Математика

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ

ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЯНОЙ

ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Филиал ФГБОУ ВПО УГНТУ в г. Стерлитамаке

 

Математика

Учебно-методическое пособие к самостоятельной работе студентов

первого курса заочного отделения

 

Уфа 2011

 

Учебно-методическое пособие по курсу «Математика» предназначено для студентов заочного отделения специальностей, 240801, 280201, 220301. Учебно-методическое пособие содержит рекомендации к самостоятельному изучению основных разделов математики, изучаемых в первом и втором семестрах.

Содержит рабочую программу по дисциплине «Математика» с подробным указанием тем, разделов, контрольных работ и соответствующей литературы для самостоятельного изучения. Методические указания к самостоятельной работе студентов первого курса заочного отделения, позволят студентам углубить теоретические знания в области курса высшей математики, выработать приёмы и навыки решения конкретных задач из основных разделов, качественно выполнить предложенные контрольные работы.

 

 

Составители: Григорьева Т.В., кандидат пед. наук, доцент,

Биккулов И.М., кандидат физ.мат. наук,доцент

Рецензенты: Шулаев Н.С., проф, д-р. техн. наук

 

© Уфимский государственный нефтяной технический университет, 2011

 

ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ ДИСЦИПЛИНЫ

Курс математики, построенный по данной программе, является фундаментом математического образования – важнейшей составляющей в общей подготовке… Курс математики дает студентам математические знания в объеме, достаточном для…  

ТРЕБОВАНИЯ К УРОВНЮ ОСВОЕНИЯ СОДЕРЖАНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ

Студент должен знать:

1. Основные понятия теории множеств – объединение, пересечение, дополнение множеств, отношение эквивалентности и порядка.

2. Символы математической логики. Понятие прямой и обратной теоремы. Понятие необходимого и достаточного условия.

3. Основные понятия аналитической геометрии; системы координат (декартовы, полярные, цилиндрические, сферические координаты); способы заданий линий на плоскости, поверхностей и линий в пространстве.

4. Определение вектора. Линейные операции над векторами, скалярное, векторное, смешанное произведения.

5. Уравнения прямой на плоскости и в пространстве. Уравнения плоскости.

6. Канонические уравнения кривых и поверхностей 2-го порядка. Изображение кривых и поверхностей, заданных каноническими уравнениями.

7. Понятие многомерного и линейного пространства; пространство ; понятие базиса и размерности пространства. Линейные операции над векторами.

8. Понятие матрицы, определителя; свойства.

9. Основные элементарные функции, их свойства и графики. Производные и первообразные основных элементарных функций.

10. Свойства многочленов (теоремы Гаусса, Безу, Виета); идея построения интерполяционных многочленов.

11. Понятие предела функции одной и нескольких переменных. Свойства пределов. Замечательные пределы.

12. Понятие бесконечно малой и бесконечно большой. Символы и .

13. Понятие экстремума (локального, глобального, безусловного и условного).

14. Понятие дифференциала 1-го и 2-го порядка.

15. Понятие первообразной.

16. Понятие определенного интеграла, кратных, криволинейных, поверхностных интегралов. Область их применения.

17. Основные понятия скалярного и векторного поля: производная по направлению, градиент; поток, дивергенция, циркуляция, ротор.

18. Основные понятия теории дифференциальных уравнений: дифференциальное уравнение, системы дифференциальных уравнений, задача Коши, краевая задача. Интегральная кривая, фазовая плоскость (пространство).

19. Понятие числового и функционального ряда, сумма ряда, сходимость ряда. Область сходимости функционального ряда.

20. Ряды Тейлора, Маклорена, Фурье.

21. Понятие аналитической функции; свойства элементарных функций комплексного переменного. Понятие вычета.

22. Понятие интегрального оператора (Лапласа, Фурье).

23. Основные уравнения математической физики, применяемые в сфере будущей профессиональной деятельности студента, свойства их решений.

24. Понятие случайного события. Алгебра событий.

25. Понятие вероятности события. Правила вычисления вероятностей.

26. Понятие дискретной и непрерывной случайной величины, законы распределения, их графическое изображение.

27. Числовые характеристики дискретных и непрерывных случайных величин, математическое ожидание, дисперсия, среднеквадратическое отклонение.

28. Нормальный закон распределения, его параметры и графическое изображение.

29. Повторные независимые испытания. Схема Бернулли. Биномиальный закон распределения.

30. Понятие генеральной и выборочной совокупности.

31. Выборочные характеристики: выборочная средняя, дисперсия, среднеквадратическое отклонение.

32. Точечные оценки вероятности, математического ожидания, дисперсии.

33. Понятие доверительной вероятности, доверительного интервала.

34. Понятие статистической гипотезы и статистического критерия.

35. Понятие зависимых и независимых случайных величин, регрессии и корреляции.

Студент должен уметь:

1. Выражать математическую мысль в устном и письменном изложении, используя соответствующую символику и терминологию.

2. Задавать множества с помощью неравенств, изображать множества, заданные неравенствами.

3. Выполнять действия с действительными и комплексными числами.

4. Определять координаты в различных системах координат.

5. Выполнять линейные операции над векторами; вычислять скалярное, векторное, смешанное произведение векторов.

6. Применять векторы для решения задач аналитической геометрии.

7. Определять по уравнению 2-го порядка тип кривой и поверхности.

8. Исследовать форму поверхностей методом сечений.

9. Решать системы линейных уравнений.

10. Выполнять действия с матрицами.

11. Вычислять определители.

12. Вычислять пределы функций.

13. Находить производные элементарных функций.

14. Выполнить локальное и полное исследование функций.

15. Строить графики элементарных функций: основных – по памяти, прочих – с помощью метода деформаций и уточнения с помощью аппарата дифференциального исчисления.

16. Выполнять локальное исследование функций нескольких переменных.

17. Находить первообразные, используя таблицу неопределенных интегралов.

18. Вычислять площади, объемы, поверхности, механические характеристики с помощью кратных, поверхностных, криволинейных интегралов.

19. Сводить к квадратурам дифференциальные уравнения 1-го порядка.

20. Находить общее решение линейных неоднородных уравнений с постоянными коэффициентами.

21. Сводить к уравнению 1-го порядка дифференциальные уравнения 2-го порядка специального вида.

22. Представлять дифференциальные уравнения го порядка в виде системы уравнений 1-го порядка и наоборот.

23. Разлагать функции в степенные ряды.

24. Применять ряды в приближенных вычислениях и для решения дифференциальных уравнений.

25. Разлагать функции в ряды Фурье по полной ортогональной системе функций.

26. Находить дифференциальные и интегральные характеристики скалярных и векторных полей.

27. Применять степенные ряды, ряды Фурье и интегральные преобразования для решения задач математической физики.

28. Вычислять вероятность случайного события в классической модели.

29. Вычислять числовые характеристики случайных величин – математическое ожидание, дисперсию.

30. Вычислять вероятность попадания нормальной случайной величины в заданный интервал, уметь пользоваться правилом «трех сигм».

31. Получать графическое изображение вариационных рядов.

32. Находить точечные оценки вероятности, математического ожидания, дисперсии.

В результате изучения курса математики студент должен

- владеть основными математическими понятиями, математическими структурами как математическим аппаратом для изучения математических моделей реальных процессов и явлений;

- быть корректным в употреблении математических понятий и символов для выражения количественных и качественных отношений;

- уметь ставить математически задачу;

- иметь навыки решения математических задач с доведением решения до приемлемого результата;

- применять математические методы;

- владеть первичными навыками математического исследования прикладных вопросов (выбирать математические модели и методы исследования этих моделей, алгоритм решения);

- выработать умение самостоятельно разбираться в математическом аппарате, используемом в специальной литературе.

Трудоемкость дисциплины по видам занятий

СОДЕРЖАНИЕ дисциплины

Разделы дисциплины и виды занятий (в часах)

сем	Номер раздела	Название раздела	Л.	П.З.
		Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии
	Введение в математический анализ: функция, теория пределов, непрерывность.
	Дифференциальное исчисление функции одной переменной и его приложения.
	Функции нескольких переменных. Некоторые понятия топологии. Основные понятия дифференциальной геометрии.
	Сумма
		Элементы теории функции комплексного переменного и высшей алгебры.		-
	Неопределенный интеграл.
	Определенный интеграл.
	Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы.		-
	Сумма
		Элементы теории поля.		-
	Обыкновенные дифференциальные уравнения.
	Числовые и функциональные ряды. Ряды Фурье.
	Сумма
		Теория вероятностей.
	Основные понятия математической статистики.
	Сумма

Содержание разделов

I семестр

 

Раздел 1. Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии

Лекция 1.	Матричная алгебра. Линейные операции над матрицами, умножение матриц. Вычисление определителя разложением по строке (столбцу).
Линейная алгебра. Системы линейных алгебраических уравнений. Методы решения систем: матричный, Крамера.
Метод Гаусса решения и исследования системы линейных уравнений .
Действия над векторами, заданными координатами. Скалярное произведение и его свойства. Длина вектора и угол между двумя векторами.
Векторное произведение двух векторов, его свойства. Смешанное произведение трех векторов. Геометрический смысл. Координатная форма.
Уравнения плоскости. Угол между плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности. Уравнения прямой в пространстве. Угол между прямыми. Уравнение поверхности в пространстве.

Раздел 2. Введение в математический анализ: функция, теория пределов,

Непрерывность

Раздел 4. Функции нескольких переменных Лекция 4. Функции…

II семестр

Раздел 5. Элементы теории функции комплексного переменного и высшей алгебры Лекция 1.   Комплексные числа, действия над …   Раздел 6. Неопределенный интеграл Лекция 2. Первообразная функция и неопределенный интеграл. Основные…

Раздел 10. Обыкновенные дифференциальные уравнения

Лекция 2.	Понятия о дифференциальных уравнениях, их классификация. Физические задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. Дифференциальные уравнения первого порядка. Задача Коши. Формулировка теоремы существования и единственности решения задачи Коши. Частное и общее решение. Основные классы уравнений, интегрируемых в квадратурах (уравнения с разделенными и разделяющимися переменными).
	Уравнения, интегрируемые в квадратурах (однородное, линейное, Бернулли, в полных дифференциалах).
Лекция 3.	Дифференциальные уравнения высших порядков. Задача Коши. Основные понятия. Интегрирование некоторых уравнений, допускающих понижение порядка. Линейные уравнения второго порядка, однородные и неоднородные. Теоремы о структуре общего решения.
	Решение линейных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами. Уравнения с правой частью специального вида.
	Метод вариации произвольных постоянных как метод нахождения общего решения неоднородного уравнения. Приложения к описанию линейных моделей*.
	Нормальная система дифференциальных уравнений. Матричная запись системы. Геометрический смысл решения. Фазовая плоскость (пространство), фазовая кривая. Задача Коши. Решение систем линейных уравнений с постоянными коэффициентами*.
	Раздел 11. Числовые и функциональные ряды. Ряды Фурье.
Лекция 4.	Числовые ряды. Сумма и сходимость ряда. Свойства сходящихся рядов. Необходимый признак сходимости ряда с положительными членами. Достаточные признаки сходимости. Признаки сравнения.
	Признаки Даламбера, Коши, интегральный признак Коши.
	Знакопеременные и знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница. Абсолютная и условная сходимость*.
	Функциональные ряды, область сходимости. Степенные ряды. Теорема Абеля. Радиус и интервал сходимости. Интегрирование и дифференцирование степенных рядов*.
	Ряды Тейлора и Маклорена. Достаточное условие разложимости функции в ряд Тейлора. Разложение в ряд Маклорена некоторых элементарных функций. Применение рядов (приближенное вычисление значений функции, интегрирование функции и дифференциальных уравнений*).
	Ряды Фурье. Разложение периодической функции с периодом и в ряд Фурье. Ряд Фурье для четных и нечетных функций. Периодическое продолжение функций четным и нечетным образом. Применение тригонометрических рядов Фурье в приближенных вычислениях*.
IV семестр
Раздел 12. Теория вероятностей
Лекция 1.	Предмет теории вероятностей. Случайные события и их виды. Различные подходы к определению вероятности: классический, статистический, аксиоматический.
	Элементы комбинаторики. Алгебра событий. Правило сложения вероятностей. Правило умножения вероятностей.
	Формула полной вероятности. Формула Байеса. Повторные испытания. Схема Бернулли. Формула Бернулли.
	Понятие случайной величины. Виды случайных величин. Дискретные случайные величины. Ряд распределения. Функция распределения, ее свойства. Некоторые законы распределения. Математическое ожидание и дисперсия дискретной случайной величины.
Лекция 2.	Непрерывные случайные величины. Функция распределения, плотность распределения, их взаимосвязь и свойства. Математическое ожидание и дисперсия. Типовые распределения. Нормальный закон распределения. Понятие о различных формах закона больших чисел*. Центральная предельная теорема Ляпунова*.
Раздел 13. Основные понятия и методы математической статистики. Статистические методы обработки экспериментальных данных.
Лекция 3.	Основные понятия математической статистики. Генеральная совокупность и выборка. Вариационный ряд. Гистограмма, эмпирическая функция распределения, выборочные средняя и дисперсия.
	Статистические оценки числовых характеристик. Точечные оценки: Общие свойства: несмещенность, состоятельность, эффективность, достаточность. Методы получения точечных оценок неизвестных параметров распределения: метод максимального правдоподобия.
Лекция 4.	Интервальные оценки. Доверительный интервал и доверительная вероятность. Построение доверительного интервала для математического ожидания и дисперсии нормально распределенной случайной величины. Статистическая проверка статистических гипотез. Общая постановка задачи. Виды гипотез. Критическая область, уровень значимости и мощность критерия.
	Ошибки первого и второго рода. Непараметрические гипотезы. Проверка гипотезы о законе распределения по критерию Пирсона. Параметрические гипотезы. Проверка гипотез о параметрах нормально распределенной генеральной совокупности. Понятие о критериях согласия. Проверка непараметрической гипотезы по критерию Пирсона. Статистическая и корреляционная зависимости. Уравнение регрессии. Две основные задачи теории корреляции.

Примечание. Вопросы, помеченные в содержании лекций значком *, выносятся на самостоятельное

изучение.

ПЕРЕЧЕНЬ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ

I семестр

1. Свойства и вычисление определителей различных порядков. Решение линейных и алгебраических уравнений по формулам Крамера.Матрицы и действия над… Линейные операции над векторами. Скалярное произведение. Действия над… Простейшие задачи аналитической геометрии. Прямая на плоскости. Решение задач на прямую с использованием различных…

II семестр

Занятие 3

1. Комплексные числа и действия над ними.

2. Простейшие приемы интегрирования. Интегрирование по частям и заменой переменной. Разложение рациональной дроби на простейшие дроби. Интегрирование простейших рациональных дробей. Интегрирование дробно-рациональных функций.

3. Интегрирование некоторых тригонометрических выражений. Интегрирование некоторых иррациональных функций.

 

Занятие 4

1. Вычисление определенного интеграла по формуле Ньютона-Лейбница. Замена переменной. Интегрирование по частям.Вычисление несобственных интегралов I-го и II-го рода. Сходимость.Вычисление площадей плоских фигур в декартовых и полярных координатах. Вычисление длин дуг, объемов тел вращения. Решение задач физики и механики.

2. Вычисление двойных интегралов в декартовых и полярных координатах. Вычисление объемов тел, площадей плоских фигур с помощью двойных интегралов. Некоторые задачи механики.

III семестр

Занятие 5

1. Дифференциальные уравнения 1-го порядка с разделяющимися переменными, однородные. Линейные уравнения, уравнения Бернулли. Уравнения в полных дифференциалах.Дифференциальные уравнения 2-го порядка, допускающие понижение порядка.Линейные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами: однородные и неоднородные.

Занятие 6

1. Исследование числовых рядов на сходимость по определению. Признаки сравнения. Признаки Даламбера, Коши, интегральный признак Коши.Знакопеременные и знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.Определение интервалов сходимости степенных рядов. Разложение функций в ряд Тейлора и Маклорена.

IV семестр

Занятие 7

1. Основные формулы комбинаторики. Непосредственное вычисление вероятности (классическая формула).Операции над событиями. Вычисление вероятностей суммы и произведения событий. Условные вероятности. Повторные испытания. Схема Бернулли. Формула полной вероятности и формула Байеса.Дискретная случайная величина, законы ее распределения и числовые характеристики. Непрерывные случайные величины, законы их распределения и характеристики.

Занятие 8

1. Вариационный ряд. Гистограмма, эмпирическая функция распределения, выборочные средняя и дисперсия. Построение доверительного интервала для математического ожидания и дисперсии нормально распределенной случайной величины. Статистическая проверка статистических гипотез.

САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА СТУДЕНТОВ (СРС)

Самостоятельное изучение тем разделов программы (материалы для самостоя­тельной работы студентов: УМК дисциплины («Математика»).

 

5.1 Виды СРС

 

Наименование СРС	Количество часов по семестрам
Выполнение курсового проекта	-
Выполнение курсовой работы	-
Выполнение РЗ	-
Написание реферата по разделу дисциплины	-
Написание реферата по дисциплине ООП	-
Выполнение контрольной работы
Сдача коллоквиума	-
Самостоятельное изучение тем разделов программы Подготовка к практическим занятиям
Итого:

 

5.2 Примерный перечень домашних семестровых заданий для заочников

 

семестр	Кол-во КР	Кол-во часов	Тема
I			Элементы линейной и векторной алгебры. Элементы аналитической геометрии. Основы дифференциального исчисления функции одной и нескольких переменных.
II			Неопределенный и определенный интегралы. Кратные и криволинейные интегралы. Элементы теории поля.
III			Обыкновенные дифференциальные уравнения. Числовые и функциональные ряды.
IV			Теория вероятностей. Математическая статистика. Статистические методы обработки экспериментальных данных.
Итого: 160 часов

 

 

5.3 Примерный перечень тем курсовых проектов (работ).

Курсовые работы не предусмотрены.

 

 

5.4 Примерный перечень тем рефератов.

Рефераты не предусмотрены.

 

5.5 Самостоятельное изучение тем разделов программы (материалы для самостоя­тельной работы студентов:УМК дисциплины «Математика»).

 

 

Виды СРС

Наименование СРС	Количество часов по семестрам
Выполнение курсового проекта	-
Выполнение курсовой работы	-
Выполнение РЗ	-
Написание реферата по разделу дисциплины	-
Написание реферата по дисциплине ООП	-
Выполнение контрольной работы
Сдача коллоквиума	-
Самостоятельное изучение тем разделов программы Подготовка к практическим, лабораторным занятиям
Итого:

 

 

6.Методические указания к самостоятельной работе студентов.

Линейная алгебра

Определители и их вычисления

, (6.1.1) где - элементы матрицы A, первый индекс i указывает на номер строки, а… . (6.1.2)

Матричный метод решения системы линейных алгебраических уравнений. Формулы Крамера. Метод Гаусса

Рассмотрим систему, составленную из трех линейных алгебраических уравнений с тремя неизвестными. (6.1.11.) Решением (2.1)называется система из трех чисел, удовлетворяющая требованию: если в (2.1) вместо и подставить…

Аналитическая геометрия

Прямая на плоскости

Ах + Ву + С=0(6.2.1) общее уравнение прямой, гдеАи В - координаты одного из нормальных векторов…  

Плоскость

А(х -х0) + В(у - у0) + C(z - z0) = 0. (6.2.13) Из этого уравнения получается общее уравнение плоскости Ax + By + Cz+D=0, (6.2.14)

Прямая в пространстве

(6.2.19) причем должно нарушаться хотя бы одно из равенств ,

Кривые второго порядка

эллипса , гиперболы , параболы ;

Поверхности II порядка. Канонические уравнения

      Рисунок 6.2.2 Рисунок 6.2.1.  

Введение в математический анализ

Пределы функций

  1 Функция f(x) определена в предельной точке x=a. Тогда  

Дифференциальные исчисления функций одной переменной

Производная от функции у=f(х) по аргументу х или (6.3.4)  

Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных

Частные производные функции Частные производные функции по аргументам x, y и Z соответственно определяются как соответствующие пределы ( если они существуют):

Исследование функций

На непрерывность

Найти точки разрыва функции и исследовать их характер: а) у = 1/(х + 3); б) у =1/(1 + 21/х). Построить схематично график функций в окрестности точек разрыва.

Неопределенные интегралы

Многочленом n-й степени наз-ся функция вида:  

Первообразная функция.

. Пример 6.6.2. 1)функция - первообразная функции

Непосредственное интегрирование

Он опирается на: 1) таблицу интегралов; 2) основные свойства неопределенных интегралов.

Основные методы интегрирования

1) метод непосредственного интегрирования (с которым мы познакомились в предыдущей лекции); 2) метод замены переменной; 3) метод интегрирования по частям.

Основные методы интегрирования

Метод замены переменной является одним из основных методов вычисления неопределенных интегралов. Часто при решении другими методами приходится в промежуточных вычислениях прибегать замены переменной.

Пример 6.6.21., в можно применить подстановки:

1) 2) 3) .

Часты случаи, когда для нахождения интеграла приходится применять метод замены переменной не один, а несколько раз.

 

 

Метод интегрирования по частям

Пусть и - функции от х, имеющие непрерывные производные и . Известно, что или ; или . Интегралы и , так как по условию функции u и v дифференцируемы, а значит и непрерывны.

Метод неопределенных коэффициентов.

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, стоящих в левой и правой частях равенства, получим систему линейных уравнений относительно… Так как разложение (I) всегда существует для любой правильной рациональной… Такой метод нахождения коэффициентов называется методом неопределенных коэффициентов (способ сравнения…

Универсальная подстановка

Рассмотрим неопределенный интеграл

Вывод. Из всего рассмотренного вытекает следующее: интеграл от рациональной функции всегда выражается через элементарные функции в конечном виде..

Пример 6.6.32.

Пример6.6.33.

R(sinx,cosx) – рациональная функция от sinx и cosx.

Введем новую переменную по формуле .

Тогда

2)

Следует, что

В результате указанной замены переменной получаем:

, где - -рациональная функция переменной t.

Подстановка пригодна во всех случаях, когда требуется вычислить интеграл

 

Поэтому ее часто называют универсальной.

Следует, однако, отметить, что универсальная подстановка часто приводит к громоздким вычислениям. Поэтому для ряда частных видов функции выработаны более удобные подстановки.

Пример6.6.34.

 

 

Пример6.6.35.

Частные подстановки

В указанных ниже случаях предпочтительнее сделать частные подстановки, так же рационализирующие интеграл: Если функция нечетная относительно sinx, т.е. то применима подстановка

Вычисление интегралов вида

где и Здесь остановимся на следующих 3-х случаях: 1) и - четные неотрицательные числа.

Интегрирование биноминального дифференциала.

Где m,n,p – рациональные числа, а, в – отличные от нуля постоянные (здесь “n” - любое рациональное число). Этот интеграл выражается через элементарные функции в 3-х случаях:

Интегрирование рациональных дробей по методу Остроградского

Метод Остроградского значительно сокращает и упрощает интегрирование этих дробей, что делает этот метод ценным. В основе указанного метода лежит следующая формула Остроградского: ,

Подстановки Эйлера

Где - рациональная относительно и функция; ; могут быть вычислены с помощью специальных рационализирующих подстановок,… Вообще, для вычисления интегралов этого вида существует много различных приемов, например, тригонометрические…

Определенные интегралы

Понятие определенного интнграла

Разобьем отрезок [a; b] на n частичных отрезков с помощью произвольно выбранных на нем точек . На каждом из отрезков (частичных) возьмем произвольные точки ξi… Составим произведения длин ∆x1 , ∆x2, …,∆xn частичных отрезков на значения функции f(ξi).

Формула Ньютона-Лейбница

Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a;b] иF(x)есть какая-либо первообразная для f(x) на этом отрезке, то справедлива следующая формула:

=F(b)-F(a) . (6.7.2)

Пример 6.7.1.. Вычислить: .

Решение: применим формулу Ньютона-Лейбница:

=F(x)| =F(b) - F(a)

Преобразуем подынтегральную функцию

.

 

Интегрирование по частям в определенном интеграле

Пусть функции U(x) и V(x) имеют непрерывные производные на [a;b], тогда справедлива формула

. (6.7.3)

Пример6.7.2. Вычислить: .

Решение: пусть , т. к. функции и непрерывны на вместе со своими производными, то согласно формуле (I) находим

.

Замена переменной в определенном интеграле

Итак, введем новую переменную t, положив . Пусть выполняются следующие условия: а) функция определена и непрерывна на отрезке ;

Интегрирование в симметричных пределах четных и нечетных функций

При вычислении определенных интегралов от четных и нечетных функций полезно иметь в виду следующие формулы:

 

(в предположении, что f(x) – непрерывная на симметричном относительно начала координат отрезке [-a;a] функция).

Пример 6.7.5. Вычислить: .

Решение: подынтегральная функция чётная, поэтому

.

Интеграл от периодической функции по периоду

Пусть фуккция f(x) – непрерывная, периодическая с периодом Т, т.е. f(x+T)=f(x).

Для такой функции имеет место следующее свойство: интеграл от периодической функции по периоду не зависит от положения интервала интегрирования: , (т.е. на любом промежутке длины Тинтеграл от периодической функции имеет одно и то же значение).Пример Пример 6. Вычислить: .

Решение: подынтегральная функция имеет период T=π, поэтому из верхнего и нижнего периодов можно вычесть 2π, полученный интеграл будет равен данному:

 

Вычисление площади Фигур

Площадь в прямоугольных декартовых координатах Площадь криволинейной трапеции При постановке задачи определенного интегрирования мы уже рассмотрели вопрос о… Если криволинейная трапеция ограничена .осью ОХ и другой кривой y= f(x), где f(x) - непрерывная, неотрицательная на…

Площадь в полярных координатах

Пусть в полярной системе координат дана кривая, уравнение которой , где - непрерывная функция при . Требуется вычислить площадь криволинейного сектора, ограниченного радиусами – векторами ОА и ОВ (для которых соответственно

 

)

 

 

.

Если плоская фигура ограничена несколькими кривыми, уравнения которых заданы в полярных координатах, то вычисления площади такой фигуры стараются свести к вычисле нию алгебраической суммы площадей криволинейных секторов.

 

Следовательно, будем иметь

 

 

. (т.е. из площади криволинейного сектора, ограниченного , отнимаем площади криволинейных секторов, ограниченных линиями , )

 

Вычисление объемов тел

Пусть дано тело произвольной формы, заключенное между плоскостями x=a и x=b. Кроме того, пусть известна площадь любого поперечного сечения (т.е.… , где S – площадь поперечного сечения. Объем тела вращения

Длина дуги кривой, заданной параметрическими уравнениями , , где

Пусть функции , - непрерывные на функции, с непрерывными производными ; , .

.

Пример 6.7.8. Вычислим длину траектории

, от до .

Решение:

;

 

Длина дуги в полярных координатах

Пусть в полярной системе координат дана кривая, уравнение которой , где . Функция имеет непрерывную производную на сегменте

.

Пример 6.7.9.Найти всю длину кривой .

Решение:

 

.

Здесь имеем при и при .

Площадь поверхности вращения

Требуется вычислить площадь поверхности, образованной вращением кривой y=f(x), где f(x) – непрерывная на функция, вокруг оси ОХ.

Пусть функция f(x) имеет непрерывную производную на отрезке .

Если дуга АВ задана параметрическими уравнениями, то

.

Пример 6.7.10.Определить площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси ОХ дуги кривой , отсеченной прямой х=2.

Решение: , :

 

 

Вычисление работы переменной силы

Пусть тело движется под действием некоторой переменной силы F по прямой, причем направление силы совпадает с направлением движения, а работа А, произведенная силой F при перемещении тела из т.х=а по прямой ОХ в точку х=b той же прямой, может быть выражена (в случае когда F=F(x) есть непрерывная функции на [a; b]) с помощью определенного интеграла следующим образом:

. (6.7.5)

Пример 6.7.11.Рессора прогибается под нагрузкой 1,5 т на 1 см. Какую работу надо затратить для деформации рессора на 3 см? (Сила деформации пропорциональна величине деформации).

Решение: обозначим через х – величину деформации, т.к. F=kx, где k - коэффициент пропорциональности (коэффициент жесткости).

Известно, что при х=0,01 м F=1,500 (Н),

то , следовательно, .

По формуле (1) работа .

Вычисление центра тяжести плоской линии

Пусть на плоскости дана дуга АВ материальной линии, уравнение которой y=F(x), где F(x) - непрерывная на отрезке [a; b] функция, имеющая непрерывную производную

Координаты центра тяжести будут:

; , где s – длина дуги;

- дифференциал длины дуги (формула получена ранее).

Статические моменты дуги АВ:

; .

 

Если дуга АВ расположена симметрично относительно некоторой прямой, то ее центр тяжести непременно лежит на этой прямой.

Пример 6.7.12.Найти центр тяжести дуги, составляющей четверть окружности радиуса В.

Выбираем систему координат, как указано на рисунке. Уравнение окружности: , откуда ; ; .

Длина четверти окружности , т.к. дуга АВ симметрична относительно биссектрисы.

Если координаты угла y=x, то х=у, найдем у:

.

Ответ: .

Центр тяжести плоской фигуры

Рассмотрим плоскую материальную фигуру, ограниченную прямыми х=а, x=b (a<b) и кривыми y= , , где функции и непрерывны на и :

, ,

 

 

где (площадь фигуры). Если фигура ограничена осью ОХ, прямыми х=а, х=b и кривой y=f(x), где f(x) – неотрицательная непрерывная на отрезках [a; b] функция, то полученные формулы будут проще:

; .

Если фигура располагается симметрично относительно некоторой прямой, то центр тяжести ее лежит на этой прямой.

Пример 6.7.13.Найти координаты центра тяжести фигуры, ограниченной кривой и осями координат.

Т.к. данная фигура симметрична относительно биссектрисы I координатам угла, то ее центр тяжести лежит на этой прямой у=х, и следовательно, ;

 

 

Ответ:

Криволинейные, кратные и поверхностные интегралы

Подобно тому как задача о вычислении площади криволинейной трапеции привела нас к понятию простого определённого интеграла , так и задача о… Рассмотрим цилиндрическое тело , ограниченное (рис 1.1) : z = f(x,y)

Определение двойного интеграла

Пусть дана функция z = f(x,y) , определённая и непрерывная в некоторой замкнутой области D , граница Г которой простая замкнутая линия ( такую… Разобьём область D на n частичных (элементарных) областей (простых ) Di (… Площади этих областей обозначим соответственно через DS1, DS2, . . . , DSn .В пределах каждой частичной области Di…

Теорема существования двойного интеграла

Теорема

Интегральная сумма s , соответствующая 1) конечной области D и 2)непрерывной в этой области функции f(x,y) , стремится к пределу при d(D_i)®0. Этот предел не зависит 1) ни от способа разбиения области D , 2) ни от выбора точек (x_i ; h_i) в этих областях .

Теорему рассматриваем без доказательства .

 

Свойства двойного интеграла

Доказательство основных свойств двойного интеграла ( подобно доказательству свойств простого интеграла ) основано на его определении как предела… 1. Двойной интеграл по области D от алгебраической суммы функций равен… Так для двух функций это свойство запишется следующим образом :

Теорема об оценке двойного интеграла

Если функция f(x,y) непрерывна в области D и удовлетворяет неравенствам

 

m£f(x,y) £M , (x,y) ÎD,

 

то ,

где m и М – соответственно наименьшее и наибольшее значения

функции f(x,y) в замкнутой области D ;

S – площадь области D .

7. Теорема о среднем значении

Разделим все части неравенства

 

на S;

 

положим .

Тогда m£m£M .

По теореме о промежуточных значениях в области D найдётся такая точка (x, h), что f(x, h) = m :

 

.

 

Последняя формула выражает собой теорему о среднем и показывает , что если функция f(х, у) непрерывна в замкнутой области D площади S , то в этой области найдётся такая точка (x, h) , что

 

.

 

Вычисление двойного интеграла в декартовой системе координат

Мы ограничимся не вполне строгим , но зато простым геометрическим выводом, основанным на том , что двойной интеграл представляет объём… В разделе " Определённый интеграл " мы уже имеем дело с задачей… Рассмотрим цилиндрическое тело , содержащееся между параллельными плоскостями х = а и х = b .

Изменение порядка интегрирования в двойном интеграле

  .  

Замена переменных в двойном интеграле

Перейдём к новым переменным U иV по формулам    

Вычисление двойного интеграла в полярной системе координат

Поэтому следует уметь переходить от одной системы координат к другой , более удобной , например , полярной . Если 1) подынтегральная функция или 2) уравнение границы области…  

Тогда .

Для составления интегральной суммы для функции f(x,y) в качестве точек ( xi ,hi ) областей Di выбираем точки , лежащие на средних окружностях… Согласно формулам для произвольно выбранной т. ( xi ,hi ) будем иметь  

Решение

.   Пример6.8.8.Вычислить двойной интеграл ,

Поверхностные интегралы

Определение поверхностного интеграла I рода

Разобьём поверхность S произвольно на n частей с площадями DS1 , DS2 . . . DSn . Выбрав на каждой частичной поверхности произвольную точку Mi (xi ,…    

Вычисления поверхностных интегралов I рода

Пусть поверхность S задана уравнением z = Z (x,y) , где z вместе со своими производными Z1x (x,y) и Z1у (x,y)… Пусть функция y = f(x,y,z) непрерывна на поверхности S и ,следовательно, интегрируема по этой поверхности .

Поверхностные интегралы II рода

  Рассмотрим на поверхности S какой-либо замкнутый контур , проходящий через т.М… Если обход по любому замкнутому контуру , лежащему на поверхности S и не пересекающему её границы , при возвращении в…

Вычисление поверхностного интеграла II рода

Пусть гладкая поверхность S задана уравнением z = z (x,y) . Определена в замкнутой области G – проекции S на плоскость ОХУ . Рассмотрим на поверхности S

 

R(x,y,z) – непрерывная функция .

Разобьём S произвольно на n частей G₁ , G₂ , . . . ,G_n .

Выберем по произвольной точке М_i (x_i , h_i, V_i) .

Составим интегральную сумму :

 

= ,

 

где DS_i – площадь G_i , так как точка V_i = Z(x_i , h_i) .

Переходя в (4.1) к пределу при d®0 получаем

 

.

 

Аналогично :

 

.

 

G₁ – проекция S на Oyz .

 

 

 

G₂ – проекция S на Ozх .

 

Связь между поверхностными интегралами I и II рода

Пусть гладкая ориентированая поверхность , на которой задана непрерывная вектор – функция (М) = [ P(x,y,z), Q(x,y,z) , R(x,y,z)] , (M) – единичная нормаль = ( cosa , cosb , cosg ) , тогда

 

 

Отсюда видно , что если выбрать другую сторону поверхности , то направляющий косинус изменит знак .

Пример 6.8.11.Вычислить

, где S - поверхность треугольника , образованного пересечением плоскости х – у +z = 1 с координатными плоскостями : х = 0 , у = 0 , z = 0 в верхней стороне поверхности .

 

 

 

 

 

 

.

Формула Остроградского

Связь между поверхностным интегралом и тройным интегралом

ТеоремаЕсли функции P(x,y,z) , Q(x,y,z) , R(x,y,z)непрерывны вместе со своими частными производными I-го порядка в области V , ограниченной замкнутой поверхностью S , то имеет место формула

 

.

 

Пример 6.8.12.

,

где S – внешняя сторна сферы x² + y² + z² = R² .

Решение.

Применим формулу Остроградского :

 

 

Вводим сферические координаты

 

.

 

Связь поверхностного интеграла с криволинейным интегралом. Теорема Стокса

Теорема Если Р(x,y,z) , Q(x,y,z) , R(x,y,z) есть непрерывные функции вместе со своими частными производными первого порядка на поверхности S, то имеет место формула

 

,

 

где L – граница поверхности S ;cosa , cosb , cosg - направляющие косинусы нормали к поверхности S .

 

Пример 6.8.13.Вычислить с помощью формулы Стокса ,

L- окружность

А поверхностью S служит верхняя сторона полусферы x² + y² +z² =1.

 

 

 

 

 

.

Контрольные работы

Контрольная работа №1

и определитель матрицы, транспонированной к данной. 1. ; 2. ; 3. ; 4. ; 5. ; 6. ;

Контрольная работа №2

Вычислите пределы:   … ЗАДАНИЕ 2 Вычислите пределы: …

Контрольная работа №3

Задание 1. Дана функция z=z(x; y), точкаА(x0; y0) и вектор а. Найти производную в точке А в направление вектора ā. 1.1. . 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) .

Контрольная работа №4

Задание 1. Изменить порядок интегрирования. Область интегрирования изобразить на…  

Задание 6. Вычислить криволинейный интеграл первого

рода от функции f (x , y) по длине дуги L

уравнениям y = (х) , a x b

6.1 f (x , y)= x ; L : y=ln x ; 1 x 2

6.2 f (x , y) = y ; L : y = 2x от точки А(0;0)

до точки В(2; 2)

6. 3 f (x , y) = ;L : отрезок прямой

соединяющий точки

A( 0;-2) и B (4;0)

6.4 f (x , y) = x + y ;L : граница треугольника с

вершинами A(1;0) , B(0;1)

6.5 f (x , y) = ;L : -отрезок прямой

соединяющий точки

О (0;0) и A(1;2)

6.6 f (x , y) = x+2y ;L : отрезок прямой от

точки A(1;1) до точки B(5;3)

6.7 f (x , y) = ;L : y = - от точки

A(0;0) до точки B(1;0,6)

6.8 f (x , y) = ;L : отрезок прямой

соединяющий точки A(-1;0)

и B (2;0)

6.9 f (x, y) = 2x-y ;L : отрезок прямой

соединяющий точки

A(2;2) и B(1;-3)

6.10 f (x, y) = x ;L : y = x , 0 x 4

6.1 1 ;L : контур параллелограмма с

вершинами A(0,1) , B(3,0) ,

C(3,2) , D(0,2)

6.12 ;L : окружность x + y + z = a

x + y + z = 0

6.13 ;L : контур треугольника с

вершинами A(0,0) , B(1,0) , C(0,1)

6.14 ; L : x + y = a , x 0, y 0

6.15 ;L : дуга x + y = x - y ; x 0 , y 0

Задание 7. Вычислить поверхностные интегралы

первого рода по

указанным поверхностям :

7.1П : плоскость x + 2y +3z = 6 , лежащая в октанте f(x ,y ,z) = 6x + 4y + 3z

7.2П : y = , отсеченная плоскостями x = 0 ,

x = a ;f(x ,y, z) = x + 3y + z + 5

7.3П : часть плоскости x + y + z =a , лежащая в октанте f(x,y,z) = 1

7.4П : z = ,отсеченная плоскостями y = 0 , y = 5 f(x,y,z) =

7.5П : часть плоскости 6x + 4y + 3z = 12 , лежащая в

октанте , f(x,y,z) = z + 2x +

7.6П : z = , отсеченная плоскостью z =3 ;

f(x,y,z) = xyz

7.7П : часть плоскости x + y + z =1 , лежащая в

октанте , f(x,y,z) = 2x + y -

7.8П: граница тела z 1; f(x,y,z) =x + y

7.9П : часть плоскости + + = 1 , лежащая в октанте f(x,y,z) = x + y + z

7.10П : часть плоскости 6x + 4y + 3z = 12 , лежащая в октанте f(x,y,z) = z + 2x +

7.11 П : полусфера z = ; f(x,y,z) = x

7.12 П : поверхность параболоида вращения

z = (x + y ) , ограниченная плоскостями z =0 ,

z = 2 ;f(x,y,z) = x + y

7.13 П : коническая поверхность z = x + y ,

ограниченная плоскостями z = 0 , z = 1 ,

f(x,y,z) = x + y

7.14П : поверхность параболоида вращения

z = 1- x - y , ограниченная плоскостями z =0 ,

z =1 ;f(x,y,z) =

7.15П : часть поверхности конуса x + y = z ,

0 z 1 ;f(x,y,z)=

Задание 8. Вычислить поверхностные интегралы

Второго рода

8.1 по верхней стороне части плоскости 2x + 3y + z = 6 лежащей в октанте 8.2 по положительной

Задание 9 . Найти площадь поверхности

 

9.1 Конусaz = 2xy , расположенного в октанте между

плоскостями x = 2 , y =4

9.2 Конической поверхности z = ,

расположенной в октанте и ограниченной

плоскостями x = 0 , y =0 , x + y =2

9.3 Сферы x + y + z = R , расположенной внутри

цилиндра x + y = Rx

9.4 Цилиндра x + y = Rx , расположенного внутри

сферы x + y + z = R

9.52x + 2y + z = 8a , заключенной между плоскостями

y + z =0 ,z = 0

9.6Цилиндра x + y = R между плоскостями z = 0 ,

y + z = 0

9.7Цилиндра z + y = R , заключенного внутри цилиндра x + y = R

9.8Параболоида x + y = 6z , заключенного внутри цилиндра x + y = 27

9.9 Сферы x + y + z = 3a , заключенной внутри

параболоида x + y = 2az

9.10 Части поверхности z = 2 – ,

расположенной над плоскостью XOY

9.11 z = , отсеченной плоскостями z = 0 , z =1

 

9.12 z = , отсеченной плоскостями y = 0 , y = 2 ;

 

9.13 2z = 2 - x - y , отсеченной плоскостью XOY ;

 

9.14 y = , вырезанный цилиндром

x + y = 2x ;

9.15 x = , отсеченной плоскостями x = 0 ,

x = 2 ;

 

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ

6.1 Основная литература: 1. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Высшая… 2. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математиче­ской статистике. М.: Высшая школа,…

ПЕРЕЧЕНЬ КОНТРОЛЬНЫХ ВОПРОСОВ

Семестр I

1.Матрицы. Линейные операции над матрицами, умножение матриц. Определители 2-го и 3-го порядков. Миноры и алгебраические дополнения. Определители… 2. Системы линейных алгебраических уравнений. Матричная запись системы… 3. Метод Гаусса решения и исследования системы линейных уравнений.

Семестр II

1. Понятие о первообразной функции. Теорема о множестве всех первообразных (с док-вом). 2. Неопределенный интеграл и его свойства. Геометрический смысл… 3. Основные методы интегрирования: интегрирование методом разложения; интегрирование методом замены переменной.

Семестр III

1. Понятия о дифференциальных уравнениях, их классификация. Экономические задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. 2. Дифференциальные уравнения первого порядка. Задача Коши. Формулировка… 3. Основные классы уравнений, интегрируемых в квадратурах (уравнения с разделяющимися и разделенными переменными). …

Семестр IV

1. Элементы комбинаторики. 2. Предмет теории вероятностей. Случайные события и их виды. Различные… 3. Алгебра событий.