ТЕОРЕМА 3.27. . - раздел Математика, Основы математического анализа
Х
...
х
А
В
С
О
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Возьмем окружность радиуса и рассмотрим острый центральный угол АОВ, радианная мера которого равна .
Проведем касательную к окружности в точке до пересечения в точке с прямой ОВ.
Сравним площади треугольников АОВ, АОС и сектора АОВ. Легко видеть, что треугольник АОВ является частью сектора АОВ, который в свою очередь является частью треугольника АОС. Поэтому имеем цепочку неравенств
.
Выразив площади фигур через и , получим
, или . (1)
Учитывая, что , поделим все части последнего неравенства на . Получим , или, переходя к обратным величинам, будем иметь
(2)
Умножив все части неравенства (2) на (-1) и прибавив ко всем частям 1, приходим к неравенству . Оценим правую часть этого неравенства: . Далее из неравенства (1) следует, что . Поэтому получаем . Итак имеем
(3)
Перейдем к пределу при . В силу ограничения получаем, что стремится к нулю справа, т.е. . Поскольку левая и правая части неравенства (3) стремятся к нулю, то по теореме о сжатой функции приходим к заключению
, или .
Пусть теперь . Заметим, что при таких останется справедливым неравенство (2) в силу четности функций и . Умножив все части неравенства (2) на (-1) и прибавив ко всем частям 1, приходим к неравенству . Оценивая правую часть этого неравенства, получаем . Следовательно, . Перейдем к пределу при . При этом . Так как левая и правая части последнего неравенства стремятся к нулю, то по теореме о сжатой функции получаем, что , или . Теперь на основании теоремы 3.25 можно утверждать, что .
Следствие Для всех действительных имеет место неравенство .
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Для утверждение доказано в теореме 3.27. Если же , то утверждение очевидно, так как , а .
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:
ТЕОРЕМА 3.27. .
Что будем делать с полученным материалом:
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Правила вывода.
Среди различных сложных высказываний особое место занимают высказывания, которые являются истинными при любых значениях истинности входящих в них простых высказываний. Такие сложные
Предикаты. Кванторы.
В математике часто встречаются предложения, содержащие переменную. Например, рассмотрим предложение « ». Это предложение не является высказыванием, поскольку мы не можем сказать, ис
Сечения Дедекинда во множестве рациональных чисел.
Основой для построения любой теории действительного числа является множество рациональных чисел. Поэтому считаем, что нам дано множество со всеми его свойствами.
Числовые множества и их границы.
Числовым множеством будем называть любое множество, элементами которого являются действительные числа. Рассмотрим примеры числовых множеств.
1)Отрезок [a,b
Модуль действительного числа и его свойства.
Модулем, или абсолютной величиной действительного числа (обозначение ) назовем само число , если оно неотрицательно и число , если отрицательно. Таким образом,
.
Р
Элементарные функции. Свойства функций.
Функции , где , называют основными элементарными функциями.
Определение 3.2. Суммой (произведением) функций , , , определенных на од
Числовые последовательности.
Рассмотрим числовую функцию , областью определения которой является множество натуральных чисел , т.е. соответствие
Такие функции называют функциями натурал
Подпоследовательности. Частичные пределы.
Пусть имеем последовательность , т.е. соответствие
Выберем во множестве , не меняя порядка следования членов, некоторое бесконечное подмножество и рассмотри
Число e.
Рассмотрим последовательность . Исследуем ее на сходимость. Используя формулу бинома Ньютона:
,
где , получим
= = .
Заметим, что при каждый и
Предел функции.
Пусть дана функция действительного аргумента , определенная на . Распространим определение предела функции натурального аргумента на функцию действительного аргумента при .
Односторонние пределы функции.
При определении предела функции в точке ничего не говорилось о том, как аргумент приближается к . Он может приближаться к монотонно возрастая, т.е. слева от ; монотонно убывая, т.е.
Непрерывность элементарных функций.
Покажем сначала, что основные элементарные функции непрерывны в любой точке своей области определения.
1)Непрерывность функции была установ
ТЕОРЕМА 3.29. (второй замечательный предел).
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Рассмотрим сначала случай, когда . Поскольку нас интересует поведение функции вблизи точки , то можно ограничиться рассмотрением только положительны
Равномерная непрерывность функций.
Рассмотрим функцию , непрерывную в некоторой точке промежутка . Это значит, что
.
Заметим, что, вообще говоря, выбираемое зависит не только от , но и от точки . Од
Новости и инфо для студентов