З НАВЧАЛЬНОЇ ДИСЦИПЛІНИ «РІВНЯННЯ З ЧАСТИННИМИ ПОХІДНИМИ»

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

КРЕМЕНЧУЦЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

ІМЕНІ МИХАЙЛА ОСТРОГРАДСЬКОГО

 

 

МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ

ЩОДО ПРАКТИЧНИХ ЗАНЯТЬ

З НАВЧАЛЬНОЇ ДИСЦИПЛІНИ

«РІВНЯННЯ З ЧАСТИННИМИ ПОХІДНИМИ»

ДЛЯ СТУДЕНТІВ IV КУРСУ ДЕННОЇ ФОРМИ НАВЧАННЯ

ЗА НАПРЯМОМ 6.040302 – «ІНФОРМАТИКА»

 

 

КРЕМЕНЧУК 2010

Методичні вказівки щодо практичних занять з навчальної дисципліни «Рівняння з частинними похідними» для студентів IV курсу денної форми навчання за напрямом 6.040302 – “Інформатика”

 

Укладачі: к.ф.-м.н., доц. В.П. Ляшенко,

к.ф.-м.н., доц. В.П. Черненко,

асист. О.Б. Кобильська

Рецензент к.ф.-м.н., доц. В.О. Семенов

 

 

Кафедра інформатики і вищої математики

 

Затверджено методичною радою КНУ імені Михайла Остроградського

Протокол №___ від “___” __________________2010 р.

 

Заступник голови методичної ради___________ доц. С.А. Сергієнко

 

 

ЗМІСТ

Вступ................................................................................................................... 5

Перелік практичних занять

Практичне заняття № 1 Диференціальні рівняння в частинних похідних (ДРЧП) 1-го порядку. Загальний розв’язок............................................................................ 6

Практичне заняття № 2 ДРЧП 1-го порядку. Задача Коші.............................. 8

Практичне заняття № 3 Класифікація ДРЧП 2-го порядку та зведення до канонічного вигляду.............................................................................................................. 10

Практичне заняття № 4 Спрощення канонічних форм лінійних ДРЧП 2-го порядку зі сталими коефіцієнтами...................................................................................... 12

Практичне заняття № 5 Контрольна робота № 1............................................ 15

Практичне заняття № 6 Метод характеристик для рівнянь гіперболічного типу. Задача Коші................................................................................................................... 16

Практичне заняття № 7 Хвильове рівняння. Метод Д’Аламбера для хвильового рівняння............................................................................................................................ 18

Практичне заняття № 8 Метод Фур’є (метод відокремлення змінних). Хвильове рівняння 19

Практичне заняття № 9 Метод Фур’є. Рівняння теплопровідності................ 21

Практичне заняття № 10 Метод Фур’є для неоднорідних рівнянь................ 24

Практичне заняття № 11 Задача Діріхле для рівняння Лапласа у прямокутнику (метод Фур’є)................................................................................................................ 27

Практичне заняття № 12 Задачі Діріхле для рівняння Лапласа у крузі та кільці.

Практичне заняття № 13 Контрольна робота № 2.......................................... 31

Практичне заняття № 14 Метод функцій Гріна для рівняння теплопровідності..... 32

Список літератури............................................................................................. 35

ВСТУП

 

Багато задач у математиці, фізиці, електроніці, радіотехніці та в інших науках приводять до диференціальних рівнянь відносно функцій двох, трьох та більшого числа аргументів – диференціальні рівняння в частинних похідних. Математичні знання, які студент повинен отримати, вивчаючи курс «Рівняння з частинними похідними» необхідні для успішної побудови математичних моделей фізичних явищ та технологічних процесів із застосуванням знань загальнотеоретичних і спеціальних дисциплін, таких як алгебра та геометрія, математичний аналіз, диференціальні рівняння та ін.

Мета викладання цієї дисципліни полягає в ознайомленні студентів з методами розв’язання рівнянь з частинними похідними.

Ознайомити студентів з основами математичного апарата, необхідного для розв’язування теоретичних і практичних задач, що виникають під час вивчення даного предмета.

Прищепити навички математичного дослідження фізичних задач. Навчити студентів самостійно вивчати та працювати з навчальною та спеціальною літературою з математичної фізики та її прикладних питань.

Дати необхідну математичну підготовку та знання для вивчення інших дисциплін математичного циклу. Дані методичні вказівки розроблено з метою допомогти студентові в освоєнні основних положень теоретичного матеріалу та прийомів розв’язання практичних задач. До розгляду запропоновано основні теми, що входять до курсу: диференціальні рівняння в частинних похідних (ДРЧП) 1-го порядку; ДРЧП 1-го порядку, задача Коші; класифікація ДРЧП

2-го порядку та зведення до канонічного вигляду; спрощення канонічних форм лінійних ДРЧП 2-го порядку зі сталими коефіцієнтами; метод характеристик для рівнянь гіперболічного типу, задача Коші; хвильове рівняння. Метод Д’Аламбера для хвильового рівняння; метод Фур’є (метод відокремлення змінних). Хвильове рівняння; метод Фур’є. Рівняння теплопровідності; метод Фур’є для неоднорідних рівнянь; задача Діріхле для рівняння Лапласа у прямокутнику (метод Фур’є); задачі Діріхле для рівняння Лапласа у крузі та кільці.

Кожний розділ починається коротким анонсом теоретичного матеріалу. Далі подано задачу, що ілюструє тему практичного заняття з детальним викладенням алгоритму її розв’язання. Подано перелік задач необхідних для розв’язування на практичному занятті. У кінці практичного заняття студенти мають відповісти на контрольні питання запропоновані в методичних вказівках.

ПЕРЕЛІК ПРАКТИЧНИХ ЗАНЯТЬ

Практичне заняття № 1

Тема Диференціальні рівняння в частинних похідних (ДРЧП) 1-го порядку. Загальний розв’язок

Мета:сформулювати уявлення про ДРЧП 1-го поряду, про лінійне і квазілінійне ДРЧП 1-го поряду, загальний розв’язок ДРЧП 1-го порядку. Навчитися знаходити загальний розв’язок ДРЧП 1-го порядку.

Короткі теоретичні відомості

, (1) де – невідома функція, називається ДРЧП 1-го поряду. § Рівняння

Завдання для перевірки знань

1. . Відповідь: . 2. . Відповідь: . 3. . Відповідь: .

Контрольні питання

§ З якому випадку рівняння (1) називається квазілінійним?

§ Що таке пучки та вісі Монжа?

§ Які криві називають характеристичними?

§ Чи відрізняється загальний розв’язок ДРЧП 1-го порядку від загального розв’язку ЗДР?

Література:[1-5].

Практичне заняття № 2

Тема ДРЧП 1-го порядку. Задача Коші.

Мета:дати уявлення прозадачу Коші для ДРЧП 1-го порядку, навчитися знаходити поверхню, яка задовольняє рівняння та проходить через лінію.

Короткі теоретичні відомості

(1) та проходить через лінію (2)

Завдання до теми

та проходить через криву . Розв’язування. Запишемо систему рівнянь та знайдемо її перші інтеґрали: , .

Завдання для перевірки знань

§ , , . Відповідь: . § , , .

Контрольні питання

§ Сформулюйте задачу Коші для ДРЧП 1-го порядку.

§ У якому випадку задача Коші має один і тільки один розв'язок?

§ У якому випадку задача Коші має нескінченну множину розв'язків?

Література:[1, 6].

Практичне заняття № 3

Тема Класифікація ДРЧП 2-го порядку та зведення до канонічного вигляду

Мета:засвоїти поняття про ДРЧП 2-го порядку, умови приналежності ДРЧП 2-го порядку до еліптичного, параболічного або гіперболічного типу. Виробити навички зведення ДРЧП 2-го порядку до канонічного вигляду.

Короткі теоретичні відомості

. § ДРЧП 2-го порядку називається лінійним, якщо воно має вигляд: (1)

Завдання до теми

Розв’язування. У даному випадку , , , тобто рівняння гіперболічного типу. Рівняння характеристик має вигляд: =3 або = -1. Звідси отримуємо два лінійно незалежних інтеґрала і . Уводячи нові змінні , будемо мати:

Завдання для перевірки знань

§ . Відповідь: . § . Відповідь: . § . Відповідь: .

Контрольні питання

§ У якому випадку рівняння (1) називається однорідним?

§ Які рівняння називаються канонічними?

§ Як проводиться класифікація ДРЧП вигляду (1)?

Література:[1, 6].

Практичне заняття № 4

Тема Спрощення канонічних форм лінійних ДРЧП 2-го порядку зі сталими коефіцієнтами

Мета:засвоїти типи ДРЧП 2-го порядку та навчитися спрощувати канонічний вигляд ДРЧП 2-го порядку.

Короткі теоретичні відомості

…, (1) де – нова шукана функція, і – сталі, які відшукуються з умов, щоб коефіцієнти… § – гіперболічний тип; (2)

Завдання до теми

Розв’язування. У даному випадку , , , тобто рівняння еліптичного типу. Рівняння характеристик має вигляд: . Звідси отримуємо . Уводячи нові змінні , будемо мати:

Контрольні питання

§ Дайте визначення лінійного ДРЧП 2-го порядку зі сталими коефіцієнтами.

§ Використовуючи (1), виразити похідні першого та другого порядків функції через похідні функції .

§ Вигляд (3) – це єдина можливість для рівнянь еліптичного типу?

Література:[1-4].

Практичне заняття № 5

Тема Контрольна робота № 1.

Мета:контроль отриманих знань з тем:

· диференціальні рівняння в частинних похідних (ДРЧП) 1-го порядку. Загальний розв’язок;

· ДРЧП 1-го порядку. Задача Коші;

· класифікація ДРЧП 2-го порядку та зведення до канонічного вигляду;

· спрощення канонічних форм лінійних ДРЧП 2-го порядку зі сталими коефіцієнтами.

Завдання для перевірки знань

1) ; 2) ; 3) ;

Практичне заняття № 6

Тема Метод характеристик для рівнянь гіперболічного типу. Задача Коші

Мета:дати уявлення про задачуКоші.для рівнянь гіперболічного типу. Виробити навички розв’язку задачуКоші. методом характеристик.

Короткі теоретичні відомості

У випадку, коли гіперболічне рівняння має першу канонічну форму у вигляді , його загальний розв’язок відшукують таким чином: Нехай . Тоді функція незалежна від . Проінтеґруючи останній вираз, отримуємо .… § Розв’язок задачі Коші методом характеристик.

Завдання до теми

Розв’язування. У даному випадку , , . Рівняння характеристик має вигляд: . Звідси отримуємо і . Загальний розв’язок… . (1)

Завдання для перевірки знань

Відповідь: . § Звести рівняння до канонічного вигляду та знайти загальний розв’язок… Відповідь: .

Контрольні питання

§ Які процеси описують рівняння гіперболічного типу?

§ Які бувають граничні умови для рівнянь гіперболічного типу?

Література:[1, 6].

Практичне заняття № 7

Тема Хвильове рівняння. Метод Д’Аламбера для хвильового рівняння

Мета: виробити навички розв’язку хвильового рівняння методом Д’Аламбера.

Короткі теоретичні відомості

§ Одномірним рівнянням коливання струни або одномірним хвильовим рівнянням називається рівняння вигляду

. (1)

§ – формула Д’Аламбера. (2)

Завдання до теми

Розв’язування. Користуючись формулою (2), отримуємо: .

Завдання для перевірки знань

§ Знайти форму струни, визначеної рівнянням у момент , якщо . Відповідь: – струна паралельна восі абсцис.

Контрольні питання

§ Який вигляд має загальний розв’язок хвильового рівняння?

§ Сформулюйте задачу Коші для хвильового рівняння.

Література: [1, 6].

Практичне заняття № 8

Тема Метод Фур’є (метод відокремлення змінних). Хвильове рівняння

Мета:Дати уявлення про крайові задачі для рівняння гіперболічного типу, про задачу Штурма – Ліувілля. Виробити навички розв’язку крайових задач для хвильового рівняння методом відокремлення змінних.

Короткі теоретичні відомості

, (1) де – швидкість поширення хвилі, яке задовольняє початкові , (2)

Завдання до теми

. Визначити форму струни для будь-якого моменту часу . Розв’язування. У цьому випадку , а в інтервалі і зовні цього інтервалу. Звідси . Знайдемо :

Завдання для перевірки знань

§ Струна має у початковий момент форму параболи . Визначити зміщення точок струни от вісі абсцис, якщо початкові швидкості відсутні. Граничні умови мають вигляд: .

Контрольні питання

§ Які числа називаються власними числами задачі Штурма-Ліувілля?

§ Які знаки мають власні числа задачі Штурма-Ліувілля?

§ Які функції називаються власними функціями?

Література:[1, 6].

 

Практичне заняття № 9

Тема Метод Фур’є. Рівняння теплопровідності

Мета:поглиблення знань про постановки крайових та початкових задач для рівняння теплопровідності; виробити навички знаходити розв’язок крайових і початкових задач для рівняння теплопровідності.

Короткі теоретичні відомості

. (1) § Випадок необмеженого стержня. , , – рівняння теплопровідності, (2)

Завдання до теми

Розв’язування. Ми маємо рівняння теплопровідності для напівобмеженого стержня. Розв’язок, який задовольняє вказані умови, має вигляд . Припустивши , перетворимо перший інтеґрал, користуючись інтеґралом імовірностей , тобто

Завдання для перевірки знань

§ Відповідь: . § Знайти розв’язок рівняння , якщо лівий кінець напівобмеженого стержня… . Відповідь: .

Контрольні питання

§ Запишіть нестаціонарне рівняння теплопровідності у загальному випадку

Література: [1, 6].

Практичне заняття № 10

Тема Метод Фур’є для неоднорідних рівнянь

Мета:систематизувати знання про постановки початково-крайових задач для рівняння теплопровідності; виробити навички знаходити розв’язок крайових задачдля нестаціонарного рівняння теплопровідності.

Короткі теоретичні відомості

, (1) , (1') , (2) , (2') . (3) . (3')

Завдання до теми

(), (11) , (12) . (13)

Завдання для перевірки знань

Відповідь: . § Розв’язати рівняння , яке задовольняє початкові умови і крайові умови .

Контрольні питання

§ Перевірити, що вигляду (4) є розв’язком задачі (1)–(3).

§ Що називається задачею Штурма–Ліувілля?

Література:[1, 6].

Практичне заняття № 11

Тема Задача Діріхле для рівняння Лапласа у прямокутнику (метод Фур’є)

Мета:сформувати уявлення про постановку задачі Діріхле для рівняння Лапласа у прямокутнику, про функцію Гріна для задачі Діріхле; виробити навички знаходити розв’язок задачі Діріхле для рівняння Лапласа

Короткі теоретичні відомості

, , (1) , , (2) , . (3)

Завдання до теми

, (). Розв’язування. Знайдемо коефіцієнти , , , за формулами (6') і (7'). , так як .

Завдання для перевірки знань

§ ==0, , . Відповідь: . § ==0, , . Відповідь: .

Контрольні питання

§ Запишіть рівняння Лапласа у двовимірному просторі, тривимірному

просторі.

§ Який вигляд має крайова умова Діріхле?

§ Який вигляд має крайова умова Неймана?

Література:[3-8].

Практичне заняття № 12

Тема Задачі Діріхле для рівняння Лапласа у крузі та кільці

Мета:сформувати поняття про задачуДіріхле для рівняння Лапласа у крузі та кільці;виробити навички розвязку задач Діріхле для рівняння Лапласа у крузі та кільці.

Короткі теоретичні відомості

, (1) . (2) Розв’язок рівняння (1) має вигляд

Завдання до теми

, , . Розв’язування. Згідно з формулою (5) розв’язок задачі має вигляд

Завдання для перевірки знань

§ Знайти гармонічну функцію всередині кільця , яка задовольняє крайовим умовам: , .

Відповідь: .

Контрольні питання

§ Запишіть оператор Лапласа у полярних координатах.

§ Запишіть розв’язок задачі (1)–(2) у вигляді інтеґрала Пуассона.

§ Які функції називаються гармонічними?

Література:[6-8].

Практичне заняття № 13

Тема Контрольна робота № 2

Мета:контроль знань з тем: метод характеристик для рівнянь гіперболічного типу. Задача Коші; хвильове рівняння. Метод Д’Аламбера для хвильового рівняння; метод Фур’є (метод відокремлення змінних). Хвильове рівняння; метод Фур’є. Рівняння теплопровідності; метод Фур’є для неоднорідних рівнянь; задача Діріхле для рівняння Лапласа у прямокутнику (метод Фур’є); задачі Дирихле для рівняння Лапласа у крузі та кільці.

Завдання для перевірки знань

1) , ; 2) , ; 3) , ;

Практичне заняття № 14

Тема Метод функцій Гріна для рівняння теплопровідності

Мета:засвоїти поняття першої і другої формули Гріна; виробити навички знаходити розв’язок задачі Коші для рівняння теплопровідності за допомогою функціїГріна.

Короткі теоретичні відомості

, (1) де - відома функція. § Функція Гріна задачі , , , має вигляд

Завдання до теми

, , , . Розв’язування. За формулою (10), з огляду на (2) .

Завдання для перевірки знань

Відповідь: . § Розв’язати задачу про остигання напівобмеженого стержня, якщо теплова течія…

Контрольні питання

§ Запишіть задачу для функції Гріна для рівняння теплопровідності у тривимірному просторі.

Література:[6-10].

СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ

2. Данко П.Б., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. – М.: Высшая школа, 1997. – Т.2. – 416 с. 3. Смирнов М.М. Задачи по уравнениям математической физики. – М.: Наука, 1968.… 4. Тевяшев А.Д., Колосова С.В., Сидоров М.В. Вибрані глави математичної фізики. – Харків: ХНУРЕ, 2007. – 340 с.