Элементарные функции. Свойства функций. - раздел Математика, Основы математического анализа
Функции , Где , Называют Основными Элементарными Функциями....
Функции , где , называют основными элементарными функциями.
Определение 3.2. Суммой (произведением) функций , , , определенных на одном и том же множестве , называют функцию такую, что .
Определение 3.3. Отношением двух функций и , определенных на множестве , называется функция такая, что .
Определение 3.4. Элементарной называют функцию, аналитическое выражение которой содержит лишь конечное число арифметических операций и конечное число суперпозиций основных элементарных функций.
Примерами элементарных функций могут служить функции
; .
Рассмотрим классификацию функций по их свойствам.
Определение 3.5. Функция , определенная на множестве , называется ограниченной сверху (снизу) если множество значений этой функции ограничено сверху (снизу), т.е.
Таким образом, понятие ограниченности функции сводится к понятию ограниченности множества ее значений. Если функция ограничена одновременно и снизу и сверху, то ее называют ограниченной, в противном случае – неограниченной.
Примерами ограниченных функций могут служить функции и , так как и . Функции и являются неограниченными.
Определение 3.6. Функция называется монотонно возрастающей (убывающей) на множестве , если .
Монотонно возрастающие и монотонно убывающие функции называют общим термином – монотонные функции. Если же в определении 3.6 вместо условия
будет выполняться условие
,
то функцию называют неубывающей (невозрастающей) на . Неубывающие и невозрастающие функции называют общим термином – нестрого монотонные функции.
Исследуем, например, на монотонность функцию . Возьмем произвольно два значения и из области определения данной функции такие, что . Покажем, что . Для этого рассмотрим разность . Применяя формулу разности кубов, получаем
.
Первая скобка отрицательна в силу выбора и , а вторая скобка представляет собой неполный квадрат разности, который всегда положителен. Таким образом, , или . Поскольку и выбирались произвольно, то по определению 3.6 функция является монотонно возрастающей во всей области определения.
Монотонность функции является достаточным условием существования обратной функции . Действительно, если функция монотонно возрастает (убывает), то любым двум неравным значениям аргумента будут соответствовать два различных значения функции: большему значению аргумента соответствует большее (меньшее) значение функции. Поэтому каждое значение аргумента имеет лишь единственный образ, а, следовательно, существует обратная функция.
Множество называют симметричным, если вместе с любым своим элементом оно содержит и противоположный элемент . Примерами симметричных множеств являются: ; , а множество симметричным не является, так как оно содержит элемент , но не содержит элемент .
Определение 3.7. Функция определенная на симметричном множестве , называется четной (нечетной), если .
Не следует думать, что все функции делятся на четные и нечетные. Если, например, область определения некоторой функции не является симметричным множеством, то проверить условие четности или нечетности просто невозможно, а, следовательно, такая функция не является ни четной, ни нечетной. Однако симметричности области определения функции недостаточно для выполнения одного из условий определения 3.7. Например, для функции , определенной на симметричном множестве , . Следовательно, равенство выполняется только при и не выполняется при остальных . Значит, функция не является четной. Равенство имеет вид , или и не выполняется ни при каких действительных . Поэтому данная функция не может быть нечетной. Таким образом, функция не является ни четной, ни нечетной. Такие функции называют функциями общего вида. С геометрической точки зрения исследование функций на четность или нечетность представляет собой исследование симметричности графика. График четной функции симметричен относительно оси ординат, а график нечетной функции симметричен относительно начала координат.
Определение 3.8. Функцию , определенную на множестве , называют периодической, если . Число при этом называют периодом функции.
Из определения 3.8 следует, если функция является периодической с периодом , то область определения такой функции также должна быть периодической с периодом , т.е вместе с каждым значением она должна содержать также значения и . Нетрудно доказать, что если функция периодическая и – ее период, то числа , где - натуральное число, также являются периодами функции . Наименьший положительный период называют основным периодом. В природе и технике с помощью периодических функций описывают явления, периодически повторяющиеся через некоторые промежутки времени. Например, все тригонометрические функции являются периодическими. Основной период для функций и равен , а для функций и равен .
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:
Элементарные функции. Свойства функций.
Что будем делать с полученным материалом:
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Правила вывода.
Среди различных сложных высказываний особое место занимают высказывания, которые являются истинными при любых значениях истинности входящих в них простых высказываний. Такие сложные
Предикаты. Кванторы.
В математике часто встречаются предложения, содержащие переменную. Например, рассмотрим предложение « ». Это предложение не является высказыванием, поскольку мы не можем сказать, ис
Сечения Дедекинда во множестве рациональных чисел.
Основой для построения любой теории действительного числа является множество рациональных чисел. Поэтому считаем, что нам дано множество со всеми его свойствами.
Числовые множества и их границы.
Числовым множеством будем называть любое множество, элементами которого являются действительные числа. Рассмотрим примеры числовых множеств.
1)Отрезок [a,b
Модуль действительного числа и его свойства.
Модулем, или абсолютной величиной действительного числа (обозначение ) назовем само число , если оно неотрицательно и число , если отрицательно. Таким образом,
.
Р
Числовые последовательности.
Рассмотрим числовую функцию , областью определения которой является множество натуральных чисел , т.е. соответствие
Такие функции называют функциями натурал
Подпоследовательности. Частичные пределы.
Пусть имеем последовательность , т.е. соответствие
Выберем во множестве , не меняя порядка следования членов, некоторое бесконечное подмножество и рассмотри
Число e.
Рассмотрим последовательность . Исследуем ее на сходимость. Используя формулу бинома Ньютона:
,
где , получим
= = .
Заметим, что при каждый и
Предел функции.
Пусть дана функция действительного аргумента , определенная на . Распространим определение предела функции натурального аргумента на функцию действительного аргумента при .
Односторонние пределы функции.
При определении предела функции в точке ничего не говорилось о том, как аргумент приближается к . Он может приближаться к монотонно возрастая, т.е. слева от ; монотонно убывая, т.е.
Непрерывность элементарных функций.
Покажем сначала, что основные элементарные функции непрерывны в любой точке своей области определения.
1)Непрерывность функции была установ
ТЕОРЕМА 3.29. (второй замечательный предел).
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Рассмотрим сначала случай, когда . Поскольку нас интересует поведение функции вблизи точки , то можно ограничиться рассмотрением только положительны
Равномерная непрерывность функций.
Рассмотрим функцию , непрерывную в некоторой точке промежутка . Это значит, что
.
Заметим, что, вообще говоря, выбираемое зависит не только от , но и от точки . Од
Новости и инфо для студентов