Вычисление двойного интеграла в декартовой системе координат - раздел Математика, Математика Рассмотрим Способ Вычисления Двойного Интеграла Путём Его Приведения К Повтор...
Рассмотрим способ вычисления двойного интеграла путём его приведения к повторному (двукратному) интегралу , т.е. последовательному вычислению двух простых интегралов .
Мы ограничимся не вполне строгим , но зато простым геометрическим выводом, основанным на том , что двойной интеграл представляет объём цилиндричес-кого тела с основанием D , ограниченного сверху поверхностью z = f(x,y) .
В разделе " Определённый интеграл " мы уже имеем дело с задачей вычисления объёма тела по его поперечным сечениям .
Рассмотрим цилиндрическое тело , содержащееся между параллельными плоскостями х = а и х = b .
Допустим , что в сечении тела плоскостью , проведённой через точку х = х0 , х0Î[ a,b] , перпендикулярной оси Ох , получается фигура , имеющая площадь S(x0) ( причём S(x) – непрерывная функция , х Î[ a,b] ).
Тогда , как известно , объём V тела вычисляется по формуле
. (6.7.9.)
Пусть данное тело ограничено сверху поверхностью z = f(x,y) ³ 0 , с боков – цилиндрической поверхностью с образующими , параллельными оси Oz , снизу - плоской фигурой D на плоскости Оху ( область D – простая ).
Пусть y2 = у2(x) – уравнение ANB ;
у1 = у1(x) – уравнение AМB.
Криволинейная трапеция MPQN ограничена сверху линией z = f(x0,y), где уÎ[у1,y2] . Как известно , площадь криволинейной трапеции
.
Поскольку сечение х = х0 было взято произвольно , то для любой точки хÎ[a,b] будем иметь
, (6.7.10)
где уже пределы интегрирования у1(х) и у2(х) – переменные величины; они зависят от х.
Подставляя это значение в формулу ( 6.7.4 ) , получим
. (6.7.11)
Выражение , стоящее в правой части формулы (6.7.12) , называется повторным (двукратным) интегралом функции f(x,y) по области D .
Но объём цилиндрического тела выражается двойным интегралом :
. (6.7.12)
Сопоставляя равенства (6.7.11) и (6.7.12) , получаем формулу
(6.7.13)
приводящую двойной интеграл к повторному , в котором интегрирование 1) сначала выполняется по у при произвольном , но постоянном х – внутреннее интегрирование , 2) а затем полученный результат интегрируется по х – внешнее интегрирование; при этом пределы внутреннего интеграла у1(х) и у2(х) – функции от х , а пределы внешнего интеграла - постоянные а и b .
Производя сечение цилиндрического тела плоскостями , параллельными плоскости Oxz , и рассуждая аналогичным образом , мы найдём , что
. (6.7.14)
Здесь интегрирование сначала производится по переменной х при постоянном у , а затем полученный результат интегрируется по у ; при этом пределы внутреннего интеграла х1(у) и х2(у) – известные функции от у ( мы их находим из уравнений контура ) , заданные в промежутке [c,d] , а пределы внешнего интеграла – постоянные с и d , являющиеся ординатами крайних ( снизу и сверху соответственно точек контура z ( точек С и F) .
Сопоставляя формулы (6.7.13) и (6.7.14) , находим
. (6.7.15)
Последнее равенство показывает , что при перемене порядка интегрирования пределы внутреннего и внешнего интеграла изменяются ( в зависимости от формы контура z ) .
Значение формул и состоит в том , что они сводят вычисление двойного интеграла по области D к последовательному вычислению двух "обычных "("однократных") определённых интегралов от функции одной переменной ( методы вычисления таких интегралов уже ранее были изучены ) .
Какую из этих формул удобнее применить в том или ином случае , устанавливается в зависимости 1) от вида функции f(x,y) или от 2) вида области D .
Были установлены в предположении , что область D простая ( т.е. граница области D пересекается прямыми , параллельными как оси Ох , так и оси Оу , не более чем в 2 точках .)
В ряде случаев область D интегрирования не является простейшей областью , но может быть разбита на несколько простых областей , например , на D1,D2 ,D3 ( рис.1.7).
В этих случаях , пользуясь свойством 3 двойного интеграла , двойной интеграл по всей области D представится в виде суммы интегралов по этим областям и каждый из них вычисляется путём сведения к повторному интегралу .
Если область интегрирования представляет собой прямоугольник D : а £ х £b , c£y£d ( т.е. со сторонами , параллельными осям координат ) , то пределы как внешнего , так и внутреннего интеграла постоянны .
Доказано , для любого значения х , заключённого между а и b , переменная у меняется в пределах от с до d . Обратно , для любого у меняется в пределах между с и d, переменная х меняется в пределах от а и b .
Следует твёрдо помнить , что в случае произвольной области интегрирования постоянны только пределы внешнего интеграла ; пределы же внутреннего интеграла переменны ( являются функциями переменной внешнего интеграла ) .
Практика показывает , что при вычислении двойных интегралов студент , как правило , испытывает трудности , связанные с расстановкой пределов интегрирования .
Рассмотрим ряд примеров
Пример 6.8.1.
Записать двойной интеграл в виде повторных интегралов двумя способами , если область D ограничена прямой у = х2 .
Решение
а. Сначала применим формулу (т.е. интегрируем сначала по у , считая х постоянным , а затем по х в пределах от а= 0 до b =1 , представляющих собой абсциссы крайних точек контура области ).
Чтобы найти пределы для у, поступают так : возьмём на оси Ох произвольную точку х между 0 и 1 и проведём через неё прямую , параллельную оси Оу , в направлении этой оси .
Точка входа этой прямой в области D лежит на параболе у = х2 , а точка выхода этой прямой из области D лежит на прямой у= х.
Уравнения этих линий дают нам соответственно нижний и верхний пределы внутреннего интеграла .
Таким образом имеем :
.
б. Применим теперь к двойному интегралу формулу (9).
В этом случае внутренний интеграл берётся по переменной х, считая у постоянным , а затем по у , уÎ[0,1] ( где 0 и 1 – наименьшая и наибольшая ординаты крайних этих точек контура области D) .
Чтобы установить , каковы будут пределы внутреннего интеграла по х , возьмём произвольную точку у на оси Оу в промежутке [0,1] и проведём через неё прямую . параллельную оси Ох , в направлении этой оси .
Так как точка входа этой прямой в области D лежит на прямой х = у , а точка выхода её из области D лежит на параболе , то из уравнения этих линий дадут нам нижний и верхний пределы внутреннего интеграла .
Следовательно имеем :
Пример 6.8.2.
Вычислить
Область D :- 1 £ х £ 1 , 0 £ у £ 2 ( т.е. задана такими неравенствами)
Пример 6.8.3.
= ? Область D : у = х , х = 2 , ху = 1.
Решение
При +1 £х£ 2 у изменяется от у = 1/х до у= х .
Пределы внешнего интеграла по переменной х : это будет абсциссы самых левых и самых правых точек области D .
Чтобы установить пределы внутреннего интеграла по у , возьмём произвольную точку х между 1и 2 на оси Ох и проведём через неё прямую , параллельную оси Оу . Точка входа этой прямой в область D лежит на гиперболе у = 1/х , а точка выхода на прямой у = х . Уравнения этих линий дают нам соответственно нижний и верхний пределы внутреннего интеграла .
Все темы данного раздела:
ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ ДИСЦИПЛИНЫ
Программа дисциплины имеет целью обеспечить базовую подготовку в области математических наук: алгебра, геометрия, математический анализ, теория вероятностей и случайные процессы, математическая ста
Трудоемкость дисциплины по видам занятий
Виды учебных занятий
Трудоёмкость
Семестры
В часах
В зачетных
Непрерывность
Лекция 2.
Элементы математической логики: необходимое и достаточное условия, прямая и обратная теоремы. Символы математической логики, их использование. Множе
II семестр
Раздел 5. Элементы теории функции комплексного переменного и высшей алгебры
Лекция 1.
I семестр
Занятие 1
1. Свойства и вычисление определителей различных порядков. Решение линейных и алгебраических уравнений по формулам Крамера.Матрицы и действия над ними. Обращение матрицы. Решение
Определители и их вычисления
Матрицей размера mxn называется таблица, состоящая из m строк и n столбцов:
, (6.1.1)
где - элементы матрицы A, первый индекс i указывает на номер строки, а второй j на номер стол
Матричный метод решения системы линейных алгебраических уравнений. Формулы Крамера. Метод Гаусса
Рассмотрим систему, составленную из трех линейных алгебраических уравнений с тремя неизвестными.
(6.1.11.)
Решением (2.1)называется система из трех чисел, удовлетв
Прямая на плоскости
Всякая прямая линия определяется в заданной прямоугольной декартовой системе координат Оху уравнением первой степени относительно переменных х и у.
Плоскость
Уравнение плоскости с нормальным вектором = {А,В,С} и проходящей через точку M0(x0,y0,zo) имеет вид
А(х -х0) + В(у - у
Прямая в пространстве
Прямая в пространстве может быть задана как линия пересечения двух плоскостей
(6.2.19)
причем должно нарушаться хотя бы одно из равенств
,
чтобы эти плоскости пе
Кривые второго порядка
Канонические уравнения:
эллипса ,
гиперболы ,
параболы ;
Эксцентриситеты
эллипса ,
гиперболы
параболы ,
где rи d
Поверхности II порядка. Канонические уравнения
Название поверхности
Каноническое уравнение
эллипсоид
(рис.1)
Пределы функций
При вычислении предела элементарной функции f(x) приходится сталкиваться с двумя существенно различными типами примеров.
1 Функция f(x) определена в предельной точке x=a. Т
Дифференциальные исчисления функций одной переменной
Основные формулы:
Производная от функции у=f(х) по аргументу х
или (6.3.4)
Формулы дифференцирования основных функций:
Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
Частные производные функции
Частные производные функции по аргументам x, y и
Z соответственно определяются как соответствующие пределы ( если они существуют):
На непрерывность
Пример6.5.1.
Найти точки разрыва функции и исследовать их характер:
а) у = 1/(х + 3); б) у =1/(1 + 21/х).
Построить схематич
Неопределенные интегралы
Многочлены. Теорема Безу
Многочленом n-й степени наз-ся функция вида:
где - постоянные коэф-ты
Первообразная функция.
Определение 1.Функция , определённая в промежутке ,называется первообразной данной функции в этом промежутке , если для любого значения выполняется равенство:
.
Пример 6
Непосредственное интегрирование
Метод непосредственного интегрирования является одним из простейших методов интегрирования.
Он опирается на:
1) таблицу интегралов;
2) основные свойства неопределенных ин
Основные методы интегрирования
К наиболее важным методам интегрирования относятся:
1) метод непосредственного интегрирования (с которым мы познакомились в предыдущей лекции);
2) метод замены переменной;
Метод интегрирования по частям
Этот метод основан на следующей формуле: (*)
Пусть и - функции от х, имеющие непрерывные производные и .
Известно, что или ; или .
Интегралы и , так как по условию функци
Метод неопределенных коэффициентов.
Равенство (I) есть тождество. Приведя его к целому виду, получим равенство 2-х многочленов. Но такое равенство всегда выполняется лишь при условии почленного равенства этих многочленов.
Пр
Частные подстановки
Как уже было сказано, универсальная подстановка нередко приводит к сложным выкладкам.
В указанных ниже случаях предпочтительнее сделать частные подстановки, так же рационализирующие интегр
Вычисление интегралов вида
где и
Здесь остановимся на следующих 3-х случаях:
1) и - четные неотрицательные числа.
В этом случаи неопределенные интегралы находятся с помощью тригоном
Интегрирование биноминального дифференциала.
Интеграл от биноминального дифференциала, то есть интеграл вида ;
Где m,n,p – рациональные числа,
а, в – отличные от нуля постоянные (здесь “n” - любое рациональное число).
Интегрирование рациональных дробей по методу Остроградского
Мы видели, что интегрирование некоторых рациональных дробей часто связано с утомительными выкладками.
Метод Остроградского значительно сокращает и упрощает интегрирование этих дробей, что
Подстановки Эйлера
Интегралы вида
Где - рациональная относительно и функция;
; могут быть вычислены с помощью специальных рационализирующих подстановок, называемых подстановками Эйлера.
Воо
Понятие определенного интнграла
Пусть на [a;b] задана непрерывная функция у =f(x).
Разобьем отрезок [a; b] на n частичных отрезков с помощью произвольно выбранных на нем точек .
На каждом из отрезков (час
Замена переменной в определенном интеграле
Пусть требуется вычислить , где f(x)- непрерывная на [a;b] функция. Часто здесь бывает удобно применить, как и в случае вычисления неопределенного интеграла, замену переменной путем введения
Вычисление площади Фигур
Площадь в прямоугольных декартовых координатах Площадь криволинейной трапеции
При постановке задачи определенного интегрирования мы уже рассмотрели вопрос о вычислении площ
Вычисление объемов тел
Вычисление объема тела по площади поперечногo сечения
Пусть дано тело произвольной формы, заключенное между плоскостями x=a и x=b. Кроме того, пусть известна площадь любого поперечного сеч
Криволинейные, кратные и поверхностные интегралы
Объём цилиндрического тела. Двойные интегралы
Подобно тому как задача о вычислении площади криволинейной трапеции привела нас к понятию простого определённого интеграла ,
Определение двойного интеграла
Пусть дана функция z = f(x,y) , определённая и непрерывная в некоторой замкнутой области D , граница Г которой простая замкнутая линия ( такую замкнутую область называют простой обл
Свойства двойного интеграла
Двойной интеграл обладает рядом простейших свойств , вполне аналогичных соответствующим свойствам простого интеграла .
Доказательство основных свойств двойного интеграла ( подобно доказате
Изменение порядка интегрирования в двойном интеграле
Если область D является простой , то для вычисления двойного интеграла применимы обе формулы (1.5) и (1.6) .Следовательно :
.
Это равенство показыв
Замена переменных в двойном интеграле
Пусть в области D существует .
Перейдём к новым переменным U иV по формулам
где G – область определений этих функций .
Формулы называются
Вычисление двойного интеграла в полярной системе координат
Во многих задачах , требующих применения двойных интегралов, прямоугольная система координат не является наилучшей.
Поэтому следует уметь переходить от одной системы координат к другой , б
Тогда .
Для составления интегральной суммы для функции f(x,y) в качестве точек ( xi ,hi ) областей Di выбираем точки , лежащие на средних окружностях радиус
Решение
.
Пример6.8.8.Вычислить двойной интеграл ,
где область D есть кольцо , заключенное между окружностями х2 + у2 = е2
Определение поверхностного интеграла I рода
Пусть в точках поверхности S гладкой ( если в каждой её точке $ касательная плоскость и при переходе от точке к точке положение этой касательной плоскости меняется непрерывно ) определена ограничен
Вычисления поверхностных интегралов I рода
Производится сведением поверхностного интеграла к двойному .
Пусть поверхность S задана уравнением
z = Z (x,y) , где z вместе со своими производными Z1x (x,y
Поверхностные интегралы II рода
Возьмём на гладкой поверхности S произвольную точку М и проведём через неё нормаль к поверхности (M) .
Рассмотрим на поверхности S какой-либо замкнутый контур , проходящий
Контрольная работа №1
Задание 1. Для матрицы третьего порядка вычислите ее определитель
и определитель матрицы, транспонированной к данной.
1. ; 2. ; 3. ;
4. ; 5. ; 6. ;
7. ; 8. ; 9.
Контрольная работа №2
ЗАДАНИЕ 1
Вычислите пределы:
Контрольная работа №3
Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
Задание 1. Дана функция z=z(x; y), точкаА(x0; y0) и вектор а. Найти производную в точке
Контрольная работа №4
Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы
Задание 1.
Изменить порядок интегрирования. Область интегрирования изобразить на чертеже.
1.1. 1.2.
Второго рода
8.1 по верхней стороне
части плоскости 2x + 3y + z = 6 лежащей в октанте
8.2 по положительной
стороне куба , составленного плоскостями x = 0 ,
y
УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ
6.1 Основная литература:
1. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Высшая школа, 2005.
2. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по т
Семестр I
1.Матрицы. Линейные операции над матрицами, умножение матриц. Определители 2-го и 3-го порядков. Миноры и алгебраические дополнения. Определители n-го порядка. Вычисление определите
Семестр II
1. Понятие о первообразной функции. Теорема о множестве всех первообразных (с док-вом).
2. Неопределенный интеграл и его свойства. Геометрический смысл неопределенного инте
Семестр III
1. Понятия о дифференциальных уравнениях, их классификация. Экономические задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям.
2. Дифференциальные уравнения первого порядка. З
Семестр IV
1. Элементы комбинаторики.
2. Предмет теории вероятностей. Случайные события и их виды. Различные подходы к определению вероятности: классический, статистический геометриче
Новости и инфо для студентов