Угол между прямой и плоскостью. Условие параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости
Угол между прямой и плоскостью. Условие параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости - раздел Математика, КОНСПЕКТЫ ЛЕКЦИЙ Аналитическая геометрия и алгебра Пусть Даны Плоскость ...
Пусть даны плоскость , и прямая (рис 9.5) – угол между прямой и плоскостью . Определим его значение. Т. к. , и . Мы получили, что угол между прямой и плоскостью можно вычислить по формуле:
(9.5)
Рис. 9.5
Подставляя координаты векторов получим выражение .
Если прямая параллельна плоскости, , то и следовательно или .
Если прямая ортогональна плоскости , то и выполняется пропорция .
Для того чтобы прямая принадлежала плоскости необходимо, чтобы выполнялись условия:
1) , то есть ;
2) (, то есть ).
Определение.Совокупность всех прямых, проходящих через данную точку , называется связкой прямых (с центром в точке ).
Уравнение связки прямых: , где (и ).
Пример. Дано общее уравнение прямой: , нужно найти каноническое уравнение этой прямой.
Решение. , , , значит . Найдем точку, принадлежащую , полагая что , следует, , , принадлежит , следовательно, .
Некоторые задачи на прямую и плоскость в пространстве.
Задача 1.Найти условие пересечения трех плоскостей в одной и только одной точке.
Чтобы три плоскости пересекались в одной точке необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие
Задача 2.Записать уравнение прямой, проходящей через данную точку и перпендикулярную данной плоскости (рис. 9.6)
Рис. 9.6
Искомая прямая имеет вид .
Задача 3.Записать уравнение плоскости, проходящей через прямую и точку (рис. 9.7).
Рис. 9.7
1) находим нормальный вектор для нашей плоскости ;
2) используя точку и найденный нормальный вектор , записываем общее уравнение плоскости ..
Задача 4. Найти расстояние от точки до плоскости (рис 9.8) .
Поскольку расстояние от точки до плоскости есть проекция вектора соединяющего эту точку и любую точку на плоскости на нормальный вектор плоскости, поэтому ,
.
Рис. 9.8
(9.6)
Задача 5.Найти расстояние от точки до прямой (рис. 9.10).
Пусть прямая имеет вид , поскольку верна формула , т. к. расстояние от точки до прямой есть высота параллелограмма построенного на векторах, тогда .
Рис. 9.10
Задача 6.Найти расстояние между двумя скрещивающимися прямыми (рис. 9.11).
Напомним, что две прямые называются скрещивающимися, если они не принадлежат одной плоскости.
Алгоритм действий при решении данной задачи может быть следующим:
1) проверяем, являются ли прямые скрещивающимися, для этого достаточно проверить будут ли направляющие векторы прямых и вектор, соединяющий две произвольные точки, принадлежащие прямым, компланарны, т.е. . Если смешанное произведение равно нулю, то прямые не являются скрещивающимися и наоборот, если , тогда прямые скрещивающиеся;
2) расстояние между скрещивающимися прямыми равно высоте параллелепипеда построенного на векторах , находим тогда расстояние можно вычислить по формуле: .
И . Системы координат: декартовая, полярная.
Цель: Изучить понятие конечной суммы и ее свойства, понятие определителя и простейшие методы его вычисления. Знать декартовую и полярную системы координат.
В математике часто рассматривают
Вычисление определителя
Определитель (детерминант) матрицы – это число, (обозначаемое , ∆, ) которое
Системы координат
1. Декартова система координат.
Рис.1.1
Возьмем в пространстве произвольную точку
Теорема.
1. Если хотя бы один из векторов , является нулевым, то эти векторы линейно зависимы.
2. Любые два коллинеарных вектора линейно зав
Теорема.
1. Каждый вектор, параллельный какой-либо прямой, может быть разложен по базису на этой прямой.
2. Каждый вектор, параллельный какой-либо плоскости, может быть разложен по базису на этой п
Уравнение плоскости через точки и направляющие вектора
Определение: Два произвольных неколлинеарных вектора, лежащих в указанной плоскости или параллельных ей, называются направляющими векторами данной плоскости.
Для того, что
Матрицы и действия над ними
Цель: Изучить понятие матрицы, виды матриц, основные понятия, действия над матрицами и их свойства.
Определение: Система действительных или комплексных чисел (или функций)
Определители: вычисление и свойства
Цель: Изучить основные понятия темя, методы вычисления определителя, знать и уметь применять его свойства.
Всякую квадратную матрицу можно охарактеризовать числом, которое называется опред
Свойства определителя
Все свойства определителя следуют из определения определителя и свойств конечных сумм, приводятся без общих доказательств с демонстрацией на примере определителей 2-го и 3-го порядков.
Евклидово пространство.
Введенные нами линейные пространства существенно отличаются от множества векторов обычного геометрического тем, что в линейном пространстве не определены понятия длины вектора и угла между ними.
Ортонормированный базис.
Определение.Систему векторов в евклидовом пространстве назовем ортонормированной, если
Матричный метод решения СЛАУ.
Если определитель основной матрицы системы отличен от нуля, то ее решение определяется формулой:
(15.3)
Где
Свойства собственных значений и собственных чисел.
1. Каждый линейный оператор имеет собственное значение.
2. Собственные числа и векторы не всегда вещественные.
3. У симметричной матрицы собственные числа всегда вещественны.
Кривые второго порядка
Цель: Изучить канонические уравнения линий второго порядка, их основные характеристики.
Определение. Окружность – это геометрическое место точек равноудаленных от некоторо
Поверхности второго порядка
Поверхности второго порядка определяются уравнением второй степени. Рассмотрим вращение линий второго порядка вокруг их осей симметрии.
. Поверхность
Новости и инфо для студентов