Число e. - раздел Математика, Основы математического анализа
Рассмотрим Последовательность . Исследуем Ее На Сходимость. И...
Рассмотрим последовательность . Исследуем ее на сходимость. Используя формулу бинома Ньютона:
,
где , получим
= = .
Заметим, что при каждый из множителей меньше единицы, а . Следовательно,
= = .
Таким образом, каждый член рассматриваемой последовательности меньше числа 3, что означает ограниченность сверху этой последовательности. Докажем теперь, что последовательность монотонно возрастает. Для этого достаточно убедиться в справедливости неравенства .
.
Сравним каждое слагаемое, начиная со второго, в записях членов и . Видим, что . Поэтому делаем вывод, что каждое слагаемое, начиная со второго, суммы для члена больше соответственного слагаемого суммы для члена . Отсюда получаем, что . Значит последовательность монотонно возрастает.
Известно, что ограниченная сверху монотонно возрастающая последовательность сходится (см. теорему 3.3). Предел этой последовательности принято обозначать буквой .
Число – иррациональное; его можно представить в виде бесконечной непериодической десятичной дроби: = 2,718281828459045...
Показательную функцию с основанием , т.е. функцию , называют экспонентой. Она часто используется при описании различных явлений окружающей нас действительности.
Логарифм числа по основанию называют натуральным логарифмом и обозначают символом . Функция также находит в математике широкое применение.
Правила вывода.
Среди различных сложных высказываний особое место занимают высказывания, которые являются истинными при любых значениях истинности входящих в них простых высказываний. Такие сложные
Предикаты. Кванторы.
В математике часто встречаются предложения, содержащие переменную. Например, рассмотрим предложение « ». Это предложение не является высказыванием, поскольку мы не можем сказать, ис
Сечения Дедекинда во множестве рациональных чисел.
Основой для построения любой теории действительного числа является множество рациональных чисел. Поэтому считаем, что нам дано множество со всеми его свойствами.
Числовые множества и их границы.
Числовым множеством будем называть любое множество, элементами которого являются действительные числа. Рассмотрим примеры числовых множеств.
1)Отрезок [a,b
Модуль действительного числа и его свойства.
Модулем, или абсолютной величиной действительного числа (обозначение ) назовем само число , если оно неотрицательно и число , если отрицательно. Таким образом,
.
Р
Элементарные функции. Свойства функций.
Функции , где , называют основными элементарными функциями.
Определение 3.2. Суммой (произведением) функций , , , определенных на од
Числовые последовательности.
Рассмотрим числовую функцию , областью определения которой является множество натуральных чисел , т.е. соответствие
Такие функции называют функциями натурал
Подпоследовательности. Частичные пределы.
Пусть имеем последовательность , т.е. соответствие
Выберем во множестве , не меняя порядка следования членов, некоторое бесконечное подмножество и рассмотри
Предел функции.
Пусть дана функция действительного аргумента , определенная на . Распространим определение предела функции натурального аргумента на функцию действительного аргумента при .
Односторонние пределы функции.
При определении предела функции в точке ничего не говорилось о том, как аргумент приближается к . Он может приближаться к монотонно возрастая, т.е. слева от ; монотонно убывая, т.е.
Непрерывность элементарных функций.
Покажем сначала, что основные элементарные функции непрерывны в любой точке своей области определения.
1)Непрерывность функции была установ
ТЕОРЕМА 3.29. (второй замечательный предел).
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Рассмотрим сначала случай, когда . Поскольку нас интересует поведение функции вблизи точки , то можно ограничиться рассмотрением только положительны
Равномерная непрерывность функций.
Рассмотрим функцию , непрерывную в некоторой точке промежутка . Это значит, что
.
Заметим, что, вообще говоря, выбираемое зависит не только от , но и от точки . Од
Новости и инфо для студентов