Проекция вектора и ее свойства. Деление отрезка в заданном отношении. Скалярное произведение векторов

Все темы данного раздела:

И . Системы координат: декартовая, полярная.
Цель: Изучить понятие конечной суммы и ее свойства, понятие определителя и простейшие методы его вычисления. Знать декартовую и полярную системы координат. В математике часто рассматривают

Вычисление определителя
Определитель (детерминант) матрицы – это число, (обозначаемое , ∆, ) которое

Системы координат
1. Декартова система координат.     Рис.1.1 Возьмем в пространстве произвольную точку

Комплексные числа и действия над ними
Определение.Комплексным числом называется выражение вида

Геометрический смысл комплексного числа
Комплексное число изображается в плоскости точкой

Действия над комплексными числами, заданными в тригонометрической или в показательной форме
1.Умножение: При умножении двух комплексных чисел заданных в тригонометрической или показательной формах их модули перемножаются, а аргументы складываются:

Понятие многочлена, корни многочленов, кратность корня, основные теоремы алгебры, следствия из теорем.
3.Возведение в степень. Для возведения комплексного числа в целую положительную степень применяют формулу Муавра:

Свойства умножения вектора на число
1. Для любых действительных чисел и любого вектора верно равенство

Свойства линейной комбинации
1. Если – параллельны, то каждая их линейная комбинация параллельна им. 2. Если

Теорема.
1. Если хотя бы один из векторов , является нулевым, то эти векторы линейно зависимы. 2. Любые два коллинеарных вектора линейно зав

Теорема.
1. Каждый вектор, параллельный какой-либо прямой, может быть разложен по базису на этой прямой. 2. Каждый вектор, параллельный какой-либо плоскости, может быть разложен по базису на этой п

Свойства проекции
1) Проекция суммы векторов равна сумме проекций составляющих (рис. 5.2).    

Свойства скалярного произведения
1) (коммутативность). Непосредственно следует из коммутативности произведения чисел; 2)

Свойства векторного произведения
1) (антикоммутативность) Свойство следует из перемены ориентации векторов; 2) Скалярный множитель можно вынести за

Геометрический смысл векторного произведения
Поскольку , то значение длины векторного произведения совпадает с значением площади параллелограмма, построенного на векторах

Смешанное произведение
Определение. Под смешанным произведением векторов подразумевают число обозначаемое

Свойства смешанного произведения
1) , данное свойство позволяет записывать смешанное произведение в виде . Действи

Аналитическая геометрия на плоскости. Алгебраические линии и плоскости. Уравнения прямой на плоскости.
Цель: Изучить понятия алгебраической линии и алгебраической поверхности, виды уравнений прямой на плоскости и их основные характеристики. Определение. Уравнение

Уравнение прямой через заданную точку и вектор нормали
Определение: Всякий ненулевой вектор ортогональный прямой, с координатами

Неполные уравнения прямой
Если и , то уравнение называется полным, рассмотрим неполные уравне

Уравнение прямой с угловым коэффициентом
Из общего уравнения , выразим Обозначим

Нормированное уравнение прямой
Пусть - единичная нормаль заданной прямой , т.е. . Возьмем на прямой произвольную

Условия параллельности и ортогональности прямых, угол между прямыми, пучок прямых. Уравнения плоскости в пространстве.
Цель: Изучить условия расположения прямых на плоскости, метод вычисления угла между прямыми. Изучить уравнения плоскости в пространстве и основные характеристики. Расположение прямых на пл

Расстояние от точки до прямой
Выразим расстояние от произвольной точки на плоскости до прямой :

Уравнение плоскости проходящей через точку и вектор нормали
Определение: Всякий ненулевой вектор ортогональный плоскости, с координатами

Неполные уравнения плоскости
– называется полным, если , рассмотрим различные неполные уравнения плоско

Уравнение плоскости через точки и направляющие вектора
Определение: Два произвольных неколлинеарных вектора, лежащих в указанной плоскости или параллельных ей, называются направляющими векторами данной плоскости. Для того, что

Нормированное уравнение плоскости
Пусть дана – единичная нормаль и расстояние от точки до начала координат

Каноническое уравнение прямой
Ненулевой вектор параллельный заданной прямой будем называть направляющим

Угол между прямыми в пространстве. Условия параллельности и перпендикулярности прямых плоскостей и
Пусть даны две прямые, заданные каноническими уравнениями: , - направляю

Условие принадлежности двух прямых к одной плоскости
Прямые в пространстве могут быть: 1) Параллельными 2) Пересекающимися   3) Скрещивающимися

Угол между прямой и плоскостью. Условие параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости
Пусть даны плоскость , и прямая (рис 9.5)

Матрицы и действия над ними
Цель: Изучить понятие матрицы, виды матриц, основные понятия, действия над матрицами и их свойства. Определение: Система действительных или комплексных чисел (или функций)

Свойства умножения матрицы на число
1) дистрибутивность относительно суммы числовых множителей; 2)

Свойства произведения матриц
1) (антикоммутативность); 2)дис

Свойства нулевой и единичной матриц
1) для любой ; 2)

Определители: вычисление и свойства
Цель: Изучить основные понятия темя, методы вычисления определителя, знать и уметь применять его свойства. Всякую квадратную матрицу можно охарактеризовать числом, которое называется опред

Правила для вычисления определителя 3-го порядка
1. Правило параллельного переноса.

Свойства определителя
Все свойства определителя следуют из определения определителя и свойств конечных сумм, приводятся без общих доказательств с демонстрацией на примере определителей 2-го и 3-го порядков.

Линейные комбинации строк и столбцов. Базисные строки и столбцы. Линейная независимость. Ранг матрицы. Вычисление ранга.
Цель: изучить понятие линейной комбинации и линейной независимости строк и столбцов матрицы, методы вычисления ранга и определения базисного минора. В теме «матрицы и действия над ними» мы

Ранг матрицы
Определение. В матрице , минор порядка называется базисным миноро

Метод окаймляющих миноров.
Суть метода заключается в последовательном вычислении миноров по возрастанию их порядка. Пример: Вычислить ранг матрицы

Метод элементарных преобразований матрицы.
Теорема. Элементарные преобразования не меняют ранга матрицы. Доказательство: 1. При умножении строки на число

Свойства ранга матрицы.
1Ранг произведения двух матриц не превосходит ранга сомножителей: . 2При умножении прои

Линейные пространства.
Цель: ознакомится с понятие пространства, базиса, размерности, преобразованием координат. Определение.Множество э

Преобразование координат при преобразовании базиса n-мерного линейного пространства
Пусть и - два произвольных базиса

Евклидово пространство.
Введенные нами линейные пространства существенно отличаются от множества векторов обычного геометрического тем, что в линейном пространстве не определены понятия длины вектора и угла между ними.

Ортонормированный базис.
Определение.Систему векторов в евклидовом пространстве назовем ортонормированной, если

Системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ).
Цель: Изучить основные понятия СЛАУ, методы определения количества решений и нахождения последних. Систему уравнений вида

Обратная матрица, матричный метод решения системы. Общее решение системы.
Цель: изучить понятие обратной матрицы, ее свойства и метод вычисления. Изучить матричный метод решения СЛАУ. Определение. Квадратная матрица

Матричный метод решения СЛАУ.
Если определитель основной матрицы системы отличен от нуля, то ее решение определяется формулой: (15.3) Где

Свойства собственных значений и собственных чисел.
1. Каждый линейный оператор имеет собственное значение. 2. Собственные числа и векторы не всегда вещественные. 3. У симметричной матрицы собственные числа всегда вещественны.

Кривые второго порядка
Цель: Изучить канонические уравнения линий второго порядка, их основные характеристики. Определение. Окружность – это геометрическое место точек равноудаленных от некоторо

Приведение кривой 2-го порядка к каноническому виду.
Рассмотрим общее уравнение кривой 2-го порядка в евклидовом пространстве, с ортонормированным базисом ,

Поверхности второго порядка
Поверхности второго порядка определяются уравнением второй степени. Рассмотрим вращение линий второго порядка вокруг их осей симметрии. . Поверхность

Приведение кривой 2-го порядка к каноническому виду.
Рассмотрим общее уравнение кривой 2-го порядка в евклидовом пространстве, с ортонормированным базисом ,