Векторні і скалярні величини

Відомо такі два типи величин:

1) величини, для визначення яких досить задати число. Ці величини називаються скалярними(наприклад, довжина, густина, температура);

2) величини, для визначення яких недостатньо знати тільки число. Ці величини називаються векторнимиабо просто векторами.Далі під вектором будемо розуміти напрямлений відрізок. Векторними вели­чинами є, наприклад, сила, швидкість, прискорення.

Розрізняють вектори зв'язані, ковзніі вільні.

Зв'язаний вектор —це величина, яка задається числом, точ­кою прикладання, лінією дії та напрямом (наприклад, сила).

Якщо величина визначається числом, лінією дії та напрямом, то така величина називається ковзним вектором(наприклад, кутова швидкість).

Вільним векторомназивається величина, яка визначається числом і напрямом, а лінія дії і точка прикладання можуть бути до­вільними.

Далі розглядатимемо лише вільні вектори і називатимемо їх просто векторами.

Число визначає довжину вектора, а напрям визначає ту пряму, на якій розміщено вектор (пряма А₁С, рис. 2.1). Для напряму век­тора достатньо задати кути, які складає пряма А₁С з осями коорди­нат, вони позначаються через . Косинуси цих кутів назива­ються напрямними косинусами.Для побудови кутів до­сить із довільної точки А на прямій А₁С побудувати осі АХ₁, AY₁, AZ₁, паралельні OX, OY, OZ.

Для побудови вектора на указаній прямій А₁С обирається точка А, яка приймається за початок вектора. Число, яке виражає довжи­ну вектора, дає змогу знайти його кінець. Для цього із точки А у заданому напрямі А₁С відкладаємо відрізок АВ, довжина якого дорі­внює довжині вектора. Кінець цього відрізка і є кінцем вектора. Побудований вектор позначається так: = . Положення точки В визначено однозначно, тому що кути мають бути побудо­вані так, щоб при повороті осей
Рис. 2.1 OX, OY, OZ до прямої А₁С напрями вектора і осей збігалися. При цьому не враховується напрям пово­роту осі до вектора чи вектора до осі. Дійсно, хоч кути і будуть різними, але

Таким чином, побудовано вектор = .

Початок вектора мож­на сумістити з початком координат. Тоді =(рис. 2.2). Як­що

Рис. 2.2 прийняти ОВ за діагональ паралелепіпеда і побудувати його, то за теоремою про квадрат діагоналі паралелепіпеда знайдемо

.

Із прямокутних трикутників ОА₁В, ОА₂В, ОА₃В знаходимо від­повідно

; ; . Підставимо знайдені дані у рівність для ОВ і поділимо її на |ОВ|², тоді 1 = cos² + cos² + cos² .

Таким чином, із трьох кутів лише два кути є незалежними. Вектор, початок якого збігається з початком координат, позначають або .

Довжиноюабо модулем вектораназива­ють довжину відрізка АВ і позначають ||, ||.

Два вектори називають рівними між собою,якщо рівні між собою їхні довжини (модулі), вони паралельні, тобто лежать на од­ній прямій або на паралельних прямих, і однаково напрямлені. Век­тор, довжина якого дорівнює нулю, називають нульовимабо нуль-векторомі позначають .