Матричный метод решения системы линейных алгебраических уравнений. Формулы Крамера. Метод Гаусса
Матричный метод решения системы линейных алгебраических уравнений. Формулы Крамера. Метод Гаусса - раздел Математика, Математика
Рассмотрим Систему, Составленную Из Трех Линейных Алгебраичес...
Рассмотрим систему, составленную из трех линейных алгебраических уравнений с тремя неизвестными.
(6.1.11.)
Решением (2.1)называется система из трех чисел, удовлетворяющая требованию: если в (2.1) вместо и подставить соответственно и , то получим три верных равенства (три тождества).
(6.1.12)
- основная матрица системы (2.1)
(6.1.13)
- расширенная матрица (2.1)
; ; (6.1.14)
система (2.1) может быть записана в матричном виде так:
AX=D (6.1.15)
X – неизвестная матрица-столбец. Введем вспомогательные определители:
Предполагая, что матрица A - невырожденная и умножая (2.5) слева и почленно на A-1, получим
–(6.1.16) матричный способ решения системы.
Используя понятие равенства двух матриц, получим
(6.1.17)
(6.1.18)
(6.1.19)
Элементарными преобразованиями матрицы называются следующие преобразования:
Перестановка местами произвольных двух строк (столбцов).
Умножение строки (столбца) на отличное от нуля число.
Прибавление к элементам строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), предварительно умноженных на одно и то же число.
Пример 6. 1.2. Найти матрицу, обратную матрице . Проверить результат.
Обратную матрицу находим по формуле .
Вычислим определитель матрицы по правилу треугольника:
Определитель не равен нулю, следовательно, обратная матрица существует. Составляем матрицу из алгебраических дополнений ( ) и транспонируем ее.
Пример 6.1.3. Решить систему линейных уравнений по формулам Крамера
.
Решение:
Найдем главный определитель системы
Так как число уравнений и число неизвестных системы между собой равны m=n=3 и определитель отличен от нуля, система имеет единственное решение.
Найдем вспомогательные определители:
Неизвестные находим по формулам Крамера:
; .
Ответ: .
Пример 6.1.4.. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса
.
Решение.
Метод Гаусса – это метод последовательного исключения неизвестных преобразованием данной системы линейных уравнений к эквивалентной. Преобразования уравнений системы заменяются преобразованием строк расширенной матрицы системы до приведения основной матрицы к треугольной или трапециевидной форме. Обнуление элементов выполняется элементарными преобразованиями матрицы(умножение строк на числа, отличные от нуля с последующим сложением).
.
Ответ: .
Пример 6.1.5. Применить теорему Кронекера – Капели и найти все решения системы методом Гаусса .
Решение.
Однородная матрица всегда имеет тривиальное решение, в данном случае (0;0;0;0), поэтому нас интересуют другие решения системы.
Применяем метод Гаусса:
.
Так как размерности основной и расширенной матриц системы 3x4 и 3x5 соответственно, ранги этих матриц не могут превышать числа 3. Попробуем посмотреть, есть ли для этих матриц минор третьего порядка, отличный от нуля. Составим его из первых двух и четвертого столбца: , так как определитель треугольного вида равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали. Следовательно, ранги основной и расширенной матриц равны 3. По теореме Кронекера-Капелли данная система совместна. Так как число уравнений m=3 меньше числа неизвестных n=4, то она имеет бесчисленное множество решений. Закрепленных (базисных) переменных будет 3 (так как r=3), свободных переменных будет (n-r=4-3=1) одна. Минор, который мы составили выше, называется базисным, а переменные, входящие в него, базисными. Следовательно, - базисные переменные, а - свободная, то есть . Выполним обратный ход метода Гаусса:
.
Решением системы будет множество четверок чисел , где .
Например, (0;2;2;0), (0;-1;-1;0), - решения системы.
Ответ: .
Замечание. Обратите внимание, что тривиальное решение тоже задается этим множеством.
Пример 6. 1.6. Даны координаты векторов и в некотором базисе. Показать, что векторы образуют базис и найти координаты вектора в этом базисе.
; ; ; ; .
Решение.
Если векторы образуют базис, то существует разложение вектора в этом базисе , то есть
.
Отсюда вытекает решение задачи: найти координаты вектора в базисе означает решить систему четырех уравнений с четырьмя неизвестными . Эта система будет иметь единственное решение, если ее основной определитель будет отличен от нуля.
Решаем методом Гаусса:
Так как определитель треугольного вида равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали , видим, что он отличен от нуля. Следовательно, векторы независимы и образуют базис.
ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ ДИСЦИПЛИНЫ
Программа дисциплины имеет целью обеспечить базовую подготовку в области математических наук: алгебра, геометрия, математический анализ, теория вероятностей и случайные процессы, математическая ста
Непрерывность
Лекция 2.
Элементы математической логики: необходимое и достаточное условия, прямая и обратная теоремы. Символы математической логики, их использование. Множе
II семестр
Раздел 5. Элементы теории функции комплексного переменного и высшей алгебры
Лекция 1.
I семестр
Занятие 1
1. Свойства и вычисление определителей различных порядков. Решение линейных и алгебраических уравнений по формулам Крамера.Матрицы и действия над ними. Обращение матрицы. Решение
Определители и их вычисления
Матрицей размера mxn называется таблица, состоящая из m строк и n столбцов:
, (6.1.1)
где - элементы матрицы A, первый индекс i указывает на номер строки, а второй j на номер стол
Прямая на плоскости
Всякая прямая линия определяется в заданной прямоугольной декартовой системе координат Оху уравнением первой степени относительно переменных х и у.
Плоскость
Уравнение плоскости с нормальным вектором = {А,В,С} и проходящей через точку M0(x0,y0,zo) имеет вид
А(х -х0) + В(у - у
Прямая в пространстве
Прямая в пространстве может быть задана как линия пересечения двух плоскостей
(6.2.19)
причем должно нарушаться хотя бы одно из равенств
,
чтобы эти плоскости пе
Кривые второго порядка
Канонические уравнения:
эллипса ,
гиперболы ,
параболы ;
Эксцентриситеты
эллипса ,
гиперболы
параболы ,
где rи d
Пределы функций
При вычислении предела элементарной функции f(x) приходится сталкиваться с двумя существенно различными типами примеров.
1 Функция f(x) определена в предельной точке x=a. Т
На непрерывность
Пример6.5.1.
Найти точки разрыва функции и исследовать их характер:
а) у = 1/(х + 3); б) у =1/(1 + 21/х).
Построить схематич
Неопределенные интегралы
Многочлены. Теорема Безу
Многочленом n-й степени наз-ся функция вида:
где - постоянные коэф-ты
Первообразная функция.
Определение 1.Функция , определённая в промежутке ,называется первообразной данной функции в этом промежутке , если для любого значения выполняется равенство:
.
Пример 6
Непосредственное интегрирование
Метод непосредственного интегрирования является одним из простейших методов интегрирования.
Он опирается на:
1) таблицу интегралов;
2) основные свойства неопределенных ин
Основные методы интегрирования
К наиболее важным методам интегрирования относятся:
1) метод непосредственного интегрирования (с которым мы познакомились в предыдущей лекции);
2) метод замены переменной;
Метод интегрирования по частям
Этот метод основан на следующей формуле: (*)
Пусть и - функции от х, имеющие непрерывные производные и .
Известно, что или ; или .
Интегралы и , так как по условию функци
Метод неопределенных коэффициентов.
Равенство (I) есть тождество. Приведя его к целому виду, получим равенство 2-х многочленов. Но такое равенство всегда выполняется лишь при условии почленного равенства этих многочленов.
Пр
Частные подстановки
Как уже было сказано, универсальная подстановка нередко приводит к сложным выкладкам.
В указанных ниже случаях предпочтительнее сделать частные подстановки, так же рационализирующие интегр
Вычисление интегралов вида
где и
Здесь остановимся на следующих 3-х случаях:
1) и - четные неотрицательные числа.
В этом случаи неопределенные интегралы находятся с помощью тригоном
Интегрирование биноминального дифференциала.
Интеграл от биноминального дифференциала, то есть интеграл вида ;
Где m,n,p – рациональные числа,
а, в – отличные от нуля постоянные (здесь “n” - любое рациональное число).
Интегрирование рациональных дробей по методу Остроградского
Мы видели, что интегрирование некоторых рациональных дробей часто связано с утомительными выкладками.
Метод Остроградского значительно сокращает и упрощает интегрирование этих дробей, что
Подстановки Эйлера
Интегралы вида
Где - рациональная относительно и функция;
; могут быть вычислены с помощью специальных рационализирующих подстановок, называемых подстановками Эйлера.
Воо
Понятие определенного интнграла
Пусть на [a;b] задана непрерывная функция у =f(x).
Разобьем отрезок [a; b] на n частичных отрезков с помощью произвольно выбранных на нем точек .
На каждом из отрезков (час
Замена переменной в определенном интеграле
Пусть требуется вычислить , где f(x)- непрерывная на [a;b] функция. Часто здесь бывает удобно применить, как и в случае вычисления неопределенного интеграла, замену переменной путем введения
Вычисление площади Фигур
Площадь в прямоугольных декартовых координатах Площадь криволинейной трапеции
При постановке задачи определенного интегрирования мы уже рассмотрели вопрос о вычислении площ
Вычисление объемов тел
Вычисление объема тела по площади поперечногo сечения
Пусть дано тело произвольной формы, заключенное между плоскостями x=a и x=b. Кроме того, пусть известна площадь любого поперечного сеч
Криволинейные, кратные и поверхностные интегралы
Объём цилиндрического тела. Двойные интегралы
Подобно тому как задача о вычислении площади криволинейной трапеции привела нас к понятию простого определённого интеграла ,
Определение двойного интеграла
Пусть дана функция z = f(x,y) , определённая и непрерывная в некоторой замкнутой области D , граница Г которой простая замкнутая линия ( такую замкнутую область называют простой обл
Свойства двойного интеграла
Двойной интеграл обладает рядом простейших свойств , вполне аналогичных соответствующим свойствам простого интеграла .
Доказательство основных свойств двойного интеграла ( подобно доказате
Вычисление двойного интеграла в декартовой системе координат
Рассмотрим способ вычисления двойного интеграла путём его приведения к повторному (двукратному) интегралу , т.е. последовательному вычислению двух простых интегралов .
Мы ограничимся не вп
Замена переменных в двойном интеграле
Пусть в области D существует .
Перейдём к новым переменным U иV по формулам
где G – область определений этих функций .
Формулы называются
Вычисление двойного интеграла в полярной системе координат
Во многих задачах , требующих применения двойных интегралов, прямоугольная система координат не является наилучшей.
Поэтому следует уметь переходить от одной системы координат к другой , б
Тогда .
Для составления интегральной суммы для функции f(x,y) в качестве точек ( xi ,hi ) областей Di выбираем точки , лежащие на средних окружностях радиус
Решение
.
Пример6.8.8.Вычислить двойной интеграл ,
где область D есть кольцо , заключенное между окружностями х2 + у2 = е2
Определение поверхностного интеграла I рода
Пусть в точках поверхности S гладкой ( если в каждой её точке $ касательная плоскость и при переходе от точке к точке положение этой касательной плоскости меняется непрерывно ) определена ограничен
Вычисления поверхностных интегралов I рода
Производится сведением поверхностного интеграла к двойному .
Пусть поверхность S задана уравнением
z = Z (x,y) , где z вместе со своими производными Z1x (x,y
Поверхностные интегралы II рода
Возьмём на гладкой поверхности S произвольную точку М и проведём через неё нормаль к поверхности (M) .
Рассмотрим на поверхности S какой-либо замкнутый контур , проходящий
Контрольная работа №1
Задание 1. Для матрицы третьего порядка вычислите ее определитель
и определитель матрицы, транспонированной к данной.
1. ; 2. ; 3. ;
4. ; 5. ; 6. ;
7. ; 8. ; 9.
Контрольная работа №3
Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
Задание 1. Дана функция z=z(x; y), точкаА(x0; y0) и вектор а. Найти производную в точке
Контрольная работа №4
Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы
Задание 1.
Изменить порядок интегрирования. Область интегрирования изобразить на чертеже.
1.1. 1.2.
Второго рода
8.1 по верхней стороне
части плоскости 2x + 3y + z = 6 лежащей в октанте
8.2 по положительной
стороне куба , составленного плоскостями x = 0 ,
y
УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ
6.1 Основная литература:
1. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Высшая школа, 2005.
2. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по т
Семестр I
1.Матрицы. Линейные операции над матрицами, умножение матриц. Определители 2-го и 3-го порядков. Миноры и алгебраические дополнения. Определители n-го порядка. Вычисление определите
Семестр II
1. Понятие о первообразной функции. Теорема о множестве всех первообразных (с док-вом).
2. Неопределенный интеграл и его свойства. Геометрический смысл неопределенного инте
Семестр III
1. Понятия о дифференциальных уравнениях, их классификация. Экономические задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям.
2. Дифференциальные уравнения первого порядка. З
Семестр IV
1. Элементы комбинаторики.
2. Предмет теории вероятностей. Случайные события и их виды. Различные подходы к определению вероятности: классический, статистический геометриче
Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Новости и инфо для студентов