Формула полной вероятности и формула Байеса - раздел Математика, КОНСПЕКТЫ ЛЕКЦИЙ ПО ОСНОВАМ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ Печатается по решению редакционно-издательского Рассмотрим П Попарно Несовместных Событий H1, H2...
Рассмотрим п попарно несовместных событий H1, H2, . . . , Hn. Они образуют полную группу событий, если они попарно несовместны, а их сумма является достоверным событием, т.е.
Hi . Нj = ? при i ≠ j и H1 +H2 + . . . + Нn = Ω.
Такие события называются гипотезами.
Простейшим примером полной группы событий является произвольное событие А и его дополнение Ā. По теореме сложения вероятностей, для полной группы событий справедливо равенство
Р(Н1) + Р(Н2) + . . .+ Р(Нп) =1.
Примеры:
__________________________ _____________________________
1. Пусть Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}. Рассмотрим события H1 = {2, 4, 6, 8, 10}, H2 = {1, 3}, H3 = {5, 7, 9}. Они попарно несовместны, а их сумма является достоверным событием Ω. Значит, Н1, H2, H3 составляют полную группу событий. Для них Р(Н1) = 5/10, Р(H2) = 2/10, Р(Н3) = 3/10, т.е. сумма их вероятностей равна 1.
2. В лесу растут деревья, среди которых 60 % берез, 10 % елей, и 30 % сосен. [3, c. 16]. Случайным образом выбирается для замера одно из деревьев. Обозначим гипотезы: Н1 – «выбранное дерево – береза», H2 – «выбранное дерево – ель», H3 – «выбранное дерево – сосна». Тогда события H1, H2, H3 – попарно несовместны, Р(Н1) = 0,6, Р(Н2) = 0,1, Р(Н3) = 0,3. Значит, гипотезы H1, H2, H3 составляют полную группу событий. Сумма их вероятностей равна 1.
_______________________________________________________________________________
Пусть события H1, H2, . . ., Нп образуют полную группу событий. Тогда для любого события А имеет место формула полной вероятности:
Пример:
_______________________________________________________________________
Рассмотрим предыдущий пример 2. Пусть при замере диаметра деревьев он оказался больше 15 см для 30 % берез, 40 % елей и 70 % сосен. Введем событие А – «диаметр случайно выбранного дерева больше 15 см». Найдем вероятность этого события. По условию примера, условные вероятности события А равны: Р(А/H1) = 0,3, P(А/H2) = 0,4, Р (А/H3) = 0,7. Тогда по формуле полной вероятности имеем:
Р(А) = P(H1)P (А/H1) + Р(Н2)Р(А/H2) + Р(Н3)Р(А/H3) = 0,6 . 0,3 + 0,1 . 0,4 + 0,3 . 0,7 = 0,43.
___________________________________________________________________
В формулу полной вероятности входят вероятности Р(Н1), Р(Н2), . . ., Р(Нn), которые называются априорными. Это вероятности гипотез Нi , вычисленные до опыта (a priori). Если событие А наступило, то эти вероятности изменяются. Это будут апостериорные условные вероятности, вычисленные после опыта (a posteriori) P(H1/A), PA(H2/A), . . . , PA(Hn/A). Они могут быть найдены по формуле Байеса:
Пример:___________________________________________________________________________
Пусть в условиях предыдущего примерадиаметр случайно выбранного дерева оказался больше на 15 см, т.е. событие А наступило. Найти вероятность того, что измеренное дерево – береза. По формуле Байеса имеем:
= = 0,42.
______________________________________________________________
Все темы данного раздела:
Соответствия и отношения
Соответствием R между множествами X и Y называется подмножество R декартова произведения
Элементы теории множеств в анализе психологических явлений
Применение в психологии теории множеств связано, во-первых, с психологическими, а, во-вторых, с математическими интерпретациями психологических явлений.
В оценках общественного мнения част
Формулы и законы логики высказываний
Логической формулой, или формулой логики высказываний называется предложение, составленное из элементарных (простых) высказываний (А, В, С, … X, Y, Z
Применение элементов линейной алгебры в психологии
Матрицы являются незаменимым средством описания многомерных объектов. Многомерную матрицу легко изобразить на плоскости как в целом, так и по частям. Этим обеспечивается своеобразная «символическая
Понятие функции
Понятие функции было введено в гл. 1, раздел 1.3. Рассмотрим частный случай этого понятия, а именно числовые функции. Область отправления и область прибытия в данном случае
Элементарные функции
В таблице 4.2 приведен перечень известных из школьного курса функций и их графиков. Эти функции называются основными элементарными функциями.
Элементарными
Предел функции
Понятие предела является математическим выражением факта одновременного стремления двух связанных величин к некоторым значениям.
Примеры:
_____________
Непрерывность функций.
С пределом функции тесно связана ее непрерывность, означающая малое изменение функции при малом изменении аргумента.
Пусть функция f(х) определена при некотором значении x0
Физический смысл производной
Пусть S(t) – путь, пройденный материальной точкой за время t. Тогда ∆S(t)=S(t+∆t)-S(t) – участок пути, проходимый за время ∆t. Отношение
Правила дифференцирования
1. Производная постоянной равна нулю, т.е
Возрастание и убывание функции. Экстремумы функции
Функция y=?(x) называется возрастающей (убывающей) на промежутке X, если для любых ,
Необходимое условие экстремума
Если в точке дифференцируемая функция y=?(x) имеет экстремум, то производная функции в этой точке равна нулю, т.е.
Достаточные условия экстремума
ППустПусть функция y=?(x) дифференцируема в δ-окрестности точки . Тогда, если в этой точке производная
Нахождение наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на отрезке
Для того чтобы найти наибольшее и наименьшее значения непрерывной функции на отрезке , необходимо:
1. Найти критиче
Использование математического анализа в психологии
Понятие функции и производное от него понятие функциональной схемы и функционирования тех или иных психических процессов, психики в целом, широко применяется в психологии. Для описа
Правило произведения
Пусть Х — некоторое множество, из которого выбор элемента а1 можно осуществить n1 способами, после этого выбор элемента a2 можно осуще
Основные комбинации и формулы для их подсчета
Основными комбинациями, рассматриваемыми в комбинаторике, являются комбинации без повторений и с повторениями. Это перестановки, размещения и сочетания.
Пусть некоторое множество Х
Вероятность случайного события
Предметом теории вероятностей является анализ закономерностей в случайных явлениях. Одной из важнейших сфер приложения теории вероятностей является психология. Практическое значение вероятностных м
Статистическое определение вероятности
Пусть было проведено п испытаний, в каждом из которых могло появиться некоторое событие А. Появление события А было зафиксировано т раз. Вероятность собы
Действия над событиями
Если событие А обязательно произойдет при появлении события В, то говорят, что событие В является частным случ
Теоремы сложения
ü Вероятность суммы несовместных событий A и B равна сумме их вероятностей:
(*)
ü Вероятность суммы совместных событий A и B равна сумме их вероятностей без вероятности
Условная вероятность и теоремы умножения
Событие А называется зависимым от события В, если вероятность события А меняется в зависимости от того, произошло событие В или нет. Вероятность
Формула Бернулли
Опыты называются независимыми, если вероятность исхода каждого опыта не зависит от того, какие исходы имели другие опыты. Пусть проводятся n независимых опытов, в рез
Случайные величины. Закон распределения случайной величины
Случайной величиной называется величина, которая в результате опыта может принять определенное, но заранее не известное, значение. Дискретной называют с
Функция распределения случайной величины. Ее свойства
Другой формой закона распределения случайной величины является функция распределения F(x), представляющая собой вероятность того, что случайная величина Х
Математическое ожидание и дисперсия дискретной случайной величины
Математическое ожидание MX дискретной случайной величины X определяется формулой
Непрерывные случайные величины. Плотность распределения
Непрерывной называется случайная величина X, если ее функция распределения непрерывна.
Распределением непрерывной случайной
Числовые характеристики непрерывной случайной величины
Математическое ожиданиеMX непрерывной случайной величины, имеющей плотность, определяется формулой
Применение вероятностных методов в психологии
Применение вероятностных методов в различных областях психологии является очень широким и разносторонним. Приведем лишь несколько примеров.
Чаще всего психология имеет дело со случайными в
Новости и инфо для студентов