Короткі теоретичні відомості - раздел Математика, З НАВЧАЛЬНОЇ ДИСЦИПЛІНИ «РІВНЯННЯ З ЧАСТИННИМИ ПОХІДНИМИ» Нехай Потрібно Знайти Розв’Язок Хвильового Рівняння
...
Нехай потрібно знайти розв’язок хвильового рівняння
, (1)
де – швидкість поширення хвилі, яке задовольняє початкові
, (2)
та крайові умови
(3)
Шукаємо розв’язок задачі (1)-(3) у вигляді добутку двох функцій
.
Підставивши цей вираз до рівняння (1), отримаємо рівність
.
Розділивши його на добуток , ми відокремимо змінні:
.
Ця рівність можлива тільки в тому випадку, якщо обидві її частини окремо дорівнюють одній і тій самій сталій. Позначивши її через , приходимо до двох звичайних диференціальних рівнянь другого порядку:
, (4)
. (5)
Загальні розв’язки цих рівнянь мають вигляд
, (6)
, (7)
де – довільні сталі.
Сталі і можна знайти, користуючись крайовими умовами (3).
. (8)
Розв’яжемо задачу (4), (8), яка називається задачею Штурма-Ліувілля.
.
.
Таким чином, . (9)
Підставляючи знайдені значення в (7), отримуємо
. (10)
Помноживши (9) і (10), ми отримаємо сукупність функцій:
,
де , .
Так як рівняння (1) лінійне та однорідне, то сума розв’язків також являється розв’язком, яке можна представити у вигляді ряда
.
При цьому розв’язок повинен задовольняти початковим умовам:
КРЕМЕНЧУЦЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ... ІМЕНІ МИХАЙЛА ОСТРОГРАДСЬКОГО...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:
Короткі теоретичні відомості
Что будем делать с полученным материалом:
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Короткі теоретичні відомості
§ Диференціальним рівнянням у частинних похідних другого порядку з двома невідомими змінними називаються співвідношення між невідомою функцією u(x,y) та її частинними похідними до другого порядку в
Завдання до теми
Визначити тип ДРЧП та зробити зведення до канонічного вигляду: .
Розв’язування. У даному випадку
Короткі теоретичні відомості
Залежно від типу лінійне ДРЧП 2-го порядку зі сталими коефіцієнтами зводиться до однієї із канонічних форм. Подальшого спрощення цих канонічних форм можна досягти, якщо зробити заміну:
…
Завдання до теми
Звести до канонічної форми та зробити подальше її спрощення: .
Розв’язування. У даному випадку
Завдання для перевірки знань
Звести до канонічного вигляду та провести подальше спрощення канонічної форми наступних рівнянь:
1) ;
2
Короткі теоретичні відомості
§ Відшукування загального розв’язку методом характеристик.
У випадку, коли гіперболічне рівняння має першу канонічну форму у вигляді
Завдання до теми
Розв’язати задачу Коші для рівняння з початковими умовами
Завдання для перевірки знань
§ Звести рівняння до канонічного вигляду та знайти загальний розв’язок рівняння методом характеристик: .
Відпові
Завдання до теми
Знайти розв’язок задачі Коші для рівняння з початковими умовами
СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ
1. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. – М: Наука, 1970. – 96 с.
2. Данко П.Б., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. – М.: Высшая
Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Новости и инфо для студентов