаковыми знаками, складывают их абсолютные величины и перед суммой ставят их общий знак.

Чтобы сложить два рациональных числа с разными знаками, необходимо из числа с большей абсолютной величиной вычесть число с меньшей абсолютной величиной и поставить знак числа, большего по модулю.

Пример

Задание. Вычислить

 

 

 

Вычитание рациональных чисел. Чтобы вычесть одно рациональное число из другого, достаточно к уменьшаемому прибавить число, противоположное вычитаемому.

Пример

Задание. Вычислить

 

 

 

Умножение рациональных чисел. Чтобы перемножить два рациональных числа, надо перемножить их абсолютные величины и перед результатом поставить знак плюс, если оба сомножителя имеют одинаковые знаки, или минус, если сомножители разных знаков.

Пример

Задание. Вычислить

 

 

 

Деление рациональных чисел. Частное от деления двух рациональных чисел с одинаковыми знаками равно частному их абсолютных величин, взятому со знаком плюс.

Частное от деления двух рациональных чисел с разными знаками равно частному их абсолютных величин, взятому со знаком минус.

Пример

Задание. Вычислить

 

 

 

Возведение в степень. Степень рационального числа представляет собой произведение нескольких равных сомножителей.

Пример

Задание. Вычислить ;

 

Четная степень отрицательного числа положительная, нечетная степень - отрицательная.

 

 

Задачи для самостоятельного решения

Вариант 1.

1 Сравните числа: 1) 2) 3) 4) 5) 3,6 и – 2,12;

6) 4,5 и – 5,1; 7) -6,7 и -:6,18; 8) 9) -1,01 и -0,11; 10) -16,1 и -13,9; 11) ; 12) -3 и ; 13) 14) 15) -6,3 и -6,03.

2. Расположить в порядке убывания: -0,203; -0,1123; - 0,3354; -0,1234; 0,12345.

3. Расположить в порядке возрастания: -8; 1; -3,2; -4,123.

4. Решить уравнение: |х| =1; |у| = 0; |а| = - 13

5. Между какими соседними целыми числами заключено число а) -4,5 б) 3,8; в) -

6. Назовите три решения неравенства 1) х < 0; 2) у > 5

Вариант 2.

1 Сравните числа: 1) 2) 3) 4) 6 5) -3,6 и 2,12;

6) -4,5 и 5,1; 7) -6,17 и -:6,18; 8) 9) 1,21 и -10,11; 10) 1,61 и -13,9; 11) ; 12) -1,3 и ; 13) 14) 15) -6,23 и -6,33.

2. Расположить в порядке убывания: -1,203; -2,1123; - 2,3354; -1,1234; -1,12345.

3. Расположить в порядке возрастания: -18; 1,13; - 3,42; -4,423.

4. Решить уравнение: |х| =3; |у| = 17; |а| = - 13

5. Между какими соседними целыми числами заключено число а) -6,5 б) 7,8; в) -

6. Назовите три решения неравенства 1) х > 0; 2) у < 7

 

Практическое занятие № 6

«Иррациональные числа. Действительные числа. Приближенные вычисления»

Цели урока:

1) Обобщить теоретические знания по теме «Развитие понятия о числе».

2) Рассмотреть алгоритмы решений заданий теме « Иррациональные числа, приближенные вычисления, действия над действительными числами», решить задачи.

3) Формировать тактичность; терпимость; умение доказать свою точку зрения при работе в коллективе.

Теоретический материал

Десятичные дроби. Перевод десятичной дроби в обыкновенную дробь.

В десятичной дроби можно приписывать и отбрасывать справа нули - получится равная ей дробь. Дробь, имеющая бесконечное число знаков после запятой, называется бесконечной… Любую обыкновенную дробь можно представить в виде бесконечной десятичной дроби.   Числа, которые…

Пример.

Корень из 2

. Отсюда следует, что чётно, значит, чётно и . Пускай , где целое.…  

Приближенное значение величины и погрешности приближений.

Тот факт, что а' есть приближенное значение числа а, записывается следующим образом: а ≈ а'. Если а' есть приближенное значение величины а, то разность Δ = а — а' называется погрешностью приближения*.

Абсолютная величина суммы любых двух чисел не превышает суммы их абсолютных величин.

Разница между точным числом x и его приближенным значением a называется погрешностью данного приближенного числа. Если известно, что | x - a | <… Отношение абсолютной погрешности к модулю приближенного значения называется… Пример. | 1 — 20 | < | 1 | + | —20|.

Практическое занятие № 7

«Корни натуральной степени из числа и их свойства»

Цели урока:

1) Обобщить теоретические знания по теме: «Корни натуральной степени из числа и их свойства».

2) Рассмотреть алгоритмы решений заданий теме «Корни натуральной степени из числа и их свойства», решить задачи.

3) Формировать потребность к самопознанию; умение ставить цели и реализовывать их.

Определение корня:.
1. Арифметический корень: .
2. Свойства корней:

1) ;
2) ;
3) ;
4) , где m, n – натуральные числа.

5) .

3. Формулы сокращённого умножения:

1) (a + b)² = a² + 2ab + b²;
2) (a – b)² = a² – 2ab + b²;
3) a² – b² = (a + b) ∙ (a – b);
4) a³ + b³ = (a + b) ∙ (a² – ab + b²);
5) a³ – b³ = (a – b) ∙ (a² + ab + b²);
6) (a + b)³ = a³ + 3a2b + 3ab² + b³;
7) (a – b)³ = a³ – 3a2b + 3ab² – b³.

4. Определение логарифма: log_ab=x a^x=b, a>0, a 1, b>0.
5. Основное логарифмическое тождество: a^log_a^b=b .
6. Десятичный логарифм (по основанию 10): lgb:10^lgb=b.
7. Натуральный логарифм (по основанию e): lnb:e^lnb=b .
8. Свойства логарифмов:

1) log_a1=0;
2) log_aa=1 ;
3) log_a(x∙y)=log_ax+log_ay;
4) log_a =;log_ax-log_ay ;
5) log_ax^p= p∙log_ax;
6) – переход к новому основанию;
7) .

Базовый уровень

Пример . Вычислить . Решение: Ответ: 15. Пример . Вычислить: . Решение: . Ответ: 40. Пример . Сравнить числа и . Решение: Преобразуем данные числа так, чтобы степени корня в них были равны. …

Повышенный уровень

Пример . Вычислить . Решение: Ответ: 6. Пример . Вычислить . Решение: Ответ: – 33.

Базовый уровень

1) Вычислите .
2) Вычислите .
3) Вычислить без калькулятора .
4) Найдите значение выражения (10^–10 ∙ 100⁶ )^–1.
5) Упростите выражение .
6) Найдите значение выражения .

 

Средний уровень

13) Вычислите .

14) Вычислите .

 

Повышенный уровень

16) Вычислите . Список литературы 1.Пехлецкий И. Д. Математика, СПО. - М.: Академия, 2008.

Практическое занятие № 8

«Степени с рациональным показателем и их свойства»

Цели урока:

1) Обобщить теоретические знания по теме: «Степени с рациональным показателем и их свойства».

2) Рассмотреть алгоритмы решений заданий теме «Степени с рациональным показателем и их свойства», решить задачи.

3) Формировать потребность к самопознанию; умение ставить цели и реализовывать их.

Теоретический материал

При выполнении заданий по данной теме вы должны помнить:
1. Определения степени: где m – целое число, а n – натуральное.

2. Свойства степени:
1) a⁰=1;
2) ;
3) ;
4) ;
5) ;
6) ;
7) .
3. Определение корня: .
4. Арифметический корень: .

Примеры

Замечание. Заметим, что, хотя запись при нечетном n определена и при a<0, степень с дробным показателем мы используем только для a>0 Иными словами, запись возможна, а запись нет. Это связано с тем, что запись рационального числа в виде дроби неоднозначна. Например, Степени и должны быть одним и тем же числом, так как показатели равны, хотя и записаны по-разному. Примеры Приведение степеней к одному основанию (в данном случае, к основанию 2). 1) 2) 3) 4) Действия над степенями 1) 2) 3) 4) Решение простейших уравнений. 1) 2) 3) Сравнение степеней. 1) так как при 2) так как при 3) так как при 4) так как при

Задачи для самостоятельного решения

Упростить:    

Практическое занятие № 9

«Степени с действительным показателем и их свойства»

Цели урока:

1) Обобщить теоретические знания по теме: «Степени с действительным и их свойства».

2) Рассмотреть алгоритмы решений заданий теме «Степени с рациональным показателем и их свойства», решить задачи.

3) Формировать потребность к самопознанию; умение ставить цели и реализовывать их.

Теоретический материал

Определение. Пусть a > 0, b > 0, x и y - любые действительные числа. Тогда справедливы следующие св

ar · as = ar + s. ar : as = ar – s. (ar)s = ars. ar · br = (ab)r. 5.

Пример: Упростите выражения :

Решение

1) 2) Ответ. 1) 2) x – y.

Задачи для самостоятельного решения

1. Укажите выражение, равное степени 1. 2. 3. 4. 2. Представьте в виде степени произведение: 1. 2. … 3. Упростите выражение : и найдите его значение при х = 2 1. 2. 8 3. 4. – 8 …

Практическое занятие № 10

«Логарифмы и их свойства»

Цели урока:

1) Обобщить теоретические знания по теме: «Логарифмы и их свойства».

2) Рассмотреть алгоритмы решений заданий теме «Логарифмы и их свойства», решить задачи.

3) Формировать потребность к самопознанию; умение ставить цели и реализовывать их.

Теоретический материал

Логарифмом числапо основаниюназывается показатель степени, в которую надо возвести, чтобы получить .

То есть основное логарифмическое тождество:

, ,

является по сути математической записью определения логарифма.

Математическая операция логарифмирование является обратной по отношению к операции возведения в степень, поэтому свойства логарифмов тесно связаны со свойствами степени.

Перечислим основные свойства логарифмов:

( , , , ,

1.

2.

3.

4.

5.

Следующая группа свойств позволяет представить показатель степени выражения, стоящего под знаком логарифма, или стоящего в основании логарифма в виде коэффициента перед знаком логарифма:

6.

7.

8.

9.

Следующая группа формул позволяет перейти от логарифма с данным основанием к логарифму с произвольным основанием, и называетсяформулами перехода к новому основанию:

10.

11.

12. (следствие из свойства 11)

 

Следующие два свойства не очень известны, однако они часто используются при решении логарифмических уравнений, или при упрощении выражений, содержащих логарифмы:

13.

14.

Частные случаи:

– десятичный логарифм

- натуральный логарифм

При упрощении выражений, содержащих логарифмы применяется общий подход:

1. Представляем десятичные дроби в виде обыкновенных.

2. Смешанные числа представляем в виде неправильных дробей.

3. Числа, стоящие в основании логарифма и под знаком логарифма раскладываем на простые множители.

4. Стараемся привести все логарифмы к одному основанию.

5. Применяем свойства логарифмов.

Давайте рассмотрим примеры упрощения выражений, содержащих логарифмы.

Пример 1.

Вычислить:

 

Упростим все показатели степеней: наша задача привести их к логарифмам, в основании которых стоит то же число, что и в основании степtни.

= =(по свойству 7) =(по свойству 6) =

 

 

Подставим показатели, которые у нас получились в исходное выражение. Получим:

 

Ответ: 5,25

 

Пример 2. Вычислить:

 

Приведем все логарифмы к основанию 6:

 

Разложим числа, стоящие под знаком логарифма на простые множители:

 

Применим свойства 4 и 6:

 

Введем замену

Получим:

Задачи для самостоятельного решения

1. Сравните числа:

 

2. Расположите в порядке возрастания числа:

 

3. Решите неравенство 4⁴ – 2·2⁴⁺¹ – 3 < 0. Является ли число √2решением данного неравенства?(Ответ: (–∞; log₂3); число √2 является решением данного неравенства.)

Практическое занятие № 11

«Десятичные и натуральные логарифмы»

Цели урока:

1) Обобщить теоретические знания по теме: «Десятичные и натуральные логарифмы».

2) Рассмотреть алгоритмы решений заданий теме «Десятичные и натуральные логарифмы», решить задачи.

3) Формировать потребность к самопознанию; умение ставить цели и реализовывать их.

Теоретический материал

Десятичный логарифм — логарифм по основанию 10. Другими словами, десятичный логарифм числа есть решение уравнения

Десятичный логарифм числа существует, если Принято (спецификация ISO 31-11) обозначать его . Примеры:

 

 

В зарубежной литературе, а также на клавиатуре калькуляторов встречаются и другие обозначения десятичного логарифма: , причём следует иметь в виду, что первые 2 варианта могут относиться и к натуральному логарифму.

В нижеследующей таблице предполагается, что все значения положительны:

	Формула	Пример
Произведение
Частное от деления
Степень
Корень

Существует очевидное обобщение приведенных формул на случай, когда допускаются отрицательные переменные, например:

 

 

Формула для логарифма произведения без труда обобщается на произвольное количество сомножителей:

 

Вышеописанные свойства объясняют, почему применение логарифмов (до изобретения калькуляторов) существенно облегчало вычисления. Например, умножение многозначных чисел с помощью логарифмических таблиц^[⇨] производилось по следующему алгоритму:

1.Найти в таблицах логарифмы чисел .

2.Сложить эти логарифмы, получая (согласно первому свойству) логарифм произведения .

3.По логарифму произведения найти в таблицах само произведение.

4.Деление, которое без помощи логарифмов намного более трудоёмко, чем умножение, выполнялось по тому же алгоритму, лишь с заменой сложения логарифмов на вычитание. Аналогично производились возведение в степень и извлечение корня.

Связь десятичного и натурального логарифмов^[2]:

 

Знак логарифма зависит от логарифмируемого числа: если оно больше 1, логарифм положителен, если оно между 0 и 1, то отрицателен. Пример:

 

Вычислить .

Решение.

 

Задачи для самостоятельного решения

Вычислите:

1. lg 10, lg 1000, lg 0,1, lg 0,001, lg 5, lg 0,03

2. ln e, ln e⁵, , ln 5, ln 0,03

3.

Выразить данный логарифм через десятичный и вычислить на микрокалькуляторе с точностью до 0,01:
1.log725, log0,751,13	2.log58, log90,75
3. №304 1)4)	4. № 304 2)3)
Выразить данный логарифм через натуральный и вычислить на микрокалькуляторе с точностью до 0,01:
1.log75, log1,10,23	2.log815, log0,79

Список литературы

1.Пехлецкий И. Д. Математика, СПО. - М.: Академия, 2008.

2.Григорьев С.Г., Задулина С.В. Математика, СПО. - М.: Академия, 2009.

3.Спирина М.С., Спирин П.А. Теория вероятностей и математическая статистика, СПО. - М.: Академия, 2007.

4.Валуце И.И., Дилигул Г.Д. Математика для техникумов. - М.: Наука, 1980.

5.Подольский В. А., Суходский А.М. Сборник задач по высшей математике. - М.: Высшая школа, 1974.

6.Башмаков М.И. Математика, 10 кл. - М.: Академия, 2009.

7.Башмаков М.И. Математика, 11 кл. - М.: Академия, 2009.

8.Шибасов Л.П., Шибасова З.Ф. За страницами учебника математики. - М.: Просвещение, 1997.

Практическое занятие № 12

«Правила действий с логарифмами»

Цели урока:

1) Обобщить теоретические знания по теме: «Правила действий с логарифмами».

2) Рассмотреть алгоритмы решений заданий теме «логаримы и их свойства», решить задачи.

3) Формировать потребность к самопознанию; умение ставить цели и реализовывать их.

Теоретический материал

Примечание: Теорию см. в 2-х предыдущих практических работах.

Задачи для самостоятельного решения

1.Пехлецкий И. Д. Математика, СПО. - М.: Академия, 2008. 2.Григорьев С.Г., Задулина С.В. Математика, СПО. - М.: Академия, 2009. 3.Спирина М.С., Спирин П.А. Теория вероятностей и математическая статистика, СПО. - М.: Академия, 2007.

Практическое занятие № 13

«Преобразование алгебраических выражений»

Цели урока:

1) Обобщить теоретические знания по теме: «Преобразование алгебраических выражений».

2) Рассмотреть алгоритмы решений заданий теме «Преобразование алгебраических выражений», решить задачи.

3) Формировать потребность к самопознанию; умение ставить цели и реализовывать их.

Теоретический материал

Формулы сокращенного умножения

Разложение многочленов на множители

Вынесение общего множителя за скобки:

• Способ группировки

• Применение формул сокращенного умножения

• Разложение на множители квадратного трехчлена

Задачи для самостоятельного решения

     

Практическое занятие № 14

«Преобразование рациональных, иррациональных выражений»

Цели урока:

1) Обобщить теоретические знания по теме: «Преобразование рациональных, иррациональных выражений».

2) Рассмотреть алгоритмы решений заданий теме «Преобразование рациональных, иррациональных выражений», решить задачи.

3) Формировать потребность к самопознанию; умение ставить цели и реализовывать их.

Теоретический материал

1. Свойства степеней с целым показателем:

, nÎN; а¹=а;

, nÎN, а¹0; а⁰=1, а¹0;

, а¹0;

, а¹0;

, а¹0;

, а¹0, b¹0;

, а¹0, b¹0.

2. Формулы сокращенного умножения:

; ;

; ;

где а, b, с – любые действительные числа;

, где а¹0, х₁ и х₂ – корни уравнения .

3. Основное свойство дроби и действия над дробями:

, где b¹0, с¹0;

; ;

; .

4. Определение арифметического корня и его свойства:

; , b¹0; ;

; ; ,

где а, b – неотрицательные числа, nÎN, n³2, mÎN, m³2.

Типы упражнений на преобразование выражений

Например. 1. Представьте в виде многочлена . Решение:

Задачи для самостоятельного решения

Результат упрощения выражения имеет вид 1. ; 4. ; 2. ; 5. .

Практическое занятие № 15

«Преобразование степенных, показательных выражений»

Цели урока:

1) Обобщить теоретические знания по теме: «Преобразование степенных, показательных выражений».

2) Рассмотреть алгоритмы решений заданий теме «Преобразование степенных, показательных выражений», решить задачи.

3) Формировать потребность к самопознанию; умение ставить цели и реализовывать их.

Теоретический материал

К основным свойствам показательной функции y = a^x при 0 < a < 1 относятся:

1.Область определения функции − вся числовая прямая.

2.Область значений функции − промежуток

3.Функция строго монотонно убывает на всей числовой прямой, то есть, если то

4.График показательной функции с основанием 0 < a < 1 изображён на рисунке.

 

К общим свойствам показательной функции как при 0 < a < 1, так и при a > 1 относятся:

1. для всех и
2. для всех и
3. для любого x.
4. для любого x и любого
5. (ab)^x = a^xb^x для любых a, b > 0, a, b ≠ 1.
6. для любых a, b > 0, a, b ≠ 1.

Все эти свойства следуют из свойств операции возведения в степень. Третье и четвёртое свойства являются непосредственным следствием второго. Седьмое свойство следует из строгой монотонности показательной функции и даёт способ решения простейших показательных уравнений.

Пример 1

Упростите выражение

Решение

Имеем Ответ. 0.

 

Пример 2

Решите уравнение: 1) 2) Решение

1) Приведём уравнение к виду Имеем Отсюда получается 2) Сделаем замену переменной Тогда получается квадратное уравнение корни которого Таким образом, либо то есть и x = 0, либо то есть Ответ. 1) 2) x = 0, x = 1. Примечание: теорию по теме « Преобразование степенных выражений» смотри выше.

Задачи для самостоятельного решения

Найдите значение выражения 1. .2. . 2. .

Практическое занятие № 16

«Преобразование логарифмических выражений»

Цели урока:

1) Обобщить теоретические знания по теме: «Преобразование логарифмических выражений».

2) Рассмотреть алгоритмы решений заданий теме «Преобразование логарифмических выражений», решить задачи.

3) Формировать потребность к самопознанию; умение ставить цели и реализовывать их.

Теоретический материал

Повторить:

1.Свойства логарифмов: а >0, а≠1

2.Основное логарифмическое тождество: , для b > 0

 

 

 

 

3.Формулы перехода к новому основанию

,

 

5.Если ,

6.

 

7.

Пример1.

 

Пример 2.

1)

Ответ: 1) 3; 2) 35; 3) 0; 4) 1

Пример 3.

 

Ответ: 1)-1; 2)2; 3)-2; 4)1

Решение:

Пример 4.

3)Вычислить:

Решение:

4) Пример 5.

Вычислить:

 

Пример 6.

5) Вычислить:

 

Пример 7.

6) Упростить:

 

Пример 8.

8) Вычислить:

а)

б)

Задачи для самостоятельного решения

  Вопрос 2. Найдите логарифм по основанию 5.  

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА № 17

Цель урока: 1) Обобщить теоретические знания по теме: «Аксиомы стереометрии и следствия из… 2) Рассмотреть алгоритмы решений заданий теме «Аксиомы стереометрии и следствия из них», решить задачи.

Задачи для самостоятельного решения.

Задание 1

Определите по рисунку:

А

В

C

D

A1

B1

C1

D1

а) Какие две прямые не лежат на одной плоскости?

1)

2) AB и BC

3)

4)

б) Какие три прямые вместе с прямой лежат на

одной плоскости?

1)

2)

3)

4) Ни один из этих ответов не верен

в) Какие утверждения относительно прямой АВ являются ложными?

1) Лежит на плоскости

2)

D

N

В

С

А

M

К

E

Лежит на плоскости

3) Не лежит на плоскости

г) Определите четыре точки, не лежащие на одной плоскости.

1)

2)

3)

4)

Задание 2

По рисунку назовите:

а) плоскости, в которых лежат прямые КE, MN, DB.

б) точки пересечения прямой DM с плоскостью ABC,

прямой АE с плоскостью DBC.

Список литературы

Геометрия, 10-11: Учеб. для общеобразовательных учреждений/ Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др.-Москва: Просвещение, 2009 год

2. Ершова А.П., Голобородько В.В., Ершова А.С. Самостоятельные и контрольные работы по геометрии для 10 класса.- 4-е издание, испр. и доп.- М.:Илекса, 2007,- 175 с.

3. Геометрия. 10-11 классы: тесты для текущего и обобщающего контроля/авт.сост.Г.И.Ковалёва, Н.И.Мазурова.- Волгоград: Учитель, 2009, 187 стр.

4. Виртуальная школа Кирилла и Мефодия. Репетитор по математике. Москва. 2007 год

5. Учебное электронное издание. Математика 5- 11 класссы. Практикум. Под редакцией Дубровского В.Н., 2004.

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА № 18

Цель урока: 1) Обобщить теоретические знания по теме: «Параллельность прямых в… 2) Рассмотреть алгоритмы решений заданий теме «Параллельность прямых в пространстве. Параллельность прямой и…

Прямые в пространстве. Пересекающиеся, параллельные, скрещивающиеся прямые

  Две прямые в пространстве параллельны друг другу, пересекаются или… Если две прямые параллельны третьей, то они параллельны друг другу.

Пример 1.

 

Доказательство

МN - средняя линия треугольника АВС, значит МN || АВ, АВ a .

Таким образом, МN || a (по признаку параллельности прямой и плоскости).

Пример 2.

 

Доказательство

МN - средняя линия трапеции АВСD, значит МN || АВ; АВ a (по условию),

Таким образом, МN || a (по признаку параллельности прямой и плоскости).

3). Пример 3.(Геометрия 10-11, Л.С. Атанасян и др.)

Сторона АС треугольника АВС параллельна плоскости a , а стороны АВ и ВС пересекаются с этой плоскостью в точках М и N. Докажите, что треугольники АВС и МВN подобны.

Перед решением данной задачи необходимо вспомнить признаки подобия треугольников.

 

Доказательство

1. По утверждению 1° : МN || АC. Тогда угол А = углу ВМN (как односторонние при параллельных прямых).

2. угол В - общий.

З. Таким образом, по двум углам треугольник АВС подобен треугольнику МВN.

4). № 28(Геометрия 10-11, Л.С. Атанасян и др.)

На сторонах АВ и АС треугольника АВС взяты соответственно точки D и E так, что ОE = 5 см и ВD = 2/3. Плоскость a проходит через точки B и С и параллельна отрезку ОE. Найдите длину отрезка ВС.

 

Решение:

Из условия задачи № 26: треугольник АВС подобен треугольнику АDЕ.

Тогда АВ/АD = ВС/DЕ, 5/3 = х/5, х = 25/3, х = 8¹/_3.

Ответ: 8¹/_3.

Задачи для самостоятельного решения

Параллельность в пространстве

(2–3) Точки K, E, M, H – середины ребер AB, BC, CD, DA тетраэдра ABCD (рис. 1). 2. Каково взаимное расположение прямых KE и MH? (А) пересекаются … 3. Каково взаимное расположение прямых KM и BC? (А) пересекаются (В) скрещиваются (Б)…

Список литературы

1.Геометрия, 10-11: Учеб. для общеобразовательных учреждений/ Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др.-Москва: Просвещение, 2009 год

2. Ершова А.П., Голобородько В.В., Ершова А.С. Самостоятельные и контрольные работы по геометрии для 10 класса.- 4-е издание, испр. и доп.- М.:Илекса, 2007,- 175 с.

3. Геометрия. 10-11 классы: тесты для текущего и обобщающего контроля/авт.сост.Г.И.Ковалёва, Н.И.Мазурова.- Волгоград: Учитель, 2009, 187 стр.

4. Виртуальная школа Кирилла и Мефодия. Репетитор по математике. Москва. 2007 год

5. Учебное электронное издание. Математика 5- 11 класссы. Практикум. Под редакцией Дубровского В.Н., 2004.

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА № 19

Цель урока: 1) Обобщить теоретические знания по теме: «Признак параллельности плоскостей.… 2) Рассмотреть алгоритмы решений заданий теме «Признак параллельности плоскостей. Свойства параллельных плоскостей»,…

Пример 1.

Даны две параллельные плоскости ₁ и ₂ и точка А, не лежащая ни в одной из этих плоскостей. Через точку А проведена произвольная прямая. Пусть X₁ и X₂ — точки пересечения ее с плоскостями ₁ и ₂. Докажите, что отношение длин отрезков AX₁: AX₂ не зависит от взятой прямой.

Решение. Проведем через точку А другую прямую и обозначим через Y₁ и У₂ точки пересечения ее с плоскостями ₁ и ₂ (рис. 334). Проведем через прямые AX₁ и AY₁ плоскость. Она пересечет плоскости ₁и ₂ по параллельным прямым X₁Y₁и X₂Y₂. Отсюда следует подобие треугольников

AX₁Y₁ и AX₂Y₂. А из подобия треугольников следует пропорция

 

Т. е. отношения AX₁:AX₂ и AY₁: АY₂ одинаковы для обеих прямых.

Отрезки параллельных прямых, заключенные между двумя параллельными плоскостями, равны.

Действительно, пусть ₁ и ₂ — параллельные плоскости.

 

a и b — пересекающие их параллельные прямые, А₁,А₂ и В₁, В₂ — точки пересечения прямых с плоскостями (рис. 335). Проведем через прямые a и b плоскость. Она пересекает плоскости ₁ и ₂ по параллельным прямым А₁В₁и А₂В₂. Четырехугольник А₁В₁B₂A₂. -параллелограмм, так как у него противолежащие стороны параллельны. А у параллелограмма противолежащие стороны равны. Значит, А₁А₂ = В₁В₂, что и требовалось доказать.

Задачи для самостоятельного решения

общую сторону AD. Прямая m, параллельная ВС, пересекает плоскости АВЕ и DCF соответственно в точках Н и Р. Докажите, что HPFE – параллелограмм.

Список литературы

1. Геометрия, 10-11: Учеб. для общеобразовательных учреждений/ Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др.-Москва: Просвещение, 2009 год

2.Ершова А.П., Голобородько В.В., Ершова А.С. Самостоятельные и контрольные работы по геометрии для 10 класса.- 4-е издание, испр. и доп.- М.:Илекса, 2007,- 175 с.

3.Геометрия. 10-11 классы: тесты для текущего и обобщающего контроля/авт.сост.Г.И.Ковалёва, Н.И.Мазурова.- Волгоград: Учитель, 2009, 187 стр.

4.Виртуальная школа Кирилла и Мефодия. Репетитор по математике. Москва. 2007 год

5. Учебное электронное издание. Математика 5- 11 класссы. Практикум. Под редакцией Дубровского В.Н., 2004.

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА № 20

Цель урока: 1) Обобщить теоретические знания по теме: «Перпендикулярность прямых.… 2) Рассмотреть алгоритмы решений заданий теме «Перпендикулярность прямых. Перпендикулярность прямой и плоскости»,…

Список литературы

1. Геометрия, 10-11: Учеб. для общеобразовательных учреждений/ Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др.-Москва: Просвещение, 2009 год

2.Ершова А.П., Голобородько В.В., Ершова А.С. Самостоятельные и контрольные работы по геометрии для 10 класса.- 4-е издание, испр. и доп.- М.:Илекса, 2007,- 175 с.

3.Геометрия. 10-11 классы: тесты для текущего и обобщающего контроля/авт.сост.Г.И.Ковалёва, Н.И.Мазурова.- Волгоград: Учитель, 2009, 187 стр.

4.Виртуальная школа Кирилла и Мефодия. Репетитор по математике. Москва. 2007 год

5. Учебное электронное издание. Математика 5- 11 класссы. Практикум. Под редакцией Дубровского В.Н., 2004.

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА № 21

Цель урока: 1) Обобщить теоретические знания по теме: «Свойства перпендикулярных прямой и… 2) Рассмотреть алгоритмы решений заданий теме: «Свойства перпендикулярных прямой и плоскости», решить задачи.

Пример 1.

Отрезок АВ пересекает плоскость. Найти расстояние от середины отрезка до плоскости, если расстояния от точек А и В до плоскости 6 см и 10 см.

Решение.
Пусть отрезок пересекает плоскость в точке D, середину отрезка обозначим как M. Перпендикуляр отрезка, опущенный на плоскость (и определяющий расстояние от середины отрезка до плоскости) пусть касается плоскости в точке M1. Точки A и B проецируются на плоскость соответственно в точках A1 и B1.
Достроим отрезок AB до треугольника ABK, где точка К лежит на плоскости, параллельной исходной.

Найдем длину отрезка MM1, который и будет расстоянием от середины отрезка AB до плоскости.
Учтем что MM1 = MC - M1C

Для треугольника ВАВ1 по теореме Фалеса, МС будет средней линией треугольника. То есть
МС = ВВ1 / 2.

Для треугольника АА1В1 отрезок М1С также является средней линией.
Откуда
М1С = АА1/2

Так как ММ1 = МС – М1С

MM1 = ( BB1 − AA1 ) / 2

Если AA1 ≥ BB1, путем аналогичных рассуждений получим
MM1 = ( AA1 − BB1 ) / 2

То есть для общего случая
MM1 = | BB1 − AA1 | / 2

Подставим значения:
MM1 = | 10 − 6 | / 2 = 2

Ответ: 2 см.

Пример 2.

Задачи для самостоятельного решения

2. Два отрезка АВ и СD, лежащие в плоскости α, в точке пересечения Е делятся пополам. Вне плоскости дана точка К так, что КА=КВ и КС=КD,… 3.Отрезок СD длины l лежит вне плоскости прямоугольного треугольник АСВ и… 4. Треугольник MKN равносторонний со стороной, равной 18 см. Точка С удалена от вершин треугольника на 12 см. Найдите…

Список литературы

1. Геометрия, 10-11: Учеб. для общеобразовательных учреждений/ Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др.-Москва: Просвещение, 2009 год

2.Ершова А.П., Голобородько В.В., Ершова А.С. Самостоятельные и контрольные работы по геометрии для 10 класса.- 4-е издание, испр. и доп.- М.:Илекса, 2007,- 175 с.

3.Геометрия. 10-11 классы: тесты для текущего и обобщающего контроля/авт.сост.Г.И.Ковалёва, Н.И.Мазурова.- Волгоград: Учитель, 2009, 187 стр.

4.Виртуальная школа Кирилла и Мефодия. Репетитор по математике. Москва. 2007 год

5. Учебное электронное издание. Математика 5- 11 класссы. Практикум. Под редакцией Дубровского В.Н., 2004.

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА № 22

Цель урока: 1) Обобщить теоретические знания по теме: «Перпендикуляр и наклонная. Теорема… 2) Рассмотреть алгоритмы решений заданий теме: «Перпендикуляр и наклонная. Теорема о трёх перпендикулярах. Угол между…

Формулировка теоремы

Если прямая, проведенная на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна её проекции, то она перпендикулярна к наклонной.

 

Проекцией прямой на плоскость, не перпендикулярную к этой прямой, является прямая.

Определение. Углом между прямой и плоскостью, пересекающей эту прямую и не перпендикулярной к ней, называется угол между прямой и её проекцией на плоскость.

Пример 1.

Через центр вписанной в треугольник окружности проведена прямая, перпендикулярная плоскости треугольника. Докажите, что каждая точка этой прямой равноудалена от сторон треугольника.

Решение Пусть А, В, С – точки касания сторон треугольника с окружностью, О – центр окружности и S – точка на перпендикуляре (рис.8). Так как радиус ОА перпендикулярен стороне треугольника, то по теореме о трех перпендикулярах отрезок

SА есть перпендикуляр к этой стороне, а его длина – расстояние от точки S до стороны треугольника.

По теореме Пифагора , где r – радиус вписан-ной окружности. Аналогично находим , т.е. все расстояния от точки S до сторон треугольника равны.

Задача 6. К плоскости треугольника из центра вписанной в него окружности радиуса 0,7 м восстановлен перпендикуляр длиной 2,4 м. Найдите расстояние от конца этого перпендикуляра до сторон треугольника.

Решение.

Пусть в треугольник вписана окружность r = OA = OB = OC (рис. 9).

Точки А, В, С – точки касания сторон треугольника с окружностью, О – центр окружности, SO – перпендикуляр.

ОА перпендикулярен стороне треугольника. По теореме о трех перпендикулярах SA^MN. Искомое расстояние SA = SB = SC.

Применим теорему Пифагора к DAOS: . По условию r = 0,7 м, SO = 2,4 м; SA = (м).

Ответ: SA = 2,5 м.

Пример 2.Расстояние от данной точки до плоскости треугольника равно 1,1 м, а до каждой из сторон – 6,1 м. Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.

Решение.

Пусть S – данная точка. SO = 1,1 м, расстояние от данной точки до плоскости треугольника. SB, SC, SA – наклонные; перпендикуляры к сторонам треугольника АО=ВО=СО – проекции равных наклонных (рис.10). По теореме о трех перпендикулярах АО, ВО, СО перпендикулярны сторонам треугольника. Следовательно, точка S проектируется в центр вписанной в треугольник окружности. Применим теорему Пифагора для треугольника SOВ: (м).

Ответ: OВ = 6 м.

 

 

Пример 3.

Пусть M и N — середины ребер AS и BC соответственно. AN — медиана правильного треугольника ABC, следовательно, находится по формуле . Прямая AS проектируется на плоскость основания и прямую AN. Поэтому проекция точки M — точка M₁— лежит на отрезке AN. Значит, прямая AN является проекцией прямой MN, следовательно, угол MNM1 — искомый.

 

MM1||SOгде O — центр основания, значит, MM1 — средняя линия треугольника ASO потому M1 — AO.
Тогда и Из прямоугольного треугольника AMM1 находим:

 

Из прямоугольного треугольника MM1N находим:

 

 

Задачи для самостоятельного решения

2. Треугольник ABC - прямоугольный (∟ АС-=90°), ∟.A=30°, АС = а, DC ┴ ABC. DC = a. Чему равен угол между плоскостями ADB…   3. Через вершину прямого угла С равнобедренного прямоугольного треугольника ABC проведена плоскость α,…

Список литературы

1. Геометрия, 10-11: Учеб. для общеобразовательных учреждений/ Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др.-Москва: Просвещение, 2009 год

2.Ершова А.П., Голобородько В.В., Ершова А.С. Самостоятельные и контрольные работы по геометрии для 10 класса.- 4-е издание, испр. и доп.- М.:Илекса, 2007,- 175 с.

3.Геометрия. 10-11 классы: тесты для текущего и обобщающего контроля/авт.сост.Г.И.Ковалёва, Н.И.Мазурова.- Волгоград: Учитель, 2009, 187 стр.

4.Виртуальная школа Кирилла и Мефодия. Репетитор по математике. Москва. 2007 год

5. Учебное электронное издание. Математика 5- 11 класссы. Практикум. Под редакцией Дубровского В.Н., 2004.

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА № 23

Цель урока: 1) Обобщить теоретические знания по теме: «Перпендикулярность плоскостей». 2) Рассмотреть алгоритмы решений заданий теме: «Перпендикулярность плоскостей», решить задачи.

Величина двугранного угла измеряется величиной соответствующего линейного угла.

Чтобы построить линейный угол двугранного угла, нужно взять на линии пересечения плоскостей произвольную точку, и в каждой плоскости провести к этой точке луч перпендикулярно линии пересечения плоскостей. Угол, образованный этими лучами и есть линейный угол двугранного угла:

 

Пример 1.

Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁ , в котором построено диагональное сечение BDD₁B₁ (см.рис. 145).

 

Доказать, что плоскость диагонального сечения и плоскость основания куба перпендикулярны.

Плоскость BDD₁B₁ проходит через прямую (D₁D), которая перпендикулярна плоскости основания куба; поэтому по доказанной теореме плоскость диагонального сечения и плоскость основания куба перпендикулярны.

Пример 2.

Даны прямая а и плоскость . Проведите через прямую аплоскость, перпендикулярную плоскости .
Решение: Через произвольную точку прямой апроводим прямую b, перпендикулярную плоскости . Через прямые а и b проводим плоскость . Плоскость перпендикулярна плоскости по признаку перпендикулярности плоскостей.

Задачи для самостоятельного решения

  Задача 2. Плоскости квадратов АВСD и АВКМ перпендикулярны, МК=а. Найдите… Задача 3. Плоскости равностороннего ΔАВС и прямоугольного равнобедренного ΔАDС перпендикулярны. АВ=а,…

Список литературы

1. Геометрия, 10-11: Учеб. для общеобразовательных учреждений/ Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др.-Москва: Просвещение, 2009 год

2.Ершова А.П., Голобородько В.В., Ершова А.С. Самостоятельные и контрольные работы по геометрии для 10 класса.- 4-е издание, испр. и доп.- М.:Илекса, 2007,- 175 с.

3.Геометрия. 10-11 классы: тесты для текущего и обобщающего контроля/авт.сост.Г.И.Ковалёва, Н.И.Мазурова.- Волгоград: Учитель, 2009, 187 стр.

4.Виртуальная школа Кирилла и Мефодия. Репетитор по математике. Москва. 2007 год

5. Учебное электронное издание. Математика 5- 11 класссы. Практикум. Под редакцией Дубровского В.Н., 2004.

 

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА № 24

Цели урока: Цели урока: 1) Обобщить теоретические знания по теме: «Расстояние между параллельными плоскостями. Расстояние между…

Способ.

Возьмем точку М, являющуюся серединой отрезка . Проведем через эту точку плоскость .   Докажем, что плоскость перпендикулярна прямой , и, следовательно, плоскости :

Задачи для самостоятельного решения

2. Найдите расстояние между ребром и диагональю, не пересекающей его грани куба, ребро которого равно а. 3. В единичном кубе АС1 найдите расстояние между диагональю куба BD1 и… 4. В единичном кубе АС1 найдите расстояние между прямыми АВ1 и А1С1.

Список литературы

1. Геометрия, 10-11: Учеб. для общеобразовательных учреждений/ Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др.-Москва: Просвещение, 2009 год

2.Ершова А.П., Голобородько В.В., Ершова А.С. Самостоятельные и контрольные работы по геометрии для 10 класса.- 4-е издание, испр. и доп.- М.:Илекса, 2007,- 175 с.

3.Геометрия. 10-11 классы: тесты для текущего и обобщающего контроля/авт.сост.Г.И.Ковалёва, Н.И.Мазурова.- Волгоград: Учитель, 2009, 187 стр.

4.Виртуальная школа Кирилла и Мефодия. Репетитор по математике. Москва. 2007 год

5. Учебное электронное издание. Математика 5- 11 класссы. Практикум. Под редакцией Дубровского В.Н., 2004.

 

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА № 25

Цели урока: Цели урока: 1) Обобщить теоретические знания по теме: «Табличное и графическое представление данных с помощью ПК».

Задачи для самостоятельного решения

Задача: построить гистограмму согласно таблице (рис 1). Технология работы. Рис. 21

Список литературы

1.Пехлецкий И. Д. Математика, СПО. - М.: Академия, 2008.

2.Григорьев С.Г., Задулина С.В. Математика, СПО. - М.: Академия, 2009.

3.Шибасов Л.П., Шибасова З.Ф. За страницами учебника математики. - М.: Просвещение, 1997.

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА № 26

Цели урока: Цели урока: 1) Обобщить теоретические знания по теме: «Формулы числа перестановок, сочетаний, размещений».

Размещения, перестановки, сочетания

Определение. Размещениями множества из различных элементов по элементов называются комбинации, которые составлены из данных … Число всех размещений множества из элементов по элементов обозначается… Теорема. Число размещений множества из элементов по элементов равно

Числа

 

Все сочетания из множества по два — .

.

Свойства чисел

1. .

Действительно, каждому -элементному подмножеству данного элементного множества соответствует одно и только одно -элементное подмножество того же множества.

2. .

Задачи для самостоятельного решения

2. Для посещения театра закуплено 2n билетов в один ряд партера. Сколькими способами можно распределить эти билеты между п мужчинами и n женщинами,… 3. Сколькими способами можно распределить уроки в шести классах между тремя… 4.На плоскости расположены п точек, из которых никакие три не лежат на одной прямой. Сколько различных прямых можно…

Список литературы

17.Пехлецкий И. Д. Математика, СПО. - М.: Академия, 2008.

18. Григорьев С.Г., Задулина С.В. Математика, СПО. - М.: Академия, 2009.

19. Спирина М.С., Спирин П.А. Теория вероятностей и математическая статистика, СПО. - М.: Академия, 2007.

20. Валуце И.И., Дилигул Г.Д. Математика для техникумов. - М.: Наука, 1980.

21. Подольский В. А., Суходский А.М. Сборник задач по высшей математике. - М.: Высшая школа, 1974.

22. Башмаков М.И. Математика, 10 кл. - М.: Академия, 2009.

23. Башмаков М.И. Математика, 11 кл. - М.: Академия, 2009.

24. Шибасов Л.П., Шибасова З.Ф. За страницами учебника математики. - М.: Просвещение, 1997.

Практическое занятие № 27

«Правила комбинаторики»

Цели урока:

1) Обобщить теоретические знания по теме: «Правила комбинаторики».

2) Рассмотреть алгоритмы решений заданий теме «Правила комбинаторики», решить задачи.

3) Формировать потребность к самопознанию; умение ставить цели и реализовывать их.

Теоретический материал

Основные правила комбинаторики

Правило суммы. Если некоторый объект можно выбрать способами, а другой объект можно выбрать способами, то выбор "либо , либо… Правило произведения. Если объект можно выбрать способами, а после… Пусть = { , , ..., }, = { , , ..., } и А - число элементов множества . Составим…

Выборки элементов без повторений

Число размещений из элементов по обозначим Используя основное правило комбинаторики, получаем   Если , то - число таких размещений, которые отличаются только порядком расположения элементов. Такие размещения…

Выборки элементов с повторениями

Число размещений из элементов по с повторениями обозначается и находится как   Число перестановок , в которых 1-й элемент повторяется раз, 2-й - раз, а -й - раз, находится…

Задачи для самостоятельного решения

2. Из колоды, содержащей 36 карт, вынули 10 карт. Сколькими различными способами это можно сделать? В скольких случаях среди этих карт окажется хотя… 3. Сколькими способами 8 человек могут встать в очередь друг за другом? 4. Сколькими способами можно расставить на книжной полке 5 учебников по комбинаторике, 4 - по алгебре и 3 - по…

Список литературы

1.Пехлецкий И. Д. Математика, СПО. - М.: Академия, 2008.

Григорьев С.Г., Задулина С.В. Математика, СПО. - М.: Академия, 2009.

3.Спирина М.С., Спирин П.А. Теория вероятностей и математическая статистика, СПО. - М.: Академия, 2007.

4.Валуце И.И., Дилигул Г.Д. Математика для техникумов. - М.: Наука, 1980.

5.Подольский В. А., Суходский А.М. Сборник задач по высшей математике. - М.: Высшая школа, 1974.

6.Башмаков М.И. Математика, 10 кл. - М.: Академия, 2009.

7.Башмаков М.И. Математика, 11 кл. - М.: Академия, 2009.

8.Шибасов Л.П., Шибасова З.Ф. За страницами учебника математики. - М.: Просвещение, 1997.

 

Практическое занятие № 28

«Формула бинома Ньютона»

Цели урока:

1) Обобщить теоретические знания по теме: «Формула бинома Ньютона».

2) Рассмотреть алгоритмы решений заданий теме «Формула бинома Ньютона», решить задачи.

3) Формировать тактичность; терпимость; умение доказать свою точку зрения при работе в коллективе.

Теоретический материал

Бином Ньютона. Это формула, представляющая выражение ( a + b ) n при положительном целом n в виде многочлена: Заметим, что сумма показателей степеней для a и b постоянна и равна n. П р и м е р 1 . ( См. формулу куба суммы двух чисел ). Числа называются биномиальными коэффициентами. Их можно вычислить, применяя только сложение, если пользоваться следующей схемой. В верхней строке пишем две единицы. Все последующие строки начинаются и заканчиваются единицей. Промежуточные числа в этих строках получаются суммированием соседних чисел из предыдущей строки. Эта схема называется треугольником Паскаля: Первая строка в этой таблице содержит биномиальные коэффициенты для n = 1; вторая - для n = 2; третья - для n = 3 и т.д. Поэтому, если необходимо, например, разложить выражение: ( a + b )7 , мы можем получить результат моментально, используя таблицу: Свойства биномиальных коэффициентов. 1. Сумма коэффициентов разложения ( a + b ) n равна 2 n . Для доказательства достаточно положить a = b = 1. Тогда в правой части разложения бинома Ньютона мы будем иметь сумму биномиальных коэффициентов, а слева: 2. Коэффициенты членов, равноудалённых от концов разложения, равны. Это свойство следует из соотношения: Задачи для самостоятельного решения

1.Вычислить:

а) C₅²; б) C₆³; в) C₈³; г) C₇⁶; д) C₁₀⁴; e) C₆⁵

2. Исходя из формулы бинома Ньютона, тюлучить формулы для кубов суммы и разности двух чисел.

3. Вычислить по формуле бинома Ньютона:

а) (√5 — √2 )⁴; б) (√6 + √2 )⁴; в) (√6 — √2)⁵; г) (√10 — √2)⁵.

4. Определить степень бинома (3а — 2)^п, если известно, что коэффициент при а²в разложении этого бинома равен 216.

Список литературы

1.Пехлецкий И. Д. Математика, СПО. - М.: Академия, 2008.

Григорьев С.Г., Задулина С.В. Математика, СПО. - М.: Академия, 2009.

3.Спирина М.С., Спирин П.А. Теория вероятностей и математическая статистика, СПО. - М.: Академия, 2007.

4.Валуце И.И., Дилигул Г.Д. Математика для техникумов. - М.: Наука, 1980.

5.Подольский В. А., Суходский А.М. Сборник задач по высшей математике. - М.: Высшая школа, 1974.

6.Башмаков М.И. Математика, 10 кл. - М.: Академия, 2009.

7.Башмаков М.И. Математика, 11 кл. - М.: Академия, 2009.

8.Шибасов Л.П., Шибасова З.Ф. За страницами учебника математики. - М.: Просвещение, 1997.

Условные обозначения:

Задания , которые необходимо выполнить на оценку «удовлетворительно»

Дополнительные задания, которые необходимо выполнить на оценку «хорошо»

Дополнительные задания, которые необходимо выполнить на оценку «отлично»