КОНСПЕКТЫ ЛЕКЦИЙ Аналитическая геометрия и алгебра

 

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Дальневосточный федеральный университет»

(ДВФУ)

<Школа естественных наук>

 

 

КОНСПЕКТЫ ЛЕКЦИЙ

Аналитическая геометрия и алгебра

Самолето и вертолето строение

 

 

г. Владивосток

Лекция 1

Конечные суммы и их свойства. Вычисление определителя

И . Системы координат: декартовая, полярная.

В математике часто рассматривают суммы большого числа слагаемых которые имеют один и тот же вид, но различаются индексами. Для них используют символ… Определение.Символ , после которого стоит некоторое выражение, содержащее… Здесь символ - индекс суммирования, интервал - интервал суммирования, - суммируемое выражение.

Свойства конечных сумм

1);

2);

3),

где двойная сумма может быть записана как ;

4) ;

5) , (замена индекса). Причем - взаимно однозначная функция.

Иногда требуется записать сумму всех слагаемых кроме одного или двух. Если пропущено слагаемое с номером , это записывается в виде

Вычисление определителя

1) Детерминантом матрицы порядка называется единственный элемент этой матрицы: (1.1) 2) Для матрицы второго порядка мы имеем следующую формулу:

Системы координат

    Рис.1.1

Лекция 2

Комплексные числа и действия над ними

(2.1) (алгебраическая форма), где , а - мнимая единица, удовлетворяющая условию (2.2)

Геометрический смысл комплексного числа

Длина вектора называется модулем комплексного числа и обозначается (2.3)

Операции над комплексными числами, заданными в алгебраической форме

Определение.Два комплексных числа называются равными, если у них совпадают действительные и мнимые части, т.е., если и .

1.Сложение и вычитание

Действие сложения и вычитания комплексных чисел и производится по правилу сложения и вычитания двучленов

.

Группируя отдельно действительную и мнимую части, получим формулу:

(2.10)

2.Умножение.

Действие умножение комплексных чисел и производится по правилу умножения двучленов

раскроем скобки

используя формулу (2.2) и группируя действительные и мнимые слагаемые, получим выражение:

(2.11)

3.Деление.

Чтобы преобразовать дробь в комплексное число, необходимо числитель и знаменатель дроби умножить на число сопряжённое к знаменателю, в числителе произвести действие умножения, а для знаменателя воспользоваться формулой (2.9)

:

(2.12)

Действия над комплексными числами, заданными в тригонометрической или в показательной форме

При умножении двух комплексных чисел заданных в тригонометрической или показательной формах их модули перемножаются, а аргументы складываются: . (2.13) (2.14)

Лекция 3

Понятие многочлена, корни многочленов, кратность корня, основные теоремы алгебры, следствия из теорем.

Для возведения комплексного числа в целую положительную степень применяют формулу Муавра: (3.1) Данная формула является следствием формулы (2.14).

Лекция 4

Векторная алгебра. Понятие вектора, координаты, модуль вектора. Линейные операции над векторами. Базис

Цель: Изучить понятие вектора, равенства векторов, как определяются координаты вектора его модуль, линейные операции над векторами и их свойства, понятие базиса.

Определение. Направленный отрезок (упорядочивающий пару точек) будем называть вектором и обозначать , , где точку называют началом вектора, а – его концом (рис.4.1).

Необходимо знать, что в печатных изданиях часто векторные величины и векторы обозначают жирным шрифтом, без стрелки

В

Вектор, у которого начало и конец совпадают, будем называть нулевым вектором

 

	А

Рис. 4.1

Расстояние между началом и концом вектора называется его длиной, модулем или абсолютной величиной вектора и обозначают , .

Векторы называются коллинеарными, если существует прямая, которой эти векторы параллельны, пишут . Коллинеарные векторы могут быть сонаправленными (направлены в одну сторону), и противоположно направленными. Обозначается соответственно , .

Векторы называются компланарными, если существует плоскость, которой они параллельны.

Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору т.к. не имеет направления.

Свойство.Если вектор коллинеарен ненулевому вектору , то существует действительное число такое, что .

Определение. Два вектора считаются равными, если выполнено три условия: 1) их модули равны, 2) они параллельны, 3) направлены в одну сторону.

О равенстве векторов стоит поговорить отдельно, т.к. оно существенно отличается от равенства чисел. Два равных числа могут рассматриваться как одно и тоже. С векторами все иначе.

Из курса физики известно, что сила может быть изображена вектором. Но, силы изображаемые равными направленными отрезками производят, вообще говоря различные действия. Так сила действующая на упругое тело изображается направленным отрезком, который не может быть никуда перенесен из данной точки. Т.е. он характеризуется направлением и точкой приложения и называется приложенным вектором.

Сила действуещая на абсолютно твердое тело, изображается скользящим вектором, который может быть перенесен не в любую точку пространства, а лишь вдоль прямой на которой он лежит.

Все остальные равные вектора (множество направленных отрезков, равных данному) называются свободными векторами, с которыми мы и будем работать.

Линейные операции над векторами

Определение. Суммой называется вектор , который может быть найден по следующим правилам (рис.4.2).

Свойства сложения векторов:

1) , (коммутативность);

2) , (ассоциативность);

3) прибавление нулевого вектора к любому другому не меняет последнего ;

4) вектор, противоположный вектору , обозначается . Их сумма дает нулевой вектор .

Правило треугольника Правило параллелограмма

Рис. 4.2

Определение. Разность есть сумма (рис.4.3).

 

Рис.4.3

Определение. Произведением вектора на вещественное число называется любой вектор , удовлетворяющий следующим условиям:

а) вектор коллинеарен вектору ;

б) ;

в) векторы и направлены одинаково если и противоположно направлены если

Свойства умножения вектора на число

2. Умножение векторов на число дистрибутивно относительно сложения чисел (дистрибутивность). 3. Умножение векторов на число дистрибутивно относительно сложения векторов

Свойства линейной комбинации

2. Если – компланарны, то каждая их линейная комбинация компланарна с ними. Определение. Пусть дана линейная комбинация , если только при условии, что ,… Определение. Если существуют такие , что – нетривиальная линейная комбинация, то говорят, что - линейно зависимы. В…

Теорема.

2. Любые два коллинеарных вектора линейно зависимы, и наоборот, два линейно зависимых вектора коллинеарные. 3. Каждые три компланарных вектора линейно зависимы, и наоборот, три линейно… 4. Каждые четыре вектора линейно зависимы.

Теорема.

2. Каждый вектор, параллельный какой-либо плоскости, может быть разложен по базису на этой плоскости. 3. Каждый вектор может быть разложен по базису в пространстве. 4. Компоненты вектора в каждом случае определяются однозначно.

Лекция 5

Проекция вектора и ее свойства. Деление отрезка в заданном отношении. Скалярное произведение векторов

Определение. Проекцией вектора на вектор , обозначается называется число, равное где – угол между векторами и (рис.5.1). пр … Рис. 5.1.

Свойства проекции

    Рис. 5.2

Скалярное произведение векторов

Определение. Скалярным произведением двух векторов называется число (скаляр) равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:

(5.3)

где - угол между векторами . Обозначают скалярное произведение как .

Т.к. , то скалярное произведение можно вычислить по формуле

или (5.4)

Физический смысл скалярного произведения: работа постоянной силы при прямолинейном перемещении ее точки приложения. .

Свойства скалярного произведения

Непосредственно следует из коммутативности произведения чисел; 2) (дистрибутивность). Для доказательства этого свойства воспользуемся линейным свойством проекции и формулой, связывающей скалярное…

Лекция 6

Векторное произведение векторов, смешанное произведение векторов, основные свойства. Условия ортогональности, коллинеарности, компланарности векторов.

Цель: Изучить векторное и смешанное произведение векторов, их свойства, методы вычисления, условия ортогональности, компланарности и коллинеарности векторов.

Определение. Векторным произведением двух векторов , обозначают называется вектор удовлетворяющий трем условиям:

1) Модуль вектора равен площади параллелограмма, построенного на этих векторах

(6.1)

2) Вектор ортогонален перемножаемым векторам: т.е. ортогонален плоскости построенного на этих векторах параллелограмма

3) составляют правую тройку векторов (рис.6.1).

 

 

Рис. 6.1

Свойства векторного произведения

Свойство следует из перемены ориентации векторов; 2) Скалярный множитель можно вынести за скобку ; 3) (дистрибутивность);

Геометрический смысл векторного произведения

– площадь треугольника, построенного на векторах . Пример. Найти площадь треугольникапостроенного на векторах и , если ; ; .…

Смешанное произведение

Теорема(геометрический смысл смешанного произведения). Смешанное произведение трех некомпланарных векторов по модулю равно объему параллелепипеда,… , причем - имеет знак «» если образуют правую тройка и «» если - левая… Доказательство.

Свойства смешанного произведения

2) При перестановки местами двух соседних множителей, смешанное произведение меняет знак на противоположный . Данное свойство следует из антикоммутативности векторного произведения.

Свойства двойного векторного произведения

1) ;

2) ;

3) .

О размерностях векторных величин

В приложениях математики рассматриваются величины, изображаемые векторами: силы, скорости, моменты сил, которые имеют определенные размерности. Напомним основные правила действий с размерностями:

1) сумма имеет ту же размерность, что и слагаемые, и складывать можно векторные величины одинаковых размерностей;

2) при умножении вектора на скалярную величину их размерности перемножаются;

3) модуль векторной величины имеет ту же размерность что и вектор;

4) скалярное и векторное произведение имеют размерность равную произведению размерностей сомножителей.

Лекция 7

Аналитическая геометрия на плоскости. Алгебраические линии и плоскости. Уравнения прямой на плоскости.

Определение. Уравнение называется уравнением линии на плоскости (относительно заданной системы координат), если этому уравнению удовлетворяют… Определение: Линия называется алгебраической, если в декартовой прямоугольной… Определение:Наибольшая из сумм показателей степеней называется степенью уравнения или порядком алгебраической линии …

О пересечении двух линий

Пусть даны две линии и , заданные соответствующими уравнениями: и . Для нахождения всех точек пересечения и следует решить систему

Уравнение прямой через заданную точку и вектор нормали

   

Общее уравнение прямой

Раскрывая в уравнении (7.1) скобки и обозначив получим общее уравнение прямой:

(7.2)

Если и определяют одну и ту же прямую, то существует такое действительное , что , , , т.е. коэффициенты пропорциональны.

Неполные уравнения прямой

, следовательно, прямая имеет вид: , т.е. прямая проходит через начало координат; , следовательно, прямая имеет вид: . Откуда т.е. получили прямую параллельную… , следовательно, прямая имеет вид: , Откуда т.е. получили прямую параллельную оси : ;

Уравнение прямой в отрезках

Пусть – полное уравнение. Перенесем свободный член вправо и, в случае если , поделим на него . В сокращенных уравнениях мы уже ввели обозначения , тогда получим уравнение в отрезках:

(7.3)

Здесь отрезки отсекаемые прямой на соответствующих координатных осях (рис.7.2)

Рис.7.2

Уравнение прямой с угловым коэффициентом

(7.4) где - отрезок, отсекаемый данной прямой от оси ординат , а - угловой… Рассмотрим вектор , не параллельный оси . из (рис. 7.4) имеем , тогда , , обозначим , получим уравнение прямой с…

Уравнение прямой через точку и направляющий вектор

Определение: Всякий ненулевой вектор с координатами параллельный указанной прямой называют направляющим вектором этой прямой (рис. 7.3). Выберем на прямой произвольную точку и построим вектор . Т.к. векторы , то из условия коллинеарности векторов имеем пропорцию:

(7.4)

Которая дает нам каноническое уравнение прямой.

Рис.7.3

Уравнение прямой проходящей через две точки

Через любые две несовпадающие точки , можно построить прямую. Пользуясь условием параллельности векторов и (рис.7.4), где получаем:

(7.5)

уравнение прямой, проходящей через две точкии .

 

Рис.7.4.

Параметрическое уравнение прямой

Рассмотрим каноническое уравнение прямой (7.4) Оно описывает пропорциональность координат. Введем коэффициент пропорциональности и распишем два равенства ,

. (7.6)

Полученное уравнение называется параметрическим уравнением прямой .

Если - время, отсчитываемое от некоторого начального момента, то можно считать, что параметрическое уравнение прямой определяет значение движения материальной точки по прямой с постоянной скоростью .

Уравнение прямой через точку с заданным угловым коэффициентом

Из канонического уравнения прямой: , получаем , где отношение координат направляющего вектора дает угловой коэффициент прямой , тогда уравнение

(7.7)

Есть уравнение прямой, проходящей через точку с заданным угловым коэффициентом .

Определение: Угловой коэффициент прямой, есть отношение координат нормального или направляющего векторов и равен тангенсу угла наклона прямой относительно положительного направления оси .

Нормированное уравнение прямой

Точка , ее проекция на вектор нормали равна радиус вектору . Но, проекцию точки на вектор можно вычислить через скалярное произведение (формула 5.7)… (7.10) – нормированное уравнение прямой.

Лекция 8

Условия параллельности и ортогональности прямых, угол между прямыми, пучок прямых. Уравнения плоскости в пространстве.

Расположение прямых на плоскости определяется по взаимному расположению их направляющих векторов или отношением угловых коэффициентов. 1. Пусть прямые заданы в общем виде. :и :, где , соответствующие им векторы… Если , то и координаты векторов пропорциональны .

Расстояние от точки до прямой

Раскрывая скобки получим: (8..3) Если дано нормированное уравнение прямой, то .

Уравнение плоскости проходящей через точку и вектор нормали

Пусть на плоскости задана некоторая точка и вектор нормали . Если вектор , то ортогонален любой прямой этой плоскости (рис. 8.1), следовательно, ,… (8.4) где .

Общее уравнение плоскости

Раскроим скобки в уравнении (8.4) и обозначим константу . Получим уравнение:

(8.5)

– общее уравнение плоскости.

Если и определяют одну и ту же плоскость, то существует действительное число , такое, что , , , .

Неполные уравнения плоскости

1) – плоскость проходит через начало координат 2) – плоскость параллельная оси , так как ; 3) – плоскость параллельная оси , так как ;

Уравнение плоскости в отрезках

Если дано полное уравнение плоскости , тогда с помощью преобразований аналогичных уравнению прямой можно получить уравнение плоскости в отрезках (рис.8.2):

. (8.6)

Рис 8.2

где - отрезки, которые отсекает плоскость от координатных осей , и соответственно (рис. 8.2), могут быть меньше нуля.

Уравнение плоскости, проходящей через три различные точки

Даны три точки: , , .

Чтобы произвольная точка пространства принадлежала плоскости, т.е. , необходимо и достаточно, чтобы

 

 

Рис. 8.3

векторы были компланарны (рис. 8.3), следовательно, смешанное произведение векторов должно равняться нулю . Записывая данное равенство в координатной форме получим уравнение плоскости проходящей через три точки:

(8.7)

Уравнение плоскости через точки и направляющие вектора

Для того, чтобы записать уравнение плоскости, проходящей через заданную точку и два направляющих вектора плоскости , воспользуемся условием…      

Нормированное уравнение плоскости

Рис. 8.5 Координаты вектора , очевидно тогда и только тогда, когда , следовательно, должно выполняться равенство , отсюда…

Угол между двумя плоскостями. Условия параллельности

И перпендикулярности плоскостей

Пусть даны две плоскости: и , где - угол между нормальными векторами плоскостей, тогда .

Если то и .

Если то и .

Лекция 9

Уравнение прямой в пространстве. Прямая и плоскость в пространстве, разные задачи

Цель: изучить уравнения прямой в пространстве и их характеристики, методы определения взаимного расположения прямой и плоскости.

Прямая как пересечение двух плоскостей

Прямую в пространстве можно задать как пересечение двух непараллельных плоскостей (рис.9.1)

(9.1)

 

Рис. 9.1

Каноническое уравнение прямой

Рис. 9.2 Возьмем произвольную точку пространства лежащую на прямой , построенный на точках вектор будет параллелен…

Уравнение прямой, проходящей через две различные точки

Пусть даны две точки в пространстве: и .

Произвольная точка тогда и только тогда, когда (рис. 9.3) (или можно воспользоваться каноническим видом (9.2)).

Рис. 9.3

Условие коллинеарности векторов в координатной форме дадут уравнение:

(9.3)

- уравнение прямой, проходящей через две точки.

Параметрическое уравнение прямой в пространстве

Возьмем каноническое уравнение прямой и приравняем его к произвольному параметру : .

Раскрывая пропорции, получим параметрическое уравнение прямой в пространстве

(9.4)

Если принять параметр за время, отсчитываемое от некоторого начального момента, то параметрические уравнения определяют закон движения материальной точки по прямой линии с постоянной скоростью (такое движение происходит по инерции).

Угол между прямыми в пространстве. Условия параллельности и перпендикулярности прямых плоскостей и

, - направляющий вектор , , - направляющий вектор . Тогда .

Условие принадлежности двух прямых к одной плоскости

Для того, чтобы прямые принадлежали плоскости , необходимо и достаточно, чтобы , , были компланарны (рис. 9.4) , т. е. , .

Угол между прямой и плоскостью. Условие параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости

(9.5) Рис. 9.5

Лекция 10

Матрицы и действия над ними

Определение: Система действительных или комплексных чисел (или функций) записанная в виде прямоугольной таблицы называется матрицей содержащая… Матрицу записывают в виде: или

Свойства суммы матриц

1) (коммутативность);

2)(ассоциативность).

Определение. Произведением матрицы на число l, называется матрица , элементы которой определяются по формуле:

(10.2)

( .).

Свойства умножения матрицы на число

2)дистрибутивность относительно суммы матриц; 3)ассоциативность относительно числового множителя; 4);

Свойства произведения матриц

2)дистрибутивность относительно суммы матриц; 3); Замечание: Если матрицы и обладают тем свойством, что , то такие матрицы называются коммутирующими.

Свойства нулевой и единичной матриц

2) для любой ; 3) для любой . Определение.Если ненулевая матрица, то матрица называется транспонированной по отношению к матрице ,

Свойства операции транспонирования матриц

1);

2);

3) .

Определение.Действительная квадратная матрица , удовлетворяющая условию , называется ортогональной матрицей, .

Определение. Следом – квадратной матрицы называется сумма всех её диагональных элементов: .

Лекция 11

Определители: вычисление и свойства

Всякую квадратную матрицу можно охарактеризовать числом, которое называется определитель или детерминант и может обозначаться одним из следующих… Прежде чем вычислять определитель введем в рассмотрение следующие… Определение. Минором произвольного элемента матрицы размерности называется определитель порядка , полученный из…

Правила для вычисления определителя 3-го порядка

т.е. дописываем первые два столбца определителя матрицы. Далее суммируем… 2. Правило треугольника.

Свойства определителя

Свойство 1. Равноправность строк и столбцов. Определитель не меняет своего значения при замене всех его строк соответствующими столбцами (11.4) Т.е. .

Свойство 5. Если к элементам некоторой строки (столбца) определителя прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на произвольный множитель , то величина определителя не изменится.

Свойство 6. Определитель треугольной матрицы равен произведению диагональных элементов.

=.

нижний треугольный верхний треугольный

определитель определитель

Определение. Минором -ого порядка матрицы называется детерминант матрицы порядка , образованный элементами, стоящими на пересечении выбранных строк и столбцов. Каждая матрица имеет столько миноров данного порядка, сколькими способами можно выбрать номера строк и столбцов. Если матрица квадратная, то каждому минору – ого порядка сопоставляется дополнительный минор, который по определению есть определитель матрицы порядка (), составленный из элементов, оставшихся после вычеркивания строк и столбцов.

Лекция 12

Линейные комбинации строк и столбцов. Базисные строки и столбцы. Линейная независимость. Ранг матрицы. Вычисление ранга.

В теме «матрицы и действия над ними» мы ввели понятия матрицы строки и матрицы столбца, Определение. Столбец назовем линейной комбинацией столбцов одинаковой высоты,… (12.1)

Пример: Столбцы

,

являются линейно зависимыми, т.к. существуют такие числа, и , при которых линейная комбинация данных векторов обращается в нуль:

Свойства линейно зависимых строк и столбцов:

1) Система, содержащая нулевой столбец (строку), является линейно зависимой.

2) Система из столбцов (строк) линейно зависима тогда и только тогда, когда хотя бы один из столбцов (строк) раскладывается в линейную комбинацию остальных столбцов (строк) системы.

3) Если система столбцов (строк) содержит линейно зависимую подсистему, то она также линейно зависима.

4) Любая подсистема линейно независимых столбцов (строк) также линейно независима.

Ранг матрицы

В матрице может быть несколько базисных миноров, но все они одного порядка. Определение. Столбцы и строки стоящие на пересечении в базисном миноре… Определение. Рангом матрицы (обозначается ) называется порядок базисного минора, или самый большой порядок для…

Метод окаймляющих миноров.

Пример: Вычислить ранг матрицы Решение: Вычислим минор порядка , стоящий на пересечении первых двух строк и… Данный минор равен нулю, выбираем следующий минор порядка . .

Метод элементарных преобразований матрицы.

Доказательство: 1. При умножении строки на число базисный минор либо не измениться, либо… 2. Если все миноры порядка равны нулю, то сложение строк не сделает их отличными от нуля, значит ранг матрицы не…

Метод нулей и единиц

Элементарными преобразованиями матрицу можно привести к виду, когда ее строки будут содержать нули и не более одной единицы. Т.е. часть строк и столбцов представляют собой единичную матрицу (остальные содержат только нули). Тогда ранг матрицы равен количеству единиц.

В данных преобразованиях (. и .) Ненулевые строки и столбцы есть базисные строки и столбцы. Минор построенный на данных строках и столбцах является базисным минором.

Свойства ранга матрицы.

. 2При умножении произвольной матрицы слева или справа на невырожденную матрицу… Теорема: (о базисном миноре) В произвольной матрице каждый столбец является линейной комбинацией базисных столбцов, а…

Лекция 13

Линейные пространства.

Определение.Множество элементов x, y, z,.,.. любой природы называется линейным пространством, если выполнены следующие два правила: 1) существует… 2) существует правило, по которому любому и для любого - вещественного числа,… Указанные 2-е операции подчинены следующим аксиомам (- любой):

Примеры конкретных линейных пространств.

1. – -мерное координатное пространство или совокупность строк содержащих – вещественных чисел. Операция сложения и умножения на число определены следующим образом:

а);

б).

Аксиомы 1-8 проверяются элементарно.

2.Множество всех положительных вещественных чисел. Под суммой [x+y]=x*y (будем понимать произведение), а под умножением [λ*x]=x^λ, тогда нулевым элементом множества будет являться 1, а противоположным x, , тогда аксиомы 1-8 легко проверяются.

3.Множество всех положительных вещественных чисел , где сумма и умножение на число определяются стандартным образом [x+y]=x+y, [λx]= λx не является линейным пространством.

4.Аналогично множество всех многочленов степени не является линейным пространством, т. к. сумма может оказаться степени < .

Определение. Линейной комбинацией элементов пространства называются выражения вида , где , говорят что - линейно зависимы, если , такие что , а .

- неявляющиеся линейно зависимыми называют линейно независимыми.

Определение.Совокупность линейно независимых элементов пространства называется базисом этого пространства, если для существуют (вещественные числа), такие, что справедливо равенство , где - координаты (коэффициенты) в базисе пространства .

Теорема.При сложении любых двух элементов линейного пространства их координаты (относительно любого базиса) складываются; при умножении произвольного элемента на любые числа α все координаты этого элемента умножаются на α.

Доказательство. Пусть базис ,

и - два элемента .

Тогда в силу аксиом 1-8 ,

.

Определение.Линейное пространство называется n-мерным, если в нем существует n-линейно независимых элементов, а любые () элементы уже являются линейно зависимыми, – называют размерностью и обозначают . Линейное пространство называют бесконечномерным, если в нем существует любое число линейно независимых элементов.

Теорема. Если , то любые - линейно независимых элементов этого пространства образуют базис.

Если линейное пространство имеет базис, состоящий из элементов, следовательно, .

Определение (понятие линейного подпространства). Подмножество и удовлетворяющее условиям:

1. если , то ;

2. если ;

называется линейным подпространством (или просто подпространством) пространства R.

Определение. Линейной оболочкой элементов называется совокупность всех линейных комбинаций этих элементов, т. е. множество элементов вида , где (любые действительные числа), линейную оболочку принято обозначать как , ясно, что . равна максимальному числу линейно независимых элементов (которые составляют базис линейной оболочки).

Определение (новое определение ранга матрицы). Ранг произвольной матрицы равен максимальному числу линейно независимых строк (или столбцов) этой матрицы.

Преобразование координат при преобразовании базиса n-мерного линейного пространства

или , Умножим каждое уравнение системы на алгебраические дополнения элементов j-го… , , для ,

Евклидово пространство.

Введем понятия длины и угла с помощью скалярного произведения. Определение. Вещественное линейное пространство называется евклидовым, если в… 1) ;

Ортонормированный базис.

Утверждение. Ортонормированная система векторов линейно независима. Док-во. Пусть нам дана ортонормированная система векторов. Рассмотрим ее… Т.о. каждая равная нулю линейная комбинация векторов необходимо тривиальна.

Лекция 14.

Системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ).

Систему уравнений вида (14.1) называют системой m линейных алгебраических уравнений с неизвестными . Коэффициенты называются коэффициентами системы…

Лекция 15

Обратная матрица, матричный метод решения системы. Общее решение системы.

Определение. Квадратная матрица называется обратной к матрице , если (15.1) , - единичная матрица. - является единственной для .

Свойства обратной матрицы

1) ;

2) ;

3) если - неособенные матрицы одного порядка.

Определение.Действительная квадратная матрица , удовлетворяющая условию , называется ортогональной матрицей, .

Определение. Следом – квадратной матрицы называется сумма всех её диагональных элементов: .

Матричный метод решения СЛАУ.

(15.3) Где - обратная к основной матрице системы, вычисляемая по формуле . Совместность однородной и неоднородной СЛАУ.

Лекция 16.

Понятие линейного оператора. Основные свойства. Собственные числа и собственные векторы. Квадратичные формы.

Цель: Изучить понятия линейного оператора и его собственных чисел и собственных векторов, методы их нахождения.

Определение. Пусть и – линейные пространства размерности и соответственно, – будем называть оператором, действующим из и

, или , говорят что y – образ элемента x, а x – прообраз y.

Определение. Оператор , действующий из в называется линейным, если для и выполняются соотношения:

1. .

2. .

Если (комплексная плоскость), то – называют линейным функционалом. Если совпадает с , то – называют линейным преобразованием пространства.

Определение.Произведение λ на называется оператор λA определяемый равенством . , где нулевой оператор,

, противоположный оператор. - I – тождественный или единичный оператор.

Определение.Произведением оператора на называется оператор, для которого верны следующие соотношения :

1);

2);

3);

4);

5).

Определение.Операторназывается обратным для если, , обозначают .

Определение. Ядром линейного оператора называется множество всех элементов пространства , для которых : .

Определение.Образом линейного оператора называется множество элементов таких что : .

Определение.Рангом линейного оператора называется число равное .

Теорема. Пусть и пусть , тогда .

Матричная запись линейных операторов.

Фиксируем в линейном пространстве базис пусть – произвольный элемент и (разложение по базису ).

Пусть – линейный оператор . Тогда имеем ,

…,. . Пусть образы базисных векторов, тогда , т. е. , j=1,…,n, .

Рассмотрим матрицу линейного оператора в заданном базисе , это матрица столбцами которой являются координаты базисных векторов . Причем единственный линейный оператор , матрицей которого в заданном базисе будет матрица .

, - оператор.

При этом соотношения , , с одной стороны связывают образ с координатами прообраза , с другой стороны, описывают действие линейного оператора заданного матрицей A. При изменении базиса матрица линейного оператора A также изменится.

Пусть задан базис в пространстве и - новый базис, а U – матрица перехода от базиса , тогда матрица линейного оператора в двух базисах связаны следующим соотношением: , т. к. , и , .

Определение. Число λ называется собственным значением если существует ненулевой вектор такой, что , при этом называется собственным вектором оператора . Т.к. , , тогда чтобы однородная система имела ненулевое решение необходимо и достаточно, чтобы . Многочлен называется характеристическим многочленом .

Чтобы найти собственные числа нужно решить уравнение .

Чтобы найти собственный вектор , соответствующий собственному числу необходимо решить систему .

Свойства собственных значений и собственных чисел.

2. Собственные числа и векторы не всегда вещественные. 3. У симметричной матрицы собственные числа всегда вещественны. 4. Собственные векторы соответствующие собственным значениям различные линейно независимы.

Свойство самосопряженного линейного оператора

1. Собственные значения самосопряженного оператора вещественны.

2. Если A – самосопряженный оператор, то собственные векторы, отвечающие различным собственным значениям этого оператора ортогональны.

Определение. Квадратичной формой называется однородный многочлен второй степени относительно n переменных . Квадратичную форму всегда можно представить в виде:, (), где - симметрическая матрица (т.е. ).

Если – вещественная симметричная матрица, то форма называется вещественной, – самосопряженная.

В дальнейшем будем рассматривать вещественные квадратичные формы.

Теорема. Для каждой квадратичной формы существует базис, в котором она имеет канонический вид (т.е. представляет сумму квадратов) или такой вид в котором матрица квадратичной формы имеет диагональный вид.

Лекция 17

Кривые второго порядка

Определение. Окружность – это геометрическое место точек равноудаленных от некоторой фиксированной точки называемой центром окружности (рис.17.1). … (17.1) если центр перенесен в точку с координатами , то

Лекция 18

Приведение кривой 2-го порядка к каноническому виду.

1) Выделим квадратичную форму ; Приведем её к каноническому виду, для этого найдем собственные значения

Поверхности второго порядка

. Поверхность называется плоскостью вращения с осью , если она составлена из окружностей, которые имеют центры на прямой и лежат в плоскостях,… Эллипсоиды. Рассматриваем поверхности, которые получаются при вращении эллипса…

Приведение кривой 2-го порядка к каноническому виду.

1) Выделим квадратичную формулу ; Приведем её к каноническому виду, для этого найдем собственные значения