ТЕОРЕМА Кантора. Если функция непрерывна на , то она будет равномерно непрерывна на .
ТЕОРЕМА Кантора. Если функция непрерывна на , то она будет равномерно непрерывна на . - раздел Математика, Основы математического анализа
Доказательство. Предположим Противное, Что Н...
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Предположим противное, что непрерывная на отрезке функция не будет равномерно непрерывной на , т.е.
.
Выберем произвольную бесконечно малую последовательность положительных чисел . Тогда по предположению для найдутся значения и такие, что
;
для найдутся значения и такие, что
.
Продолжая далее этот процесс на шагу получим для найдутся значения и такие, что .
И так далее. В результате получим две последовательности и , все члены которых лежат на . По лемме Больцано-Вейерштрасса выделим из последовательности подпоследовательность , сходящуюся к . Рассмотрим теперь подпоследовательность последовательности . Покажем сначала, что .
Поскольку последовательность является бесконечно малой, то ее подпоследовательность также будет бесконечно малой. Зададим произвольно . Для него . Учитывая, что , получаем, что для . С другой стороны, для . Пусть . Тогда
.
Это и значит, что . Таким образом, из последовательностей и мы выделили две подпоследовательности и , сходящиеся к . Следовательно, по непрерывности функции последовательности и должны сходиться к одному и тому же числу , или последовательность должна быть бесконечно малой. Однако в силу выбора последовательностей и мы имеем условие . Полученное противоречие вынуждает нас отказаться от неверного предположения о неравномерной непрерывности функции на . Теорема доказана.
Оглавление
ВВЕДЕНИЕ.. 3
Глава 1 ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ. 4
§1. Высказывания. Логические операции над высказываниями. 4
§2. Правила вывода. 7
§3. Предикаты. Кванторы. 8
Глава 2 ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА.. 10
Введение. 10
§1. Сечения Дедекинда во множестве рациональных чисел. 11
§2. Действительные числа. Полнота множества действительных чисел. 12
§3. Числовые множества и их границы. 15
§4. Понятие об арифметических операциях над действительными числами. 16
§5. Модуль действительного числа и его свойства. 17
Глава 3 ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ. 19
§1. Понятие функции одной переменной. Обратная функция. Сложная функция. 19
§2. Элементарные функции. Свойства функций. 20
§3. Числовые последовательности. 23
§4. Понятие предела числовой последовательности. 25
§5. Основные теоремы о пределе последовательности. 28
§6. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. 30
§7. Арифметические операции над пределами последовательностей. 32
§8. Неопределенности. Сравнение бесконечно малых последовательностей. 33
§9. Лемма о вложенных отрезках. 34
§10. Подпоследовательности. Частичные пределы. 35
§11. Число e. 37
§12. Предел функции. 38
§13. Основные теоремы о пределе функции. 41
§14. Односторонние пределы функции. 43
§15. Понятие непрерывности функции в точке. Арифметические операции над непрерывными функциями. 43
§16. Первый замечательный предел. 45
§17. Непрерывность элементарных функций. 47
§18. Некоторые пределы, связанные с показательной и логарифмической функциями. 49
Правила вывода.
Среди различных сложных высказываний особое место занимают высказывания, которые являются истинными при любых значениях истинности входящих в них простых высказываний. Такие сложные
Предикаты. Кванторы.
В математике часто встречаются предложения, содержащие переменную. Например, рассмотрим предложение « ». Это предложение не является высказыванием, поскольку мы не можем сказать, ис
Сечения Дедекинда во множестве рациональных чисел.
Основой для построения любой теории действительного числа является множество рациональных чисел. Поэтому считаем, что нам дано множество со всеми его свойствами.
Числовые множества и их границы.
Числовым множеством будем называть любое множество, элементами которого являются действительные числа. Рассмотрим примеры числовых множеств.
1)Отрезок [a,b
Модуль действительного числа и его свойства.
Модулем, или абсолютной величиной действительного числа (обозначение ) назовем само число , если оно неотрицательно и число , если отрицательно. Таким образом,
.
Р
Элементарные функции. Свойства функций.
Функции , где , называют основными элементарными функциями.
Определение 3.2. Суммой (произведением) функций , , , определенных на од
Числовые последовательности.
Рассмотрим числовую функцию , областью определения которой является множество натуральных чисел , т.е. соответствие
Такие функции называют функциями натурал
Подпоследовательности. Частичные пределы.
Пусть имеем последовательность , т.е. соответствие
Выберем во множестве , не меняя порядка следования членов, некоторое бесконечное подмножество и рассмотри
Число e.
Рассмотрим последовательность . Исследуем ее на сходимость. Используя формулу бинома Ньютона:
,
где , получим
= = .
Заметим, что при каждый и
Предел функции.
Пусть дана функция действительного аргумента , определенная на . Распространим определение предела функции натурального аргумента на функцию действительного аргумента при .
Односторонние пределы функции.
При определении предела функции в точке ничего не говорилось о том, как аргумент приближается к . Он может приближаться к монотонно возрастая, т.е. слева от ; монотонно убывая, т.е.
Непрерывность элементарных функций.
Покажем сначала, что основные элементарные функции непрерывны в любой точке своей области определения.
1)Непрерывность функции была установ
ТЕОРЕМА 3.29. (второй замечательный предел).
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Рассмотрим сначала случай, когда . Поскольку нас интересует поведение функции вблизи точки , то можно ограничиться рассмотрением только положительны
Равномерная непрерывность функций.
Рассмотрим функцию , непрерывную в некоторой точке промежутка . Это значит, что
.
Заметим, что, вообще говоря, выбираемое зависит не только от , но и от точки . Од
Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Новости и инфо для студентов