рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Раздел Математика
/
Числовые последовательности.

Реферат Курсовая Конспект

Выберите учебное заведение

Числовые последовательности.

Числовые последовательности. - раздел Математика, Основы математического анализа Рассмотрим Числовую Функцию , Областью Определения Которой Яв...

Рассмотрим числовую функцию , областью определения которой является множество натуральных чисел , т.е. соответствие

Такие функции называют функциями натурального аргумента или числовыми последовательностями. В общем виде числовую последовательность (или просто последовательность) обозначают символом

(*)

или . При этом называют первым членом последовательности; – вторым, ..., – -ым членом последовательности. Часто для простоты вместо пишут также .

Для последовательностей важны два способа задания:

1.аналитический, т.е. с помощью формулы -го члена вида ;

2.рекуррентный: задают один или несколько первых членов последовательности и формулу, позволяющую определить любой член последовательности по известным предыдущим членам.

Числовые последовательности как функции могут быть ограниченными сверху (снизу), неограниченными, монотонными и немонотонными. Но не имеет смысла ставить вопрос о четности или нечетности последовательности, так как множество не является симметричным. Требует изменения и определение периодичности.

Определение 3.9. Числовую последовательность называют периодической, если . В противном случае последовательность называют непериодической.

Например, последовательность является периодической. Ее члены повторяются через один, т.е основным периодом является .

Наиболее важными из всех последовательностей являются арифметическая и геометрическая прогрессии.

Арифметической прогрессией называют числовую последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же постоянным числом . Это число называют разностью прогрессии. Если первый член арифметической прогрессии обозначить через , то остальные члены прогрессии по порядку будут иметь вид:

Этот факт легко доказать методом математической индукции.

Таким образом, аналитическое задание арифметической прогрессии выглядит так: . Арифметическую прогрессию можно задать и рекуррентно: . Покажем, что каждый член арифметической прогрессии , начиная со второго, равен среднему арифметическому двух соседних с ним членов. Рассмотрим три произвольных члена арифметической прогрессии, идущие подряд. Пусть это будут члены , где произвольное натуральное число. Требуется установить справедливость равенства . Действительно, учитывая, что

находим

Доказанное свойство является характеристическим для арифметической прогрессии. Его можно обобщить, доказав, что каждый член арифметической прогрессии равен среднему арифметическому двух равноудаленных от него членов прогрессии. Справедливость равенства , где и произвольные натуральные числа, удовлетворяющие условию , докажите самостоятельно.

Обозначим через сумму первых членов арифметической прогрессии . Выведем формулу для , зная первый член и разность .

Сложим следующие два равенства

Получим .

Заметив, что = , мы получаем, что . Отсюда .

Геометрической прогрессией называют числовую последовательность, в которой первый член отличен от нуля, а каждый член, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же постоянное число . Это число называют знаменателем прогрессии. Если первый член геометрической прогрессии обозначить через : , то остальные члены прогрессии по порядку будут иметь вид: . Это доказывается методом математической индукции.

Таким образом, аналитическое задание геометрической прогрессии выглядит так: . Геометрическую прогрессию можно задать и рекуррентно: . Покажем, что квадрат каждого члена геометрической прогрессии , начиная со второго, равен произведению двух соседних с ним членов. Рассмотрим три произвольных члена геометрической прогрессии, идущие подряд. Пусть это будут члены , где произвольное натуральное число. Требуется установить справедливость равенства . Действительно, . Если все члены геометрической прогрессии положительны, то это свойство можно записать также формулой . Это означает, что каждый член геометрической прогрессии (с положительными членами), начиная со второго, равен среднему геометрическому двух соседних с ним членов. Это свойство является характеристическим для геометрической прогрессии. Его можно обобщить, показав, что квадрат любого члена геометрической прогрессии, начиная со второго, равен произведению двух равноотстоящих от него членов прогрессии.

Рассмотрим примеры простейшего исследования числовых последовательностей.

1. .

Последовательность задана аналитически. Выпишем несколько ее первых членов:

1,2,3,4,..., ,...

Это арифметическая прогрессия с разностью 1. Последовательность ограничена снизу, неограничена сверху, монотонно возрастает. Эту же последовательность можно задать рекуррентно:

2. .

Последовательность задана аналитически. Выпишем несколько ее первых членов:

Эта последовательность является ограниченной. Все ее члены положительны и, кроме того, <1 при всех . Покажем, что эта последовательность монотонно возрастает.

> 0.

Значит при любом .

3. .

Последовательность задана рекуррентно. Выпишем несколько ее первых членов:

Это геометрическая прогрессия со знаменателем .

Последовательность монотонно убывает, так как > 0 при любом и , поскольку . Последовательность ограничена (снизу нулем, сверху – числом 2).

4. .

Последовательность задана аналитически. Выпишем несколько ее членов:

Последовательность ограничена (снизу числом -1, сверху – числом ), не является монотонной, так как знаки ее членов чередуются.

Развернуть

Открыть в широком формате

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

Основы математического анализа

лицей им А М Кузьмина... В С Козадаев...

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Числовые последовательности.

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Правила вывода.
Среди различных сложных высказываний особое место занимают высказывания, которые являются истинными при любых значениях истинности входящих в них простых высказываний. Такие сложные

Предикаты. Кванторы.
В математике часто встречаются предложения, содержащие переменную. Например, рассмотрим предложение « ». Это предложение не является высказыванием, поскольку мы не можем сказать, ис

Сечения Дедекинда во множестве рациональных чисел.
Основой для построения любой теории действительного числа является множество рациональных чисел. Поэтому считаем, что нам дано множество со всеми его свойствами.

Действительные числа. Полнота множества действительных чисел.
Определение 2.2. Действительным числом назовем любой из трех видов сечений Дедекинда во множестве рациональных чисел. Множество

ТЕОРЕМА 2.1. Между двумя неравными действительными числами всегда существует рациональное число.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть и два неравных действительных числа. Положим для определенности, что . По определению 2.5 это означает, что множество рациональных чисел являе

Числовые множества и их границы.
Числовым множеством будем называть любое множество, элементами которого являются действительные числа. Рассмотрим примеры числовых множеств. 1)Отрезок [a,b

ТЕОРЕМА 2.2. Всякое непустое ограниченное сверху числовое множество имеет точную верхнюю грань.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть - непустое ограниченное сверху множество. Очевидно, что, если в есть наибольшее действительное число, то это число и является точной верхней г

Понятие об арифметических операциях над действительными числами.
Пусть имеем два действительных числа и . Рассмотрим множество всевозможных сумм рациональных чисел , где – рациональное число из , – рациональное число из , а также множество всевоз

Модуль действительного числа и его свойства.
Модулем, или абсолютной величиной действительного числа (обозначение ) назовем само число , если оно неотрицательно и число , если отрицательно. Таким образом, . Р

Понятие функции одной переменной. Обратная функция. Сложная функция.
В основе описания окружающих нас явлений средствами математики лежит понятие соответствия между множествами. Оно, как и понятие множества, относится к неопределяемым понятиям. Дадим

Элементарные функции. Свойства функций.
Функции , где , называют основными элементарными функциями. Определение 3.2. Суммой (произведением) функций , , , определенных на од

ТЕОРЕМА 3.1. Если последовательность имеет предел, то он единственный.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Предположим противное, что последовательность имеет более одного предела. Возьмем два из них и ( ). Рассмотрим число > 0. Для него из того, что н

ТЕОРЕМА 3.3. Всякая монотонная ограниченная последовательность сходится (имеет предел).
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть для определенности имеем возрастающую и ограниченную последовательность . Так как ограниченность последовательности означает ограниченность мн

ТЕОРЕМА 3.4. Если последовательность сходится к числу , а последовательность сходится к числу и при этом , то .
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Предположим противное, что . Рассмотрим число . Для него и . Пусть . Тогда для всех будем иметь: и . Учитывая, что , получаем цепо

ТЕОРЕМА 3.7. Сумма двух бесконечно малых последовательностей является бесконечно малой последовательностью.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть и – бесконечно малые последовательности. Выберем произвольно и для числа найдем , начиная с которого будет выполняться неравенство . Для того

ТЕОРЕМА 3.8. Если является бесконечно малой последовательностью, а – ограниченная последовательность, то есть бесконечно малая последовательность.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Так как – ограниченная последовательность, то . Пусть . Тогда . Выберем произвольно и для числа найдем номер такой, что . Тогда пр

ТЕОРЕМА 3.9. Чтобы последовательность была бесконечно большой, необходимо и достаточно чтобы последовательность , где , была бесконечно малой.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Необходимость. Пусть – бесконечно большая последовательность. Значит . Записав неравенство в виде и, обозначив через , получаем, что при всех . След

ТЕОРЕМА 3.11. Если последовательность сходится к числу ; последовательность сходится к числу , то последовательность сходится к числу .
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Покажем сначала, что в условиях теоремы последовательность является ограниченной. По условию . Пусть для определенности . Выберем произволь

Неопределенности. Сравнение бесконечно малых последовательностей.
Пусть имеем две бесконечно малые последовательности и . Составим новую последовательность и попытаемся найти ее предел. Легко видеть, что мы не можем использовать теорему 3.11, так

Подпоследовательности. Частичные пределы.
Пусть имеем последовательность , т.е. соответствие Выберем во множестве , не меняя порядка следования членов, некоторое бесконечное подмножество и рассмотри

ТЕОРЕМА 3.12. Если последовательность сходится к числу , то и любая ее подпоследовательность также сходится и притом к тому же числу .
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Сходимость последовательности к числу равносильна условию: . Рассмотрим произвольную подпоследовательность данной последовательнос

Всякая ограниченная последовательность имеет хотя бы один частичный предел.).
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть дана ограниченная последовательность . Значит . Разобьем отрезок пополам и возьмем ту половину, в которой содержится бесконечное число членов

Число e.
Рассмотрим последовательность . Исследуем ее на сходимость. Используя формулу бинома Ньютона: , где , получим = = . Заметим, что при каждый и

Предел функции.
Пусть дана функция действительного аргумента , определенная на . Распространим определение предела функции натурального аргумента на функцию действительного аргумента при .

ТЕОРЕМА 3.13. Определения предела функции в точке по Коши и по Гейне эквивалентны.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Требуется доказать два утверждения, что из определения 3.16 следует определение 3.17 и наоборот. 1)Пусть –

ТЕОРЕМА 3.18. Если и , то в некоторой проколотой окрестности точки выполняется неравенство .
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть для определенности . Зададим и найдем такое, что при всех , удовлетворяющих условию , выполняется неравенство , или, . Отсюда получаем

Односторонние пределы функции.
При определении предела функции в точке ничего не говорилось о том, как аргумент приближается к . Он может приближаться к монотонно возрастая, т.е. слева от ; монотонно убывая, т.е.

ТЕОРЕМА 3.26. Если функции и непрерывны в точке , то в этой точке будут непрерывны функции , а при условии будет непрерывна функция .
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО следует из теорем 3.23 и 3.24. Из рассмотренных примеров и теоремы 3.26 вытекают важные следствия.

ТЕОРЕМА 3.27. .
х А В

Непрерывность элементарных функций.
Покажем сначала, что основные элементарные функции непрерывны в любой точке своей области определения. 1)Непрерывность функции была установ

ТЕОРЕМА 3.28. Пусть имеем сложную функцию . Если функция непрерывна в точке , а функция непрерывна в точке , то сложная функция непрерывна в точке .
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Зададим произвольно и найдем для него в силу непрерывности функции в точке такое , что при всех , удовлетворяющих неравенству , выполняется условие

ТЕОРЕМА 3.29. (второй замечательный предел).
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Рассмотрим сначала случай, когда . Поскольку нас интересует поведение функции вблизи точки , то можно ограничиться рассмотрением только положительны

ТЕОРЕМА 3.33. Для непрерывности функции в точке , необходимо и достаточно, чтобы была непрерывна слева и справа от .
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО теоремы вытекает из теоремы 3.25 и определения односторонней непрерывности функции. Если функция не является непрерывной в точке , то ее наз

ТЕОРЕМА Вейерштрасса. Если функция определена и непрерывна на отрезке , то она ограничена.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Покажем ограниченность сверху функции . Предположим противное, что неограничена сверху. Значит . Для найдем такой, что ; для найдем такой, что и так

ТЕОРЕМА Вейерштрасса. Если функция непрерывна на отрезке , то среди всех ее значений есть наибольшее и наименьшее.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. По 1 теореме Вейерштрасса непрерывная на функция ограничена. Следовательно, множество значений этой функции имеет точные верхнюю и нижнюю грани. Пус

ТЕОРЕМА Больцано-Коши. Если функция непрерывна на отрезке и на концах его принимает значения разных знаков, то внутри найдется точка такая, что .
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть для определенности . Разделим отрезок пополам точкой . Может так случиться, что . a

ТЕОРЕМА Больцано-Коши. Если функция непрерывна на отрезке и , то для любого числа между и найдется точка из такая, что .
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть для определенности . Рассмотрим функцию . Она непрерывна на по теореме 3.26 и ; . Следовательно, по 1 теореме Больцано-Коши на найдется точка

Равномерная непрерывность функций.
Рассмотрим функцию , непрерывную в некоторой точке промежутка . Это значит, что . Заметим, что, вообще говоря, выбираемое зависит не только от , но и от точки . Од

ТЕОРЕМА Кантора. Если функция непрерывна на , то она будет равномерно непрерывна на .
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Предположим противное, что непрерывная на отрезке функция не будет равномерно непрерывной на , т.е. . Выберем произвольную бесконе