Основы математического анализа

Муниципальное автономное общеобразовательное учреждение

лицей №14 им. А.М. Кузьмина

 

 

В.С. Козадаев

 

Основы математического анализа

 

ЧАСТЬ I

 

Учебное пособие для учащихся
физико-математических классов

 

ТАМБОВ 2012

 

ВВЕДЕНИЕ

 

Все существующие науки условно делят на три группы: естественные, гуманитарные и математические. Естественными называют науки, изучающие окружающий нас мир. К ним относятся: физика, химия, астрономия, биология и т.п. Гуманитарными называют науки, изучающие человеческое общество. К ним относятся: история, литература, философия, социология и т.п.

Математическую группу наук составляет всего одна наука – математика. В отличие от естественных и гуманитарных наук математика не изучает объективно существующую реальность, и в этом состоит ее специфика.

К сожалению, на сегодняшний день нет удовлетворительного ответа на вопрос «Что такое математика?». Это столь многогранное явление, что описать его кратко, выделив главное, пока не удалось. Обычно для начинающих изучать математику представление о ней пытаются дать через предмет с учетом целей изучения. Например, в философской литературе часто ссылаются на Ф.Энгельса, который в работе «Анти-Дюринг» писал, что «чистая математика имеет своим объектом пространственные формы и количественные отношения действительного мира». Это, конечно, правильно. В математике много задач порождено человеческой практикой, но считать приведенную цитату определением предмета математики нельзя хотя бы потому, что это неполно. Наряду с практическими задачами в математике существует много теорий, являющихся «вымыслом чистого разума». Достаточно привести в качестве примера геометрию Н.И.Лобачевского, которая родилась просто как другая логическая система.

Другой взгляд на предмет математики выражен в работе Н.Бурбаки «Архитектура математики». Авторы считают, что содержание математики как науки составляет изучение всевозможных математических структур, понимая под математической структурой множество произвольных объектов с заданной системой отношений между ними. Это также верно, но опять же неполно. В математике изучаются не только структуры, но и другие объекты, например, методы исследования.

Общепризнано, что математика как наука зародилась в древней Греции с появлением в ней абстрактных структур. До этого математика представляла собой просто совокупность математических фактов. Лишь греки сумели так организовать эти факты, что математика превратилась в логическую систему, в которой от исходных положений с помощью логических рассуждений, называемых доказательством, получали новые утверждения. Именно с появлением этой идеи и связывают зарождение математики как науки.

Одной из главных задач настоящего пособия является знакомство учащихся с новым для них взглядом на математику как на логическую систему посредством изучения основ математического анализа.

В истории развития математики обычно выделяют два основных периода: период элементарной математики (период изучения постоянных величин) и период современной (высшей) математики (период изучения переменных величин).

Активное изучение переменных величин началось с конца XVII века и привело к созданию И.Ньютоном и Г.Лейбницем дифференциального и интегрального исчисления, составляющих основу обширного раздела современной математики, называемого математическим анализом. Как правило, переменные величины описывались с помощью функций. Поэтому важнейшими понятиями математического анализа являются понятия функции, предела функции, производной, интеграла и некоторых других.

 

 

Глава 1 ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ.

 

Высказывания. Логические операции над высказываниями.

 

Под высказыванием будем понимать всякое предложение, относительно которого можно сказать истинно оно или ложно. Рассмотрим примеры предложений, которые являются высказываниями или не являются ими.

1.Москва – столица России.

2.Который час?

3.Число 2 больше числа 3.

4.Все на выборы!

5.0,01 – малое число.

6.Треугольник, у которого все стороны равны, называют равносторонним.

Легко заметить, что восклицательные и вопросительные предложения высказываниями быть не могут. Поэтому предложения «Который час?» и «Все на выборы!» – не высказывания. Остальные четыре предложения – повествовательные. Однако высказываниями являются только предложения 1 и 3. Предложение 5 высказыванием не является, так как нет определения малого числа, а значит, мы не можем сказать истинно ли данное предложение. Предложение 6 представляет собой определение равностороннего треугольника. Поскольку суть математических определений состоит в присвоении терминов новым конструкциям, то ставить вопрос об истинности или ложности какого-либо определения бессмысленно. Это всего лишь соглашение. Следовательно, предложение 6 не является высказыванием.

Для обозначения истинности или ложности высказывания применяют буквенные обозначения: «и», «л» или цифровые: 1,0 соответственно. Мы будем использовать буквенные обозначения.

Простейшими логическими операциями, которые совершают над высказываниями, являются: отрицание, конъюнкция, дизъюнкция и импликация.

 

Определение 1.1. Отрицанием высказывания называется высказывание (читается «не »), которое ложно тогда, когда истинно и истинно, когда ложно.

 

Для операции отрицания можно составить специальную таблицу, называемую таблицей истинности

 

	и	л
	л	и

 

Определение 1.2. Конъюнкцией двух высказываний и называют новое высказывание (читается « и »), которое истинно, когда оба высказывания и истинны и ложно, когда хотя бы одно из высказываний и ложно.

 

Таблица истинности для конъюнкции имеет вид

 

	и	и	л	л
	и	л	и	л
	и	л	л	л

 

Определение 1.3. Дизъюнкцией двух высказываний и называют новое высказывание (читается « или »), которое истинно тогда, когда хотя бы одно из высказываний и истинно и ложно, когда оба высказывания и ложны.

 

Таблица истинности для дизъюнкции имеет вид

 

	и	и	л	л
	и	л	и	л
	и	и	и	л

 

Если провести аналогию между операциями над множествами и логическими операциями над высказываниями, то заметим, что аналогом объединения множеств является дизъюнкция, аналогом пересечения множеств – конъюнкция.

 

Определение 1.4. Импликацией двух высказываний и называется такое высказывание А=>В (читается «из А следует В», или «если А, то В»), которое ложно тогда, когда А истинно, а В – ложно и истинно в остальных случаях.

 

Таблица истинности для импликации имеет вид

 

	и	и	л	л
	и	л	и	л
	и	л	и	и

 

В результате логической операции над высказываниями получаются новые высказывания, над которыми, в свою очередь можно производить логические операции, получая более сложные высказывания. Если мы имеем простейшие высказывания А, В, С, D, то примерами сложных высказываний могут служить высказывания:

1) (конъюнкция четырех высказываний)

2) (дизъюнкция четырех высказываний)

3)[(А=>В)Ù C] => (если из А следует В и С, то не D).

 

Определение 1.5. Два высказывания называют равносильными, если они принимают одинаковые значения истинности при любых значениях истинности входящих в них высказываний.

 

Равносильность обозначается символом =.

Рассмотрим примеры равносильных высказываний.

 

1)закон двойного отрицания: = .

Действительно, составляя таблицы истинности, получаем

 

и	л	и
л	и	л

2)законы Де Моргана: ; .

Убедимся в справедливости этих формул, составив таблицы истинности.

 

и	и	л	л	и	л	л	и	л	л
и	л	л	и	л	и	и	и	л	л
л	и	и	л	л	и	и	и	л	л
л	л	и	и	л	и	и	л	и	и

 

Убедитесь самостоятельно в справедливости законов Де Моргана для трех высказываний: и , составив таблицы истинности.

Важно заметить, что законы Де Моргана можно распространить на любое конечное и даже бесконечное число высказываний. Если для конъюнкции высказываний использовать символ , а для дизъюнкции – символ , то законы де Моргана для и бесконечного числа высказываний принимают вид:

; ; ;

В математике большинство теорем имеет структуру импликации . Если при этом теорему назвать прямой, то утверждение называют обратной теоремой; утверждение => называют противоположной теоремой, а утверждение => называют противоположной обратной теоремой.

Рассмотрим пример. Пусть имеем теорему «Если треугольник АВС равнобедренный, то углы при основании равны». Обратной теоремой будет утверждение «Если углы при основании треугольника АВС равны, то треугольник – равнобедренный». Противоположная теорема формулируется в виде «Если треугольник АВС не равнобедренный, то углы при основании не равны». И, наконец, противоположная обратной теорема имеет формулировку «Если углы при основании треугольника АВС не равны, то треугольник – не равнобедренный».

 

Определение 1.6. Если импликация является истинной, то высказывание называют необходимым условием для , а высказывание называют достаточным условием для высказывания .

 

Наибольший интерес в математике представляет условие, которое является одновременно необходимым и достаточным. Из определения 1.6 следует, что условие является необходимым и достаточным для условия , если одновременно истинны импликации и . Составим таблицу истинности для этих импликаций и выясним, когда это возможно.

 

и	и	и	и
и	л	л	и
л	и	и	л
л	л	и	и

 

Из таблицы видно, что обе импликации истинны в двух случаях, когда высказывания и оба истинны или оба ложны (см. первую и последнюю строки таблицы), то есть равносильны. Таким образом, если условие является необходимым и достаточным для условия , то это означает равносильность этих высказываний и . Кроме закона двойного отрицания и законов де Моргана, рассмотренных ранее, большое значение имеют следующие равносильности.

 

3) .

Проверим справедливость равенства, составив таблицу истинности

 

и	и	и	л	и
и	л	л	л	л
л	и	и	и	и
л	л	и	и	и

 

4)( ) = ( ).

Записанная логическая формула утверждает равносильность прямой и противоположной обратной теорем. Убедиться в этом можно с помощью таблицы истинности

 

и	и	и	л	л	и
и	л	л	и	л	л
л	и	и	л	и	и
л	л	и	и	и	и

 

5)( ) = [ ].

Это логическая формула метода доказательства от противного. Убедиться в ее справедливости можно составив таблицу истинности.

 

и	и	и	л	л	л	и
и	л	л	и	л	и	л
л	и	и	л	и	л	и
л	л	и	и	и	л	и

 

 

Правила вывода.

Среди различных сложных высказываний особое место занимают высказывания, которые являются истинными при любых значениях истинности входящих в них…   1) (если , и из следует , то ).

Предикаты. Кванторы.

В математике часто встречаются предложения, содержащие переменную. Например, рассмотрим предложение « ». Это предложение не является…   Определение 1.7. Предложения, в которые входят переменные и которые при замене этих переменных их значениями…

Глава 2 ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА

 

Введение

 

Понятие числа прошло длинный путь исторического развития. Простейшим числовым множеством, возникшим в результате счета предметов, является множество натуральных чисел

.

В этом множестве всегда выполнимы две алгебраические операции: сложение и умножение. Это значит, что сумма и произведение двух натуральных чисел всегда являются натуральными числами. На заре человечества этих операций было достаточно, но с развитием общества возникает потребность выполнять операцию вычитания, которая во множестве не всегда выполнима. Поэтому родилась идея о расширении множества натуральных чисел путем присоединения к нему всех отрицательных целых чисел и нуля. В результате получилось множество всех целых чисел

.

Во множестве всегда выполнимы три алгебраические операции: сложение, умножение и вычитание, но не всегда выполнима операция деления. Дальнейшее расширение множества путем присоединения к нему всех обыкновенных дробей привело к образованию множества рациональных чисел Q, в котором выполнимы четыре алгебраические операции: сложение, умножение, вычитание и деление на число, отличное от нуля. Для целей арифметики множество рациональных чисел является вполне достаточным. Однако множество Q оказалось недостаточным для целей математического анализа из-за того, что не обладает свойством полноты. Это можно проиллюстрировать следующим образом. Если мы попытаемся изображать рациональные числа точками на числовой прямой, то обнаружим, что не можем целиком заполнить всю прямую. Рациональных чисел не хватает для сплошного покрытия этой прямой. На числовой прямой есть «дыры», которые «изображают» нерациональные числа. Для доказательства существования нерациональных чисел (их называют иррациональными) достаточно указать хотя бы одно такое число. Покажем, что число , квадрат которого равен 2, не является рациональным. Действительно, предположим противное, что число – рациональное и . В силу рациональности его можно представить в виде обыкновенной несократимой дроби , где – некоторое целое число, а – натуральное число. Тогда из условия получаем, что

 

(*)

 

Левая часть равенства (*) – число четное. Значит и правая часть должна быть четной. Но это возможно только тогда, когда – четно, т.е. , где – целое число. Отсюда получаем, что , а, следовательно, равенство (*) принимает вид , или после сокращения на 2, будем иметь . Из последнего равенства вытекает, что его правая часть – число четное, а поэтому четным должно быть и число , что возможно только тогда, когда – четно. Итак, приходим к выводу, что числа и четные, а значит дробь сократима, что противоречит предположению. Таким образом, предположение о том, что число , для которого , является рациональным, приводит к противоречию, а, следовательно, неверно. Этим самым мы установили существование иррациональных чисел.

Больше того, оказывается, что точек на числовой прямой, изображающих рациональные числа, ничтожно малое количество по сравнению со всеми точками прямой. Подавляющее же большинство точек изображают иррациональные числа. Можно сказать, что числовая прямая почти состоит из точек, изображающих иррациональные числа. Поэтому возникает задача о расширении множества рациональных чисел до такого множества чисел, любое их которых можно было бы изобразить точкой на числовой прямой. Таким расширением множества Q является множество действительных чисел R. Однако корректно ответить на вопрос, что такое действительное число, не так просто, как может показаться. Ответом является построение специальной теории. Существует несколько теорий действительного числа: теория Дедекинда, теория Кантора, теория Вейерштрасса и другие.

Мы рассмотрим теорию Дедекинда. Рихард Юлиус Вильгельм Дедекинд (1831-1916) – немецкий математик, который учился в Геттингенском университете у таких корифеев математики, как Гаусс и Дирихле. Он известен как один из создателей алгебры произвольных полей, колец, групп и структур.

 

 

Сечения Дедекинда во множестве рациональных чисел.

Основой для построения любой теории действительного числа является множество рациональных чисел. Поэтому считаем, что нам дано множество со…   Определение 2.1. Сечением Дедекинда во множестве рациональных чисел называется разбиение множества на два…

Действительные числа. Полнота множества действительных чисел.

Определение 2.2. Действительным числом назовем любой из трех видов сечений Дедекинда во множестве рациональных чисел.   Множество действительных чисел обозначают через .

ТЕОРЕМА 2.1. Между двумя неравными действительными числами всегда существует рациональное число.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть и два неравных действительных числа. Положим для определенности, что . По определению 2.5 это означает, что множество… Рассматривая сечения Дедекинда во множестве рациональных чисел, мы… Сечением Дедекинда во множестве назовем разбиение множества на два непустых подмножества и таких, что:

Числовые множества и их границы.

Числовым множеством будем называть любое множество, элементами которого являются действительные числа. Рассмотрим примеры числовых множеств. 1)Отрезок [a,b]. Это множество действительных чисел , удовлетворяющих… 2)Интервал (a,b). Это множество действительных чисел , удовлетворяющих неравенству < < b.

ТЕОРЕМА 2.2. Всякое непустое ограниченное сверху числовое множество имеет точную верхнюю грань.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть - непустое ограниченное сверху множество. Очевидно, что, если в есть наибольшее действительное число, то это число и…  

ТЕОРЕМА 2.3. Всякое непустое ограниченное снизу числовое множествоимеет точную нижнюю грань.

 

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО аналогично доказательству теоремы 2.2.

 

ТЕОРЕМА 2.4. Если число (число ) является точной верхней (нижней) гранью множества , то для любого числа (числа ), меньшего (большего ) найдется такой элемент из , что > ( < ).

 

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть . Выберем произвольно число такое, что < . Предположим, что в не найдется такого элемента , который удовлетворял бы неравенству > . Следовательно, для всех из выполняется неравенство £ . Это значит, что число является верхней гранью для . Учитывая, что , должны иметь неравенство £ _, которое противоречит условию. Следовательно, наше предположение неверно, и первая часть теоремы доказана. Вторая часть теоремы доказывается аналогично.

 

Суть рассмотренной теоремы состоит в том, что точные грани числового множества по сравнению с остальными гранями обладают особым свойством : к ним элементы множества могут подходить как угодно близко.

 

 

Понятие об арифметических операциях над действительными числами.

Пусть имеем два действительных числа и . Рассмотрим множество всевозможных сумм рациональных чисел , где – рациональное число из ,… Определим теперь произведение двух действительных чисел и . Положим… Разность действительных чисел и определим как сумму действительных чисел и , где – есть произведение …

Модуль действительного числа и его свойства.

Модулем, или абсолютной величиной действительного числа (обозначение ) назовем само число , если оно неотрицательно и число , если … . Рассмотрим свойства модуля.

4°.

По свойству 2° рассмотрим два очевидных неравенства и . Сложив их, будем иметь . Теперь, воспользовавшись свойством 3°, получим требуемое неравенство.

 

5°. .

Представим в виде и воспользуемся свойством 4°.

. Если теперь перенести из правой части в левую, то получим требуемое неравенство.

 

 

Глава 3 ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ.

 

Понятие функции одной переменной. Обратная функция. Сложная функция.

В основе описания окружающих нас явлений средствами математики лежит понятие соответствия между множествами. Оно, как и понятие множества, относится…   Определение 3.1. Соответствие, при котором каждому элементу сопоставляется единственный элемент , называется…

Элементарные функции. Свойства функций.

Функции , где , называют основными элементарными функциями.   Определение 3.2. Суммой (произведением) функций , , , определенных на одном и том же множестве , называют…

Числовые последовательности.

Рассмотрим числовую функцию , областью определения которой является множество натуральных чисел , т.е. соответствие   Такие функции называют функциями натурального аргумента или числовыми последовательностями. В общем виде числовую…

Понятие предела числовой последовательности.

 

Рассмотрим геометрическую интерпретацию последовательностей, приведенных в примерах предыдущего параграфа. Сделаем это двумя способами: на прямой и на плоскости. Получим

 

1.

 

2.

 

3.

 

4.

 

Проследим поведение членов этих последовательностей с возрастанием . В примере № 1 из рисунка видно, что члены последовательности с возрастанием уходят в бесконечность. В примере № 2 точки с возрастанием сгущаются (смотреть рисунок на прямой) и все ближе и ближе подходят к точке, изображающей число 1. Другими словами, разность с возрастанием неограниченно уменьшается. В таких случаях говорят, что последовательность сходится к 1, а число 1 называют пределом этой последовательности. В примере № 3 члены последовательности с возрастанием приближаются к нулю, то есть разность можно сделать как угодно малой, если взять достаточно большим число . Здесь последовательность сходится к нулю. В примере № 4 разность отрицательна при нечетных и положительна при четных . Поэтому неверно было бы сказать, что разность с возрастанием неограниченно уменьшается. Однако, интуитивно понятно, что нас интересует не сама разность, а расстояние от до нуля (т.е. модуль разности , который с возрастанием уменьшается. Здесь последовательность также как и в примере № 3 сходится к нулю.

 

Определение 3.10. Числовую последовательность называют сходящейся к числу , если для любого числа > 0 найдется номер N такой что при всех выполняется неравенство < . Число при этом называют пределом последовательности ( ) и обозначают символом

 

В символах математической логики определение того, что запишется так: .

Пользуясь этим определением, докажем, что число 1 является пределом последовательности .

Зададим произвольно > 0 и найдем номер N, начиная с которого выполняется неравенство .

Решим это неравенство относительно .

 

Если правая часть последнего неравенства неположительна (а это будет при ), то неравенство будет справедливо при всех . Значит если выбрать ,то N = 1. Если же взять , то в качестве N может служить натуральное число .

Было бы ошибочно думать, что подобные рассуждения можно провести, если вместо 1 взять какое-либо другое число. Покажем, например, что 1,1 не является пределом последовательности .

Зададим произвольно > 0 и рассмотрим неравенство .

Далее имеем .

Отсюда уже видно, что сделать левую часть меньше 0,1 мы не сможем при любых значениях . А значит, взяв , при всех получим .

 

Определение 3.11. Последовательность называется расходящейся к плюс (минус) бесконечности, если для любого числа Е найдется такой номер N, что при всех выполняется неравенство .

Обозначение: .

 

 

Основные теоремы о пределе последовательности.

 

ТЕОРЕМА 3.1. Если последовательность имеет предел, то он единственный.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Предположим противное, что последовательность имеет более одного предела. Возьмем два из них и ( ). Рассмотрим число …   . (1)

ТЕОРЕМА 3.2. Всякая сходящаяся последовательность ограничена.

 

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть последовательность сходится к числу . Выберем произвольно > 0. Найдем для него номер такой, что при всех будет выполняться неравенство . Следовательно, . Выбрав из чисел наибольшее и наименьшее, видим, что любой член последовательности лежит между ними, что и означает ограниченность этой последовательности.

 

ТЕОРЕМА 3.3. Всякая монотонная ограниченная последовательность сходится (имеет предел).

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть для определенности имеем возрастающую и ограниченную последовательность . Так как ограниченность последовательности … Теперь легко понять, что если бы последовательность являлась убывающей, то …  

ТЕОРЕМА 3.4. Если последовательность сходится к числу , а последовательность сходится к числу и при этом , то .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Предположим противное, что . Рассмотрим число . Для него и . Пусть . Тогда для всех будем иметь: и . Учитывая, что , получаем цепочку неравенств:

ТЕОРЕМА 3.5. Пусть даны три последовательности , и такие, что . Если , то .

 

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.Зададим произвольно > 0 и найдем для него такие числа и , что и . Тогда

.

Отсюда получаем

.

Это и означает, что последовательность сходится к .

 

 

Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности.

 

Определение 3.12. Последовательность называют бесконечно малой, если (т.е. если ).

 

ТЕОРЕМА 3.6. Чтобы последовательность сходилась к числу , необходимо и достаточно чтобы последовательность была бесконечно малой.

 

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Необходимость. Пусть . Следовательно,

.

Но это и значит, что последовательность является бесконечно малой.

Достаточность. Пусть последовательность является бесконечно малой. Это значит, что . А поскольку условие равносильно условию , то получаем , что равносильно сходимости последовательности к числу .

 

ТЕОРЕМА 3.7. Сумма двух бесконечно малых последовательностей является бесконечно малой последовательностью.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть и – бесконечно малые последовательности. Выберем произвольно и для числа найдем , начиная с которого будет…   Замечание. Эту теорему можно обобщить на любое конечное число слагаемых. Например, для доказательства, что сумма трех…

ТЕОРЕМА 3.8. Если является бесконечно малой последовательностью, а – ограниченная последовательность, то есть бесконечно малая последовательность.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Так как – ограниченная последовательность, то . Пусть . Тогда . Выберем произвольно и для числа найдем номер такой, что . Тогда при всех получим …

ТЕОРЕМА 3.9. Чтобы последовательность была бесконечно большой, необходимо и достаточно чтобы последовательность , где , была бесконечно малой.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Необходимость. Пусть – бесконечно большая последовательность. Значит . Записав неравенство в виде и, обозначив через …   Достаточность. Пусть последовательность , где , является бесконечно малой. Следовательно, . Обозначив …

Арифметические операции над пределами последовательностей.

 

ТЕОРЕМА 3.10. Если последовательности и сходятся к числам и соответственно, то:

1) последовательность сходится к числу ;

2) последовательность сходится к числу ;

3) последовательность сходится к числу .

 

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. По теореме о связи сходящейся последовательности, ее предела и бесконечно малой последовательности (теорема 3.6) мы можем записать:

,

где и – бесконечно малые последовательности.

Тогда

 

. (*)

 

По теореме 3.7. является бесконечно малой последовательностью. Поэтому на основании теоремы 3.6 из (*) делаем вывод о сходимости последовательности к числу . Аналогично устанавливается сходимость последовательности к числу . Рассмотрим последовательность .

 

. (**)

 

Так как является бесконечно малой последовательностью (см. замечание после теоремы 3.7), то на основании теоремы 3.6 из равенства (**) заключаем о сходимости последовательности к числу .

 

ТЕОРЕМА 3.11. Если последовательность сходится к числу ; последовательность сходится к числу , то последовательность сходится к числу .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Покажем сначала, что в условиях теоремы последовательность является ограниченной. По условию . Пусть для определенности . Выберем произвольно так, чтобы и найдем… Пусть далее ; , где и – бесконечно малые последовательности. Тогда

Неопределенности. Сравнение бесконечно малых последовательностей.

Пусть имеем две бесконечно малые последовательности и . Составим новую последовательность и попытаемся найти ее предел. Легко видеть, что… 1)Пусть . Тогда . 2)Пусть . Тогда .

Лемма о вложенных отрезках.

 

Рассмотрим последовательность, членами которой являются отрезки:

 

; ; ; ...; ; ... (*)

 

Если для этой последовательности выполняются условия

 

, (**)

 

то такая последовательность называется последовательностью вложенных отрезков.

 

ЛЕММА. Если для последовательности вложенных отрезков (*) выполняется условие , то последовательности и сходятся к общему пределу.

 

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. В силу условия (**) последовательность является неубывающей и ограниченной ( ), а значит сходящейся. Пусть . Аналогично, последовательность является невозрастающей и ограниченной, а, следовательно, сходящейся. Обозначим . Далее по теореме 3.10 имеем , а по условию леммы этот предел равен нулю. Отсюда и вытекает, что , что и требовалось доказать.

 

 

Подпоследовательности. Частичные пределы.

Пусть имеем последовательность , т.е. соответствие   Выберем во множестве , не меняя порядка следования членов, некоторое бесконечное подмножество и рассмотрим…

ТЕОРЕМА 3.12. Если последовательность сходится к числу , то и любая ее подпоследовательность также сходится и притом к тому же числу .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Сходимость последовательности к числу равносильна условию: . Рассмотрим произвольную подпоследовательность данной последовательности . По определению подпоследовательность…

ЛЕММА (Больцано-Вейерштрасса) Из любой ограниченной последовательности всегда можно извлечь сходящуюся подпоследовательность.

Всякая ограниченная последовательность имеет хотя бы один частичный предел.).

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть дана ограниченная последовательность . Значит . Разобьем отрезок пополам и возьмем ту половину, в которой содержится… При этом длина отрезка равна ; длина отрезка равна ; длина отрезка… Теперь покажем, как можно выбрать из последовательности сходящуюся подпоследовательность . В качестве возьмем…

Число e.

Рассмотрим последовательность . Исследуем ее на сходимость. Используя формулу бинома Ньютона: , где , получим

Предел функции.

Пусть дана функция действительного аргумента , определенная на . Распространим определение предела функции натурального аргумента на…   Определение 3.14. Число называют пределом функции при (на плюс бесконечности), если для любого найдется…

ТЕОРЕМА 3.13. Определения предела функции в точке по Коши и по Гейне эквивалентны.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Требуется доказать два утверждения, что из определения 3.16 следует определение 3.17 и наоборот.   1)Пусть – есть предел функции в точке по Коши. Докажем, что есть предел функции по Гейне. Зададим…

Основные теоремы о пределе функции.

 

ТЕОРЕМА 3.14. Если функция имеет предел в точке , то он единственный.

 

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть . Возьмем произвольную последовательность , сходящуюся к . Тогда по определению 3.17 последовательность должна сходиться к числу . А так как сходящаяся последовательность имеет единственный предел, то теорема доказана.

 

ТЕОРЕМА 3.15. Функция , имеющая предел в точке , ограничена в некоторой окрестности точки .

 

ТЕОРЕМА 3.16. Если , и в проколотой окрестности точки выполняется неравенство , то .

 

ТЕОРЕМА 3.17. Если , и в проколотой окрестности точки выполняется неравенство , то .

 

ДОКАЗАТЕЛЬСТВАтеорем 3.15, 3.16, 3.17 непосредственно вытекают из соответственных теорем для пределов последовательности и определения предела функции в точке по Гейне.

 

ТЕОРЕМА 3.18. Если и , то в некоторой проколотой окрестности точки выполняется неравенство .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть для определенности . Зададим и найдем такое, что при всех , удовлетворяющих условию , выполняется неравенство … . Далее, опираясь на определение 3.17, можно перенести все теоремы о пределе последовательности на предел функции…

ТЕОРЕМА 3.19. Чтобы функция имела пределом число в точке , необходимо и достаточно чтобы функция была бесконечно малой в точке .

 

ТЕОРЕМА 3.20. Если и – бесконечно малые функции в точке , то – тоже бесконечно малая функция в точке .

 

Следствие Сумма конечного числа бесконечно малых функций в точке есть бесконечно малая функция в этой точке.

 

ТЕОРЕМА 3.21. Если – бесконечно малая функция в точке , а – ограниченная функция в проколотой окрестности точки , то – есть бесконечно малая функция в точке .

 

Следствие 1 Если – бесконечно малая функция в точке , то – тоже есть бесконечно малая функция в точке , где - некоторое действительное число.

 

Следствие 2 Произведение конечного числа бесконечно малых функций в точке есть бесконечно малая функция в точке .

 

Определение 3.19. Функцию называют бесконечно большой в точке , если

 

ТЕОРЕМА 3.22. Чтобы функция была бесконечно большой в точке , необходимо и достаточно чтобы в точке функция была бесконечно малой.

 

ТЕОРЕМА 3.23. Если , , то ,

 

ТЕОРЕМА 3.24. Если , , причем , то .

 

Для функций действительного аргумента можно говорить о неопределенностях таких же видов, что и для последовательностей.

 

 

Односторонние пределы функции.

При определении предела функции в точке ничего не говорилось о том, как аргумент приближается к . Он может приближаться к монотонно…   Определение 3.20. Число называют пределом справа (слева) функции в точке , если

ТЕОРЕМА 3.25. Чтобы функция имела предел в точке , необходимо и достаточно чтобы она имела в этой точке оба односторонних предела и чтобы они были равны.

 

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Необходимость очевидна. Докажем достаточность. Пусть функция имеет оба односторонних предела в точке и они равны числу . Зададим произвольно . Для этого из того, что найдем такое, что при всех , удовлетворяющих неравенству , выполняется условие . Для того же из того, что находим такое, что при всех , удовлетворяющих неравенству , выполняется условие . Пусть теперь . Тогда , а это и означает, что .

Теорема доказана.

 

Понятие непрерывности функции в точке. Арифметические операции над непрерывными функциями.

 

Рассматривая понятие предела функции в точке , специальный акцент был сделан на том, что точка исключается из рассмотрения (выполнение неравенства требовалось лишь в проколотой -окрестности точки ). В точке функция может быть даже не определена. Все равно предел функции в этой точке имеет смысл. Однако если функция определена в точке и ее значение совпадает с пределом в точке , то говорят, что функция обладает особым свойством – непрерывностью.

 

Определение 3.21. Функция называется непрерывной в точке , если .

 

Сформулируем это определение на языке « ». Получим.

 

Определение 3.22. Функция называется непрерывной в точке , если .

 

Если же в определении 3.21 раскрыть определение предела на языке последовательностей, то получим

 

Определение 3.23. Функция называется непрерывной в точке , если для любой последовательности , сходящейся к , соответственная последовательность значений функции сходится к .

 

Иногда удобно формулировать определение непрерывности функции на языке приращений. Разность называют приращением аргумента в точке ; а разность называют приращением функции в точке . Поскольку , то , а тот факт, что равносилен утверждению, что , то получаем следующее определение.

 

Определение 3.24. Функция называется непрерывной в точке , если приращение функции в точке стремится к нулю при стремлении к нулю приращения аргумента, т.е. .

 

Рассмотрим примеры.

 

1)Дана функция , где – константа. Доказать, что она непрерывна в любой точке области определения.

Решение.

Пусть – произвольная точка области определения. Дадим приращение . Тогда функция получит приращение . Поэтому , что и означает непрерывность функции в произвольной точке .

 

2)Дана функция . Докажем, что она непрерывна в любой точке области определения.

Пусть – произвольная точка области определения. Дадим приращение . Тогда функция получит приращение . Следовательно, .

 

ТЕОРЕМА 3.26. Если функции и непрерывны в точке , то в этой точке будут непрерывны функции , а при условии будет непрерывна функция .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО следует из теорем 3.23 и 3.24.   Из рассмотренных примеров и теоремы 3.26 вытекают важные следствия.

Первый замечательный предел.

 

Предел называют первым замечательным пределом. Он представляет собой неопределенность типа . Покажем, как можно раскрыть эту неопределенность.

 

ТЕОРЕМА 3.27. .

х А В С … Проведем касательную к окружности в точке до пересечения в точке с… Сравним площади треугольников АОВ, АОС и сектора АОВ. Легко видеть, что треугольник АОВ является частью сектора АОВ,…

Непрерывность элементарных функций.

Покажем сначала, что основные элементарные функции непрерывны в любой точке своей области определения.   1)Непрерывность функции была установлена в § 16.

ТЕОРЕМА 3.28. Пусть имеем сложную функцию . Если функция непрерывна в точке , а функция непрерывна в точке , то сложная функция непрерывна в точке .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Зададим произвольно и найдем для него в силу непрерывности функции в точке такое , что при всех , удовлетворяющих…   7)Теперь покажем, что функция непрерывна в произвольной точке . Запишем данную функцию в виде . Функция …

Некоторые пределы, связанные с показательной и логарифмической функциями.

 

ТЕОРЕМА 3.29. (второй замечательный предел).

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Рассмотрим сначала случай, когда . Поскольку нас интересует поведение функции вблизи точки , то можно ограничиться… . Перейдем в последнем неравенстве к пределу при . Замечая, что , получаем

ТЕОРЕМА 3.30. .

 

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. .

 

Замечание. В частности, если , то имеем .

 

ТЕОРЕМА 3.31. .

 

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть . Тогда . Если , то . Поэтому .

 

Замечание. В частности, если , то имеем .

 

ТЕОРЕМА 3.32. .

 

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть . Тогда

или .

Если , то . Поэтому получаем

.

 

Замечание. В этом параграфе установлена эквивалентность следующих бесконечно малых функций при :

~ ; ~ ; ~ .

 

 

Односторонняя непрерывность. Классификация точек разрыва.

 

Если предел, входящий в определение непрерывности функции в точке (определение 3.21) будет односторонним, то функция называется односторонне непрерывной в этой точке. Например, если функция непрерывна отрезке , то ясно, что в точке можно говорить лишь о непрерывности этой функции справа, а в точке – о непрерывности слева.

 

ТЕОРЕМА 3.33. Для непрерывности функции в точке , необходимо и достаточно, чтобы была непрерывна слева и справа от .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО теоремы вытекает из теоремы 3.25 и определения односторонней непрерывности функции. Если функция не является непрерывной в точке , то ее называют разрывной… 1)не существует ;

Свойства функций, непрерывных на отрезке.

 

Основные свойства функций, непрерывных на отрезке, выражаются двумя теоремами Вейерштрасса и двумя теоремами Больцано-Коши.

 

ТЕОРЕМА Вейерштрасса. Если функция определена и непрерывна на отрезке , то она ограничена.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Покажем ограниченность сверху функции . Предположим противное, что неограничена сверху. Значит . Для найдем такой,…   Замечание. Непрерывность функции на отрезке является существенным условием теоремы. Если же отрезок заменить…

ТЕОРЕМА Вейерштрасса. Если функция непрерывна на отрезке , то среди всех ее значений есть наибольшее и наименьшее.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. По 1 теореме Вейерштрасса непрерывная на функция ограничена. Следовательно, множество значений этой функции имеет точные…  

ТЕОРЕМА Больцано-Коши. Если функция непрерывна на отрезке и на концах его принимает значения разных знаков, то внутри найдется точка такая, что .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть для определенности . Разделим отрезок пополам точкой . Может так случиться, что . a c … .

ТЕОРЕМА Больцано-Коши. Если функция непрерывна на отрезке и , то для любого числа между и найдется точка из такая, что .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть для определенности . Рассмотрим функцию . Она непрерывна на по теореме 3.26 и ; . Следовательно, по 1…   Следствие Если функция непрерывна на , то множество значений этой функции является отрезком.

Равномерная непрерывность функций.

Рассмотрим функцию , непрерывную в некоторой точке промежутка . Это значит, что . Заметим, что, вообще говоря, выбираемое зависит не только от , но и от точки . Однако существуют такие…

ТЕОРЕМА Кантора. Если функция непрерывна на , то она будет равномерно непрерывна на .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Предположим противное, что непрерывная на отрезке функция не будет равномерно непрерывной на , т.е. . Выберем произвольную бесконечно малую последовательность положительных чисел . Тогда по предположению для …