МЕТОДИ ОБЧИСЛЕННЯ ВИЗНАЧЕНИХ ІНТЕГРАЛІВ

 

При обчисленні визначених інтегралів, так же само, як і невизначених інтегралів, використовують методи заміни змінної (підстановки) та інтегрування частинами. Звертаємо увагу на те, що застосування цих двох методів до визначених інтегралів має певні особливості.

 

3.1. Метод заміни змінної (підстановки)

3.1.1. Підстановка

Теорема 1. Нехай потрібно обчислити інтеграл , f(x) є неперервною функцією на .

Якщо функція задовольняє наступні умови:

1. Функція та її похідна є неперервними функціями на відрізку .

2. При зміні t у проміжку значення функції не виходять за межі відрізка :

 

.

 

3.

 

то справедлива рівність

 

(3.1)

 

Ця формула називається формулою заміни змінної (підста­новки) у визначеному інтегралі.

Зауваження

1. Підкреслимо, що відповідно до теореми 1, у визначеному інтегралі крім безпосередньої заміни змінної інтегрування потрібно змінити також межі інтегрування. У зв’язку із цим відпадає необхід­ність повернення до первісної змінної, обов’язкового у випадку невизначеного інтеграла.

2. Нові межі інтегрування знаходяться наступним чином:

– нижня межа знаходиться як розв’язок рівняння відносно невідомого ;

– верхня межа знаходиться як розв’язок рівняння відносно .

Якщо функція не є монотонною, то може статися, що зазначені рівняння дадуть кілька різних пар і , які задоволь­няють умови теореми 1. В цьому випадку можна взяти будь-яку з таких пар.

3. Якщо користуватися формулою (3.1) при невиконанні будь-якої з умов 1–3 теореми 1, то можна одер­жати неправильний результат.

Приклад 3.1. Обчислити інтеграли

 

 

Розв’язання.

1) Обчислимо

Застосуємо підстановку .

Тоді . Визначимо нові межі інтегрування.

Якщо нижня межа , то .

З рівняння випливає , тобто .

Якщо верхня межа інтегрування , то . З рівняння випливає , тобто .

Переконаємось в законності цієї підстановки, перевіряючи виконання умов теореми 1.

1. Функція та її похідна є неперерв­ними на відрізку .

2. При зміні на проміжку значення функції не виходять за межі : .

3. При цьому ; .

Тепер заданий інтеграл зі змінною інтегрування х зведемо до інтеграла зі змінною t і виконаємо інтегрування:

 

 

 

2) Обчислимо .

Застосуємо тригонометричну підстановку:

 

.

 

Визначмо нові межі інтегрування.

Якщо нижня межа то , звідки тобто .

Якщо верхня межа то , звідки тобто .

 

 

Переконаємось у законності цієї підстановки.

1. Функція та її похідна є неперерв­ними на відрізку .

2. При зміні на проміжку значення функції не виходять за межі :

.

3. При цьому ;

Отже заданий інтеграл зі змінною інтегрування х зведемо до інтеграла зі змінною і виконаємо інтегрування:

 

.

 

3) Обчислимо .

 

 

В цьому прикладі обґрунтування законності застосування під­становки слід провести самостійно.

 

3.1.2. Підстановка

Часто застосовують також підстановку . У цьому випадку нові межі інтегрування визначаються безпосередньо: . Слід мати на увазі, що функція , обернена до функції , має задовольняти всі умови теореми 1.

Приклад 3.2. Обчислити інтеграли

 

2) ; 3) .

Розв’язання

1) Обчислимо

Виконаємо підстановку (заміну змінної): . Нові межі інтегрування визначаються так: .

Нова змінна .

Дійсно, якщо , то (в силу моно­тонного зростання функції . Тобто .

Функція обернення до функції та її похідна є неперервними на відрізку . Отже умови теореми 1 дотримані.

Інтегруючи одержуємо:

 

 

2) Обчислимо .

Застосуємо підстановку (заміну змінної) .

Визначимо нові межі інтегрування: .

Нова змінна . Дійсно, якщо то (в силу монотонного зростання функції ), тобто

Функція , обернена до функції , та її похідна є неперервними на відрізку . Отже умови теореми 1 дотримані. Переходячи до нової змінної, знайдемо:

 

3) Обчислимо .

 

В цьому прикладі обґрунтування законності застосування підстановки слід провести самостійно.