Матрицы и действия над ними - раздел Математика, КОНСПЕКТЫ ЛЕКЦИЙ Аналитическая геометрия и алгебра Цель: Изучить Понятие Матрицы, Виды Матриц, Основные Понятия, Действия Над Ма...
Цель: Изучить понятие матрицы, виды матриц, основные понятия, действия над матрицами и их свойства.
Определение: Система действительных или комплексных чисел (или функций) записанная в виде прямоугольной таблицы называется матрицей содержащая некоторое количество строк и столбцов. Числа и называются порядком матрицы.
Матрицу записывают в виде:
или
Числа - называются элементами матрицы. Индексы и - указывают на место элемента в матрице: - номер строки, - номер столбца. (, ).
Для краткости матрицы иногда записывают в виде: , , .
Определение: Матрица, у которой число строк равно числу столбцов называется квадратной. Для нее вводится понятие главной и побочной диагоналей. Главная диагональ идет из левого верхнего угла в правый нижний угол. Побочная – из верхнего правого угла в левый нижний.
Виды матриц:
1. Треугольные матрицы: все элементы лежащие выше или ниже главной (побочной) диагонали равны нулю.
Нижняя треугольная верхняя треугольная
2. Диагональные матрицы: ненулевые элементы стоят только на главной диагонали. Т.е. для всех
Особое место среди диагональных матриц занимает единичная матрица:
, ее элементы
3. Симметричные матрицы: все ее элементы симметричны относительно главной диагонали.
4. Матрица, все элементы которой равны нулю называется нуль-матрицей и обозначается
Матрица размерности называется матрицей столбцом, просто столбцом или вектор столбцом.
Матрица размерности называется матрицей строкой, просто строкой или вектор строкой.
Матрица столбец - , матрица строка - .
Определение: матрицы называются равными, если они имеют одинаковые порядки и их соответствующие элементы равны: , для любых .
Операции над матрицами:
Определение.Суммой двух матриц и одинаковой размерности называется матрица той же размерности, каждый элемент которой равен
(10.1)
(), (матричная запись суммы двух матриц).
Из определения суммы матриц видим, что строки можно рассматривать как координаты векторов и соответственно производить операции над матрицами, как над векторами.
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ... Федеральное государственное автономное образовательное учреждение...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:
Матрицы и действия над ними
Что будем делать с полученным материалом:
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
И . Системы координат: декартовая, полярная.
Цель: Изучить понятие конечной суммы и ее свойства, понятие определителя и простейшие методы его вычисления. Знать декартовую и полярную системы координат.
В математике часто рассматривают
Вычисление определителя
Определитель (детерминант) матрицы – это число, (обозначаемое , ∆, ) которое
Системы координат
1. Декартова система координат.
Рис.1.1
Возьмем в пространстве произвольную точку
Теорема.
1. Если хотя бы один из векторов , является нулевым, то эти векторы линейно зависимы.
2. Любые два коллинеарных вектора линейно зав
Теорема.
1. Каждый вектор, параллельный какой-либо прямой, может быть разложен по базису на этой прямой.
2. Каждый вектор, параллельный какой-либо плоскости, может быть разложен по базису на этой п
Уравнение плоскости через точки и направляющие вектора
Определение: Два произвольных неколлинеарных вектора, лежащих в указанной плоскости или параллельных ей, называются направляющими векторами данной плоскости.
Для того, что
Определители: вычисление и свойства
Цель: Изучить основные понятия темя, методы вычисления определителя, знать и уметь применять его свойства.
Всякую квадратную матрицу можно охарактеризовать числом, которое называется опред
Свойства определителя
Все свойства определителя следуют из определения определителя и свойств конечных сумм, приводятся без общих доказательств с демонстрацией на примере определителей 2-го и 3-го порядков.
Евклидово пространство.
Введенные нами линейные пространства существенно отличаются от множества векторов обычного геометрического тем, что в линейном пространстве не определены понятия длины вектора и угла между ними.
Ортонормированный базис.
Определение.Систему векторов в евклидовом пространстве назовем ортонормированной, если
Матричный метод решения СЛАУ.
Если определитель основной матрицы системы отличен от нуля, то ее решение определяется формулой:
(15.3)
Где
Свойства собственных значений и собственных чисел.
1. Каждый линейный оператор имеет собственное значение.
2. Собственные числа и векторы не всегда вещественные.
3. У симметричной матрицы собственные числа всегда вещественны.
Кривые второго порядка
Цель: Изучить канонические уравнения линий второго порядка, их основные характеристики.
Определение. Окружность – это геометрическое место точек равноудаленных от некоторо
Поверхности второго порядка
Поверхности второго порядка определяются уравнением второй степени. Рассмотрим вращение линий второго порядка вокруг их осей симметрии.
. Поверхность
Новости и инфо для студентов