Понятие об арифметических операциях над действительными числами.

Все темы данного раздела:

Правила вывода.
  Среди различных сложных высказываний особое место занимают высказывания, которые являются истинными при любых значениях истинности входящих в них простых высказываний. Такие сложные

Предикаты. Кванторы.
  В математике часто встречаются предложения, содержащие переменную. Например, рассмотрим предложение « ». Это предложение не является высказыванием, поскольку мы не можем сказать, ис

Сечения Дедекинда во множестве рациональных чисел.
  Основой для построения любой теории действительного числа является множество рациональных чисел. Поэтому считаем, что нам дано множество со всеми его свойствами.  

Действительные числа. Полнота множества действительных чисел.
  Определение 2.2. Действительным числом назовем любой из трех видов сечений Дедекинда во множестве рациональных чисел.   Множество

ТЕОРЕМА 2.1. Между двумя неравными действительными числами всегда существует рациональное число.
  ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть и два неравных действительных числа. Положим для определенности, что . По определению 2.5 это означает, что множество рациональных чисел являе

Числовые множества и их границы.
  Числовым множеством будем называть любое множество, элементами которого являются действительные числа. Рассмотрим примеры числовых множеств. 1)Отрезок [a,b

ТЕОРЕМА 2.2. Всякое непустое ограниченное сверху числовое множество имеет точную верхнюю грань.
  ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть - непустое ограниченное сверху множество. Очевидно, что, если в есть наибольшее действительное число, то это число и является точной верхней г

Модуль действительного числа и его свойства.
  Модулем, или абсолютной величиной действительного числа (обозначение ) назовем само число , если оно неотрицательно и число , если отрицательно. Таким образом, . Р

Понятие функции одной переменной. Обратная функция. Сложная функция.
  В основе описания окружающих нас явлений средствами математики лежит понятие соответствия между множествами. Оно, как и понятие множества, относится к неопределяемым понятиям. Дадим

Элементарные функции. Свойства функций.
  Функции , где , называют основными элементарными функциями.   Определение 3.2. Суммой (произведением) функций , , , определенных на од

Числовые последовательности.
  Рассмотрим числовую функцию , областью определения которой является множество натуральных чисел , т.е. соответствие   Такие функции называют функциями натурал

ТЕОРЕМА 3.1. Если последовательность имеет предел, то он единственный.
  ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Предположим противное, что последовательность имеет более одного предела. Возьмем два из них и ( ). Рассмотрим число > 0. Для него из того, что н

ТЕОРЕМА 3.3. Всякая монотонная ограниченная последовательность сходится (имеет предел).
  ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть для определенности имеем возрастающую и ограниченную последовательность . Так как ограниченность последовательности означает ограниченность мн

ТЕОРЕМА 3.4. Если последовательность сходится к числу , а последовательность сходится к числу и при этом , то .
  ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Предположим противное, что . Рассмотрим число . Для него и . Пусть . Тогда для всех будем иметь: и . Учитывая, что , получаем цепо

ТЕОРЕМА 3.7. Сумма двух бесконечно малых последовательностей является бесконечно малой последовательностью.
  ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть и – бесконечно малые последовательности. Выберем произвольно и для числа найдем , начиная с которого будет выполняться неравенство . Для того

ТЕОРЕМА 3.8. Если является бесконечно малой последовательностью, а – ограниченная последовательность, то есть бесконечно малая последовательность.
  ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Так как – ограниченная последовательность, то . Пусть . Тогда . Выберем произвольно и для числа найдем номер такой, что . Тогда пр

ТЕОРЕМА 3.9. Чтобы последовательность была бесконечно большой, необходимо и достаточно чтобы последовательность , где , была бесконечно малой.
  ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Необходимость. Пусть – бесконечно большая последовательность. Значит . Записав неравенство в виде и, обозначив через , получаем, что при всех . След

ТЕОРЕМА 3.11. Если последовательность сходится к числу ; последовательность сходится к числу , то последовательность сходится к числу .
  ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Покажем сначала, что в условиях теоремы последовательность является ограниченной. По условию . Пусть для определенности . Выберем произволь

Неопределенности. Сравнение бесконечно малых последовательностей.
  Пусть имеем две бесконечно малые последовательности и . Составим новую последовательность и попытаемся найти ее предел. Легко видеть, что мы не можем использовать теорему 3.11, так

Подпоследовательности. Частичные пределы.
  Пусть имеем последовательность , т.е. соответствие   Выберем во множестве , не меняя порядка следования членов, некоторое бесконечное подмножество и рассмотри

ТЕОРЕМА 3.12. Если последовательность сходится к числу , то и любая ее подпоследовательность также сходится и притом к тому же числу .
  ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Сходимость последовательности к числу равносильна условию: . Рассмотрим произвольную подпоследовательность данной последовательнос

Всякая ограниченная последовательность имеет хотя бы один частичный предел.).
  ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть дана ограниченная последовательность . Значит . Разобьем отрезок пополам и возьмем ту половину, в которой содержится бесконечное число членов

Число e.
  Рассмотрим последовательность . Исследуем ее на сходимость. Используя формулу бинома Ньютона: , где , получим = = . Заметим, что при каждый и

Предел функции.
  Пусть дана функция действительного аргумента , определенная на . Распространим определение предела функции натурального аргумента на функцию действительного аргумента при .

ТЕОРЕМА 3.13. Определения предела функции в точке по Коши и по Гейне эквивалентны.
  ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Требуется доказать два утверждения, что из определения 3.16 следует определение 3.17 и наоборот.   1)Пусть –

ТЕОРЕМА 3.18. Если и , то в некоторой проколотой окрестности точки выполняется неравенство .
  ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть для определенности . Зададим и найдем такое, что при всех , удовлетворяющих условию , выполняется неравенство , или, . Отсюда получаем

Односторонние пределы функции.
  При определении предела функции в точке ничего не говорилось о том, как аргумент приближается к . Он может приближаться к монотонно возрастая, т.е. слева от ; монотонно убывая, т.е.

ТЕОРЕМА 3.26. Если функции и непрерывны в точке , то в этой точке будут непрерывны функции , а при условии будет непрерывна функция .
  ДОКАЗАТЕЛЬСТВО следует из теорем 3.23 и 3.24.   Из рассмотренных примеров и теоремы 3.26 вытекают важные следствия.  

ТЕОРЕМА 3.27. .
  х А В

Непрерывность элементарных функций.
  Покажем сначала, что основные элементарные функции непрерывны в любой точке своей области определения.   1)Непрерывность функции была установ

ТЕОРЕМА 3.28. Пусть имеем сложную функцию . Если функция непрерывна в точке , а функция непрерывна в точке , то сложная функция непрерывна в точке .
  ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Зададим произвольно и найдем для него в силу непрерывности функции в точке такое , что при всех , удовлетворяющих неравенству , выполняется условие

ТЕОРЕМА 3.29. (второй замечательный предел).
  ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Рассмотрим сначала случай, когда . Поскольку нас интересует поведение функции вблизи точки , то можно ограничиться рассмотрением только положительны

ТЕОРЕМА 3.33. Для непрерывности функции в точке , необходимо и достаточно, чтобы была непрерывна слева и справа от .
  ДОКАЗАТЕЛЬСТВО теоремы вытекает из теоремы 3.25 и определения односторонней непрерывности функции. Если функция не является непрерывной в точке , то ее наз

ТЕОРЕМА Вейерштрасса. Если функция определена и непрерывна на отрезке , то она ограничена.
  ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Покажем ограниченность сверху функции . Предположим противное, что неограничена сверху. Значит . Для найдем такой, что ; для найдем такой, что и так

ТЕОРЕМА Вейерштрасса. Если функция непрерывна на отрезке , то среди всех ее значений есть наибольшее и наименьшее.
  ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. По 1 теореме Вейерштрасса непрерывная на функция ограничена. Следовательно, множество значений этой функции имеет точные верхнюю и нижнюю грани. Пус

ТЕОРЕМА Больцано-Коши. Если функция непрерывна на отрезке и на концах его принимает значения разных знаков, то внутри найдется точка такая, что .
  ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть для определенности . Разделим отрезок пополам точкой . Может так случиться, что . a

ТЕОРЕМА Больцано-Коши. Если функция непрерывна на отрезке и , то для любого числа между и найдется точка из такая, что .
  ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть для определенности . Рассмотрим функцию . Она непрерывна на по теореме 3.26 и ; . Следовательно, по 1 теореме Больцано-Коши на найдется точка

Равномерная непрерывность функций.
  Рассмотрим функцию , непрерывную в некоторой точке промежутка . Это значит, что . Заметим, что, вообще говоря, выбираемое зависит не только от , но и от точки . Од

ТЕОРЕМА Кантора. Если функция непрерывна на , то она будет равномерно непрерывна на .
  ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Предположим противное, что непрерывная на отрезке функция не будет равномерно непрерывной на , т.е. . Выберем произвольную бесконе