ВОПРОСЫ К ЗАЧЕТУ (гр. 4 АЭ 8-12) И К ЭКЗАМЕНУ (гр. 4 АЭ 13).

 

1. Понятия о функциональных ДУрЧП. Основные определения (порядок, линейность, область определения, однородность и неоднородность).

2. Каноническая форма УрЧП. Характеристики УрЧП (для гиперболических, эллиптических, параболических.

3. Классификация УрЧП второго порядка: типы – классы гиперболические, эллиптические, параболические.

4. Оператор Лапласа (набла-оператор): в декартовой и полярной системах координат на плоскости, в декартовой, цилиндрической и сферической системах координат в пространстве).

5. Общее решение УрЧП (линейно независимые частные решения). Классические решения – интегралы; классические условия.

6. Частное решение УрЧП: дополнительные (начальные и краевые - граничные) условиям.

7. Постановка начально-краевой задачи для УрЧП; условия по времени и краевые (граничные) условия. Три типа линейных условий: первого рода (Дирихле); второго рода (Неймана); третьего рода (Робина – Ньютона).

8. Уравнения в частных производных первого порядка с двумя независимыми переменными. Геометрическая интерпретация УрЧП первого порядка. Конус и кривая (фокальная) Монжа.

9. Уравнения поперечных колебаний длиной струны. Поперечные колебания мембраны (двумерные).

10. Продольные колебания стержня.

11. Крутильные колебания стержня.

12. Телеграфное уравнение (электрические колебания в однородной длинной цепи).

13. Уравнения Максвелла.Оператор Д’Аламбера.

14. Постановка начально-краевой залачи для гиперболических двумерных УрЧП.

15. Колебание бесконечной струны. Формула Д’Аламбера..

16. Метод разделения переменных Фурье решения начально-краевых задач для гиперболических УрЧП.

17. Начально-краевая задача с неоднородной правой частью и однородными краевыми условиями.

18. Начально-краевая задача с неоднородной правой частью и неоднородными краевыми условиями.

19. Колебания круглой мембраны (обобщенные ряды Фурье - Бесселя); бесселевы (цилиндрические функции Эйлера) первого и второго рода различного индекса.

20. Уравнения в частных производных параболического типа. Уравнение

распространения тепла в стержне.

21. Уравнение диффузии (фильтрации) в капиляре - трубке.

22. УрЧП теплопроводности двухмерных и трехмерных тел в декартовой системе

координат.

23. Начальное и краевые условия, частное решение УрЧП параболического типа, краевые условия трех родов: первого рода (Дирихле), второго рода (Неймана), третьего рода (Робина)).

24. Теплопроводность бесконечного стержня. Метод Фурье, Интеграл Фурье, разделение переменных, разложения в интеграл Фурье, интеграл Пуассона.

25. Метод разделения переменных Фурье решения начально-краевых задач для параболических УрЧП.

26. Начально-краевая задача с неоднородной правой частью и однородными краевыми условиями.

27. Начально-краевая задача с неоднородной правой частьюи неоднородными краевыми условиями.

28. Теплопроводность круглой мембраны, обобщенные ряды Фурье – Бесселя; бесселевы (цилиндрические функции Эйлера) первого и второго рода различного индекса.

29. Задачи, приводящиеся эллиптическим УрЧП (стационарные процессы).

30. Уравениние Лапласа. Три типа краевых задач: Дирихле (первого рода); Неймана (второго рода); Робина (третьего рода). Гармонические функции.

31. Уравнение Пуассона (в декартовой в полярной системе координат): три типа краевых задач: Дирихле (первого рода); Неймана (второго рода); Робина (третьего рода).

32. Метод разделения переменных Фурье. Задачи для прямоугольника и кольца.

33. Задача Дирихле для прямоугольника с однородной правой частью и с однородными условиями.

34. Задача Дирихле (первого рода) для уравнения Лапласа (разделение переменных). 35. Задача Дирихле для прямоугольника с неоднородной правой частью и с однородными условиями.

36. Задача для прямоугольника с неоднородной правой частью и неоднородными условиями.

37. Общее решение УрЧП Пуассона для кругового кольца с неоднородной правой частью.