Теорема. - раздел Математика, КОНСПЕКТЫ ЛЕКЦИЙ Аналитическая геометрия и алгебра 1. Если Хотя Бы Один Из Векторов ...
1. Если хотя бы один из векторов , является нулевым, то эти векторы линейно зависимы.
2. Любые два коллинеарных вектора линейно зависимы, и наоборот, два линейно зависимых вектора коллинеарные.
3. Каждые три компланарных вектора линейно зависимы, и наоборот, три линейно зависимых вектора компланарны.
4. Каждые четыре вектора линейно зависимы.
Доказательство. (Приведем доказательство 1–го и 2–го утверждений теоремы, остальные доказываются аналогично).
1. Поскольку среди векторов есть нулевой, значит, в их линейной комбинации перед нулевым вектором может стоять любой ненулевой элемент, а перед остальными векторами будут стоять нулевые элементы, это и означает линейную зависимость векторов.
2. Докажем, что если два вектора коллинеарны, то они линейно зависимы. Если хотя бы один из векторов нулевой, то они линейно зависимы в силу предыдущего утверждения теоремы.
Если оба вектора ненулевые, то из свойства коллинеарности векторов следует, что существует действительное число такое, что или , поскольку и отличны от нуля и линейно зависимы.
Докажем теперь, что два линейно зависимых вектора - и коллинеарны. Поскольку и линейно зависимы, следовательно, по определению, существуют действительные числа и , хотя бы одно из них отлично от нуля, такие, что , пусть , тогда , пусть , имеем , согласно свойству произведения вектора на число, это и означает коллинеарность векторов и .
Базис.
Определение.Базисом на прямой называется любой ненулевой вектор лежащий на этой прямой или коллинеарный с ней.
Определение. Базисом на плоскости называются два неколлинеарных вектора лежащих на этой плоскости или параллельных ей, взятые в определенном порядке.
Определение.Базисом в пространстве называют три некомпланарных вектора, взятых в определенном порядке.
Определение. Говорят, что три линейно независимых вектора образуют базис в пространстве , если каждый вектор этого пространства можно представить как линейную комбинацию этих векторов, т.е. . Числа называются координатами вектора в базисе и вектор обычно записывают как .
Выражение называется линейной комбинацией вектора или разложением по базису.
Запись называется координатной формой записи вектора.
Равные векторы в одном базисе имеют равные компоненты.
При умножении вектора на число каждая его координата умножается на это число, т.е. если , то =.
При сложении двух векторов их координаты, стоящие перед соответствующими базисными векторами, складываются, т.е. =.
Утверждение. Любые три некомпланарных вектора, взятые в определенном порядке, образуют базис пространства.
Любые два неколлинеарных вектора на плоскости, взятые в определенном порядке, образуют базис на этой плоскости.
Любой ненулевой вектор, лежащий на прямой, образует базис на этой прямой.
И . Системы координат: декартовая, полярная.
Цель: Изучить понятие конечной суммы и ее свойства, понятие определителя и простейшие методы его вычисления. Знать декартовую и полярную системы координат.
В математике часто рассматривают
Вычисление определителя
Определитель (детерминант) матрицы – это число, (обозначаемое , ∆, ) которое
Системы координат
1. Декартова система координат.
Рис.1.1
Возьмем в пространстве произвольную точку
Теорема.
1. Каждый вектор, параллельный какой-либо прямой, может быть разложен по базису на этой прямой.
2. Каждый вектор, параллельный какой-либо плоскости, может быть разложен по базису на этой п
Уравнение плоскости через точки и направляющие вектора
Определение: Два произвольных неколлинеарных вектора, лежащих в указанной плоскости или параллельных ей, называются направляющими векторами данной плоскости.
Для того, что
Матрицы и действия над ними
Цель: Изучить понятие матрицы, виды матриц, основные понятия, действия над матрицами и их свойства.
Определение: Система действительных или комплексных чисел (или функций)
Определители: вычисление и свойства
Цель: Изучить основные понятия темя, методы вычисления определителя, знать и уметь применять его свойства.
Всякую квадратную матрицу можно охарактеризовать числом, которое называется опред
Свойства определителя
Все свойства определителя следуют из определения определителя и свойств конечных сумм, приводятся без общих доказательств с демонстрацией на примере определителей 2-го и 3-го порядков.
Евклидово пространство.
Введенные нами линейные пространства существенно отличаются от множества векторов обычного геометрического тем, что в линейном пространстве не определены понятия длины вектора и угла между ними.
Ортонормированный базис.
Определение.Систему векторов в евклидовом пространстве назовем ортонормированной, если
Матричный метод решения СЛАУ.
Если определитель основной матрицы системы отличен от нуля, то ее решение определяется формулой:
(15.3)
Где
Свойства собственных значений и собственных чисел.
1. Каждый линейный оператор имеет собственное значение.
2. Собственные числа и векторы не всегда вещественные.
3. У симметричной матрицы собственные числа всегда вещественны.
Кривые второго порядка
Цель: Изучить канонические уравнения линий второго порядка, их основные характеристики.
Определение. Окружность – это геометрическое место точек равноудаленных от некоторо
Поверхности второго порядка
Поверхности второго порядка определяются уравнением второй степени. Рассмотрим вращение линий второго порядка вокруг их осей симметрии.
. Поверхность
Новости и инфо для студентов