Визначення вектора за компонентами

Розглянутий спосіб описання вектора грунтується на наочності і узагальненню на випадок n-вимірного простору не піддається. Тому розглянемо інший спосіб описання вектора. Візьмемо тривимірний простір XYZ. Нехай у ньому задано вектор = . Через початок і кінець цього вектора проведемо пло­щини, паралельні координатним площинам. Координати точок пере­тину цих площин з координатними осями позначимо відповідно x_1, y₁, z₁, x_2, y₂, z₂ (рис. 2.3).

Початок і кінець вектора = містяться в точках А (x_1, y₁, z₁) і В (x_2, y₂, z₂) Різниці x₁ – x₂, y₁ –y₂ , z₁-z₂ називають компонентами (координатамиабо проекціями на координа­тні осі)вектора = `.

Вектор АВ однозначно визначається упорядкованою трійкою чисел a_х = x₁ – x₂ a_у = y₁ –y₂ a_z =z₁-z₂ або компонентами. Записують це так:

=( a_х, a_у, a_z)

Рис. 2.3 Рис. 2.4

Справді, побудуємо на як на діагоналі, прямокутний пара­лелепіпед АА₁В₁А₂А₂’ВА₁’A₃ (рис. 2.4) із сторонами AA₁ = x₂–x₁; AA₂=y₂-y₁; AA₃=z₂-z₁ Із прямокутних трикутників АА₁В, АА₂В, АА₃В знаходимо

a_x=x₂-x₁=||cos

a_y=y₂-y₁=||cos

a_z=z₂-z₁=||cos

Оскільки при паралельному переносі вектора його довжина і ку­ти не змінюються, то два рівних між собою вектори завжди мають одні і ті самі компоненти.

Два вектори рівні між собою тоді і тільки тоді, коли рівні між собою їхні відповідні компоненти.

Якщо початок вектора збігається з початком координат, то вектор називається радіусом-вектором точкиВ і його компо­ненти збігаються з координатами його кінця — точки В.

Розглянемо n-вимірний простір. Будь-яка упорядкована пара то­чок А і В n-вимірного простору називається n-вимірним векто­ром.Одна з цих точок називається початком,друга — кінцем вектора.Упорядкованій парі точок А і В з координатами А (х₁, х₂, x₃,… х_n) і В (у₁, у₂, уз,… у_n) відповідає упорядкована сукупність різниць а₁ = у₁ – х₁;а₂ = у₂- х₂; а_з=у₃ - х₃;… а_n = у_n- х_n, які називають компонентами вектораі пишуть = (а₁, a₂, a_3,… а_n). Таким чином, компоненти n-вимірного вектора — це упорядкований набір дійсних чисел. Тому n-вимірний вектор можна визначити як довільний упорядкований набір (a₁, а₂, а₃,… а_n) дійсних чисел у вибраній системі координат.

Вектор, всі компоненти якого дорівнюють нулю, називається нуль-вектором.Два n-вимірні вектори = (a₁, a₂, a_3,… а_n) і = (b₁, b₂, b_3,… b_n) вважаються рівними між собою, якщо рівні між собою їхні відповідні компоненти, тобто

=, якщо a₁ = b₁; а₂=b₂;…а_n = b_n; = (а₁, a₂, a_3,… а_n)=, якщо a₁=0, a₂=0,…a_n=0

Афінний простір називається векторним простором,якщо в ньому введено поняття вектора так, що:

1) будь-якій парі точок А і В відповідає єдиний вектор;

2) для будь-якої точки А афінного простору і будь-якого вектора існує єдина точка В така, що =;

3) для будь-яких трьох точок A, В і С справджується рівність + = .

Компоненти n-вимірного вектора можна розміщувати у рядок або у стовпчик. У першому випадку говорять про вектор-рядок= (а₁, a₂, a_3,… а_n), а у другому — про вектор-стовпець.Вектор-рядок або вектор-стовпець називають ще матрицею-рядкомабо матрицею- стовпцемі позначають так:

, або , або