Декартова система координат

 

Об’єм тіла, утвореного обертанням криволінійної трапеції, обмеженої кривою віссю Ох і прямими навколо осей Ох і Оy виражається відповідно, формулами

 

 

Рис. 21

 

(4.12)

 

х+dx

х

 

Рис. 22

(4.13)

 

Зауваження. На рис. 22 елемент тіла обертання утворюється обертанням навколо осі Оy прямокутника зі сторонами y і dx, що відстоїть від осі Оy на величину х. Тоді елемент об’єму

 

.

 

Приклад 4.15. Обчислити об’єми тіл, утворених обертанням фігури, обмеженої однією півхвилею синусоїди і відрізком

осі Ох навколо

а) осі Ох; б) осі Оy.

 

Розв’язання.

 

Якщо тіло утворюється обертанням фігури, обмеженої кри­вими і прямими відповідно, навколо осей Ох і Оу, то об’єми тіл обертання вира­жаються формулами:

 

(4.14)

(4.15)

 

Приклад 4.16. Знайти об’єм тіла, утворенного обертанням фігури, обмеженої кривими , навколо осі Ох.

Розв’язання. Знайдемо абсциси точок, в яких перетинаються графіки функцій , розв’язуючи систему рівнянь.

 

Рис 23

 

 

Застосуємо формулу (4.14):

 

 

Приклад 4.17. Знайти об’єм тіла, утворенного обертанням фігури, обмеженої кривими xy = 4 i x + y = 5, навколо осі Oy.

Розв’зання.

 

 

Рис. 24

Знайдемо абсциси точок перетину гіперболи і прямої , розв’язуючи систему рівнянь,

 

Маємо

 

Застосуємо формулу (4.15):

 

 

Якщо тіло утворюється обертанням навколо осі Оy криво­лінійної трапеції, обмеженої кривою , віссю Оу і прямими у=с, у=d(c<d) то об’єм тіла обертання (рис. 25) вира­жається формулой (4.16)

 

Рис 25

 

. (4.16)

 

Приклад 4.18.Знайти об’єм тіла, утвореного обертанням навколо осі Оу фігури, обмеженої віссю Оу, кривою і прямою .

Розв’язання.

 

 

Рис 26

 

 

Якщо тіло утворюється обертанням навколо осі Оу фігури, обмеженої кривими і пря­мими то об’єм тіла обертання дорівнює

 

. (4.17)

 

Приклад 4.19. Знайти об’єм тіла, утвореного при обертанні навколо осі Оу фігури, обмеженої кривою

 

 

Рис. 27

 

Розв’язання. Виконаємо (рис. 27). Оскільки , маємо коло радіуса 1 с центром в точці (2;0). Об’єм тіла обертання (об’єм шини) є різницею об’ємів тіл, що утворюється обертанням двох криволінійних трапецій навколо осі Оу. Одна з трапецій обмежена лініями х = 0, у = – 1, у =1, . Друга трапеція обмежена лініями – х = 0, у = – 1, у = 1,

Інакше кажучи, в данному прикладі тіло утворене обертанням навколо осі Оу фігури, обмеженої кривими і прямими , .

Тому за формулою (4.17) маємо

 

 

Інтеграл , оскільки він дорівнює площі півкола радіуса 1, тому

Зауваження.

1. Якщо тіло утворене обертанням навколо осі Ох або Оу кривої, заданої в параметричному вигляді, то в формулах (4.12) – (4.15) слід виконати відповідну заміну змінної.

2. Якщо тіло утворене обертанням навколо полярної осі криволінійного сектора, обмеженого кривою і проме­нями , то об’єм тіла

 

. (4.18)