Системы координат - раздел Математика, КОНСПЕКТЫ ЛЕКЦИЙ Аналитическая геометрия и алгебра 1. Декартова Систем...
1. Декартова система координат.
Рис.1.1
Возьмем в пространстве произвольную точку и рассмотрим некоторую точку . Соединив эти точки мы получим вектор, который называется радиус-вектором точки по отношению к точке . Если в пространстве выбрать какой-либо базис (рис 1.1), то точке можно поставить в соответствие упорядоченную тройку чисел – компоненты ее радиус-вектора.
Определение: Декартовой системой координат в пространстве называется совокупность точки и базиса. Итак, рассматриваем три взаимно ортогональные оси в трехмерном пространстве, исходящие из общей точки (начала координат и образующие правую тройку).
Рис.1.2.
Оси , , называются осями координат: абсцисса, ордината и аппликата. Плоскости , , называются координатными плоскостями, которые делят все пространство на октаны. Мы рассматриваем радиус-вектор точки .
Определение: Под декартовыми прямоугольными координатами точки понимаются проекции ее радиус-вектора на соответствующие оси координат, т.е. , , (рис.1.2.). Для краткости их просто называют прямоугольными координатами.
Легко видеть, что при заданной системе координат координаты точки определены однозначно. И наоборот, каждая упорядоченная тройка чисел определяет единственным образом точку в пространстве.
Радиус-вектор является диагональю параллелепипеда. Поэтому
(1.1)
Если обозначить через углы, образованные радиус-вектором с координатными осями (рис.1.2.), то будем иметь:
(1.2)
Эти косинусы называются направляющими косинусами радиус-вектора точки . Из (2), учитывая (1), получаем важное соотношение:
(1.3)
т.е. сумма квадратов направляющих косинусов радиус-вектора точки пространства равна единице.
Из формулы (2) следует, что координата точки положительна, если радиус-вектор этой точки образует с осью острый угол, и отрицательна, если этот угол тупой.
Измерения параллелепипеда равны расстояниям точки соответственно от координатных плоскостей , , .
Определение: Декартовые прямоугольные координаты точки пространства представляют собой расстояния от этой точки до координаты плоскостей, взятые с надлежащим знаком.
Кроме прямоугольной декартовой системы координат используют полярную систему координат. Эта система определена на плоскости, если существует точка , называемая полюсом и исходящий из этого полюса луч , который называется полярной осью.
Рис.1.3.
В данной системе положение точки фиксируется двумя числами: радиус-вектором точки и углом между полярной осью и вектором , т.е.
Угол называется полярным, отсчитывается от полярной оси в направлении против часовой стрелки. У плюса точки , а угол не определен. У всех остальных точек и изменяется в пределах от до , измеряется в радианах.
Если мы поместим полярную систему координат полюсом в начало прямоугольной декартовой системы координат, то декартовы координаты будут выражаться через полярные по формулам:
(1.4)
Полярные координаты через декартовые выражаются соотношениями:
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ... Федеральное государственное автономное образовательное учреждение...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:
Системы координат
Что будем делать с полученным материалом:
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
И . Системы координат: декартовая, полярная.
Цель: Изучить понятие конечной суммы и ее свойства, понятие определителя и простейшие методы его вычисления. Знать декартовую и полярную системы координат.
В математике часто рассматривают
Вычисление определителя
Определитель (детерминант) матрицы – это число, (обозначаемое , ∆, ) которое
Теорема.
1. Если хотя бы один из векторов , является нулевым, то эти векторы линейно зависимы.
2. Любые два коллинеарных вектора линейно зав
Теорема.
1. Каждый вектор, параллельный какой-либо прямой, может быть разложен по базису на этой прямой.
2. Каждый вектор, параллельный какой-либо плоскости, может быть разложен по базису на этой п
Уравнение плоскости через точки и направляющие вектора
Определение: Два произвольных неколлинеарных вектора, лежащих в указанной плоскости или параллельных ей, называются направляющими векторами данной плоскости.
Для того, что
Матрицы и действия над ними
Цель: Изучить понятие матрицы, виды матриц, основные понятия, действия над матрицами и их свойства.
Определение: Система действительных или комплексных чисел (или функций)
Определители: вычисление и свойства
Цель: Изучить основные понятия темя, методы вычисления определителя, знать и уметь применять его свойства.
Всякую квадратную матрицу можно охарактеризовать числом, которое называется опред
Свойства определителя
Все свойства определителя следуют из определения определителя и свойств конечных сумм, приводятся без общих доказательств с демонстрацией на примере определителей 2-го и 3-го порядков.
Евклидово пространство.
Введенные нами линейные пространства существенно отличаются от множества векторов обычного геометрического тем, что в линейном пространстве не определены понятия длины вектора и угла между ними.
Ортонормированный базис.
Определение.Систему векторов в евклидовом пространстве назовем ортонормированной, если
Матричный метод решения СЛАУ.
Если определитель основной матрицы системы отличен от нуля, то ее решение определяется формулой:
(15.3)
Где
Свойства собственных значений и собственных чисел.
1. Каждый линейный оператор имеет собственное значение.
2. Собственные числа и векторы не всегда вещественные.
3. У симметричной матрицы собственные числа всегда вещественны.
Кривые второго порядка
Цель: Изучить канонические уравнения линий второго порядка, их основные характеристики.
Определение. Окружность – это геометрическое место точек равноудаленных от некоторо
Поверхности второго порядка
Поверхности второго порядка определяются уравнением второй степени. Рассмотрим вращение линий второго порядка вокруг их осей симметрии.
. Поверхность
Новости и инфо для студентов