Непрерывность элементарных функций. - раздел Математика, Основы математического анализа
Покажем Сначала, Что Основные Элементарные Функции Непрерывны...
Покажем сначала, что основные элементарные функции непрерывны в любой точке своей области определения.
1)Непрерывность функции была установлена в § 16.
2)Доказательство непрерывности функции в произвольной точке из области определения проведем в два этапа. Сначала покажем непрерывность этой функции в точке , т.е. что . Рассмотрим два случая, когда и когда .
Пусть . Зададим произвольно и найдем такое, что при всех , удовлетворяющих неравенству , будет выполняться условие . Рассмотрим неравенство . Оно равносильно неравенству , которое равносильно неравенству . Выберем наименьшее из чисел и . Так как
,
то > . Поэтому, взяв в качестве любое положительное число, меньшее чем , при всех , удовлетворяющих условию , будет обеспечено выполнение неравенства .
Пусть теперь . Тогда рассмотрим число . Для числа было установлено, что . Значит . Отсюда получаем .
Теперь покажем, что показательная функция непрерывна в любой точке из области определения.
,
что и требовалось доказать.
3)Установим теперь непрерывность функции в точке из области определения, т.е. покажем, что .
Зададим произвольно и найдем такое, что
.
Неравенство равносильно неравенству , которое равносильно совокупности
.
Для каждого случая находим как положительное число, меньшее чем .
4)Покажем непрерывность в произвольной точке . Зададим произвольно и найдем такое, что при всех , удовлетворяющих неравенству , выполняется условие .
.
Поскольку , а , то
.
Отсюда приходим к выводу, что, в качестве можно взять любое положительное число, меньшее . Совершенно аналогично можно установить непрерывность функции в любой точке , т.е. справедливость равенства .
После этого на основании теоремы 3.26 можно утверждать, что в любой точке области определения будут непрерывны функции и .
5) Установим теперь непрерывность функции в произвольной точке из области определения. Известно, что функция на отрезке монотонно возрастает от -1 до +1. Поэтому функция устанавливает взаимно-однозначное соответствие между отрезками и . Этот факт позволяет определить на [-1,1] функцию , обратную к функции. . Функция , как и функция , будет монотонно возрастающей. Возьмем произвольную точку из . Ей будет соответствовать точка из . Зададим произвольно так, чтобы точки и лежали на отрезке . Покажем, как можно найти такое, чтобы при всех , удовлетворяющих неравенству , выполнялось условие .
Для числа найдется такое из [-1,1] ,что . Аналогично для числа найдется число из [-1,1] такое, что . При этом в силу монотонного возрастания функции из того, что будем иметь: (см. рисунок). Отсюда видно, что в качестве можно взять любое положительное число меньшее, чем .
Замечание. Если же будет таким, что выйдет за пределы отрезка [-1,1], то в качестве можно взять число 1 (число -1).
Если учесть, что , то функция непрерывна в любой точке из области определения по теореме 3.26.
Непрерывность функций и в любой точке области определения устанавливается аналогично непрерывности .
6)Для установления непрерывности степенной функции докажем предварительно теорему о непрерывности сложной функции.
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:
Непрерывность элементарных функций.
Что будем делать с полученным материалом:
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Правила вывода.
Среди различных сложных высказываний особое место занимают высказывания, которые являются истинными при любых значениях истинности входящих в них простых высказываний. Такие сложные
Предикаты. Кванторы.
В математике часто встречаются предложения, содержащие переменную. Например, рассмотрим предложение « ». Это предложение не является высказыванием, поскольку мы не можем сказать, ис
Сечения Дедекинда во множестве рациональных чисел.
Основой для построения любой теории действительного числа является множество рациональных чисел. Поэтому считаем, что нам дано множество со всеми его свойствами.
Числовые множества и их границы.
Числовым множеством будем называть любое множество, элементами которого являются действительные числа. Рассмотрим примеры числовых множеств.
1)Отрезок [a,b
Модуль действительного числа и его свойства.
Модулем, или абсолютной величиной действительного числа (обозначение ) назовем само число , если оно неотрицательно и число , если отрицательно. Таким образом,
.
Р
Элементарные функции. Свойства функций.
Функции , где , называют основными элементарными функциями.
Определение 3.2. Суммой (произведением) функций , , , определенных на од
Числовые последовательности.
Рассмотрим числовую функцию , областью определения которой является множество натуральных чисел , т.е. соответствие
Такие функции называют функциями натурал
Подпоследовательности. Частичные пределы.
Пусть имеем последовательность , т.е. соответствие
Выберем во множестве , не меняя порядка следования членов, некоторое бесконечное подмножество и рассмотри
Число e.
Рассмотрим последовательность . Исследуем ее на сходимость. Используя формулу бинома Ньютона:
,
где , получим
= = .
Заметим, что при каждый и
Предел функции.
Пусть дана функция действительного аргумента , определенная на . Распространим определение предела функции натурального аргумента на функцию действительного аргумента при .
Односторонние пределы функции.
При определении предела функции в точке ничего не говорилось о том, как аргумент приближается к . Он может приближаться к монотонно возрастая, т.е. слева от ; монотонно убывая, т.е.
ТЕОРЕМА 3.29. (второй замечательный предел).
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Рассмотрим сначала случай, когда . Поскольку нас интересует поведение функции вблизи точки , то можно ограничиться рассмотрением только положительны
Равномерная непрерывность функций.
Рассмотрим функцию , непрерывную в некоторой точке промежутка . Это значит, что
.
Заметим, что, вообще говоря, выбираемое зависит не только от , но и от точки . Од
Новости и инфо для студентов