Системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). - раздел Математика, КОНСПЕКТЫ ЛЕКЦИЙ Аналитическая геометрия и алгебра Цель: Изучить Основные Понятия Слау, Методы Определения Количества Решений И ...
Цель: Изучить основные понятия СЛАУ, методы определения количества решений и нахождения последних.
Систему уравнений вида
(14.1)
называют системой m линейных алгебраических уравнений с неизвестными . Коэффициенты называются коэффициентами системы и записываются в виде матрицы:
(14.2)
числа, стоящие в правых частях уравнений (14.1), образуют матрицу вектор– столбец
(14.3)
называемую столбцом свободных членов.
Матрица системы, дополненная столбцом свободных членов, называется расширенной матрицей системы и обозначается (в данной главе)
(14.4)
Если все свободные члены системы тождественно равны нулю, то система называется однородной, в противном случае – неоднородной.
Определение.Решением СЛАУ называется такая совокупность -чисел которая при подстановке в систему вместо обращает все уравнения системы в тождества.
Прежде чем переходит к решению системы, запишем её в матричном виде. Мы уже вводили матрицу коэффициентов и матрицу – столбец свободных членов , введем матрицу – столбец неизвестных
(14.5)
Найдем произведение матрицы на столбец неизвестных :
по правилу умножения матриц данное произведение представляет собой столбец, состоящий из элементов, которые равны соответствующим левым частям уравнений системы . Из определения равенства двух столбцов следует, что система равносильна одному равенству между столбцами и . Таким образом, в матричной записи система равносильна равенству .
Системы называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если у нее нет ни одного решения.
Совместная система называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной если она имеет по крайней мере два различных решения. Приведем пример неопределенной системы.
Данная система является совместной и неопределенной, поскольку у нее имеется, по крайней мере, два различных решения:
1) ;
2) .
СЛАУ называется однородной, если правые части всех уравнений равны нулю, то есть :
Если в СЛАУ хотя бы один из свободных членов отличен от нуля: , то система называется неоднородной.
Система называется квадратной, если число уравнений равно числу неизвестных: .
Определение.Решением СЛАУ называется такая совокупность -чисел которая при подстановке в систему вместо неизвестных обращает все уравнения системы в тождества.
СЛАУ называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение.
СЛАУ называется несовместной, если у нее не существует ни одного решения.
Определение: Рангом матрицы называется наивысший порядок отличного от нуля минора, или число линейно независимых строк (столбцов) матрицы. Обозначается .
Теорема. (Кронекера-Капелли)Для того чтобы СЛАУ являлась совместной (т.е. имела решение) необходимо и достаточно, чтобы ранг расширенной матрицы этой системы был равен рангу основной матрицы системы, т. е. . Причем:
1) если система имеет единственное решение;
2) если система имеет бесконечное множество решений зависящих от свободных неизвестных.
Следствие. Если , то система несовместна (нет решений).
Решение СЛАУ размерности
1) Метод Крамера.
Рассмотрим систему из двух уравнений с двумя неизвестными:
Выразим в системе переменную избавившись от переменной .
Поделим первое уравнение на элемент и умножим полученный результат на .
,
Складываем со вторым уравнением системы и выражаем переменную .
.
В полученной дроби в числителе стоит определитель , а в знаменателе основной определитель системы .
И мы получили формулу . Аналогичными вычислениями мы получим , где .
Рассмотрим правило Крамера для системы уравнений , наложив условие линейной независимости уравнений системы.
Кроме основного определителя системы введем в рассмотрение дополнительные определители, получаемые заменой коэффициентов -го столбца столбцом свободных членов.
, ,
.
Умножим каждое уравнение системы на алгебраические дополнения первого столбца и сложим левые и правые части полученных равенств:
.
Используя следствие свойства определителей получаем:
или .
Поступая аналогичным образом получим следующие формулы Крамера для определения неизвестных системы:
, , .
Теорема (формулы Крамера): Система из n уравнений с n неизвестными
в случае, когда определитель системы отличен от нуля , имеет единственное решение определяемое формулами:
(14.6)
(для всех ), где через обозначен определитель основной матрицы системы, а - дополнительные определители, получаемые из Δ заменой -го столбца столбцом свободных членов, т.е.
(14.7)
2) Метод Гаусса.
Метод Гаусса относится к наиболее эффективным методам решения СЛАУ. Этим методом решаются как квадратные, так и прямоугольные системы линейных уравнений. В основе метода Гаусса лежат прямой и обратный ход. Прямым ходом расширенную матрицу системы элементарными преобразованиями сводят к треугольному виду. Обратным ходом находят неизвестные величины.
К элементарным преобразованиям относится:
1. Перестановка двух любых уравнений системы;
2. Умножение любого уравнения системы на произвольное, отличное от нуля, число;
3. Прибавление к произвольному уравнению системы любого другого уравнения, умноженного на произвольное число.
Методом Гаусса можно решать и прямоугольные системы.
И . Системы координат: декартовая, полярная.
Цель: Изучить понятие конечной суммы и ее свойства, понятие определителя и простейшие методы его вычисления. Знать декартовую и полярную системы координат.
В математике часто рассматривают
Вычисление определителя
Определитель (детерминант) матрицы – это число, (обозначаемое , ∆, ) которое
Системы координат
1. Декартова система координат.
Рис.1.1
Возьмем в пространстве произвольную точку
Теорема.
1. Если хотя бы один из векторов , является нулевым, то эти векторы линейно зависимы.
2. Любые два коллинеарных вектора линейно зав
Теорема.
1. Каждый вектор, параллельный какой-либо прямой, может быть разложен по базису на этой прямой.
2. Каждый вектор, параллельный какой-либо плоскости, может быть разложен по базису на этой п
Уравнение плоскости через точки и направляющие вектора
Определение: Два произвольных неколлинеарных вектора, лежащих в указанной плоскости или параллельных ей, называются направляющими векторами данной плоскости.
Для того, что
Матрицы и действия над ними
Цель: Изучить понятие матрицы, виды матриц, основные понятия, действия над матрицами и их свойства.
Определение: Система действительных или комплексных чисел (или функций)
Определители: вычисление и свойства
Цель: Изучить основные понятия темя, методы вычисления определителя, знать и уметь применять его свойства.
Всякую квадратную матрицу можно охарактеризовать числом, которое называется опред
Свойства определителя
Все свойства определителя следуют из определения определителя и свойств конечных сумм, приводятся без общих доказательств с демонстрацией на примере определителей 2-го и 3-го порядков.
Евклидово пространство.
Введенные нами линейные пространства существенно отличаются от множества векторов обычного геометрического тем, что в линейном пространстве не определены понятия длины вектора и угла между ними.
Ортонормированный базис.
Определение.Систему векторов в евклидовом пространстве назовем ортонормированной, если
Матричный метод решения СЛАУ.
Если определитель основной матрицы системы отличен от нуля, то ее решение определяется формулой:
(15.3)
Где
Свойства собственных значений и собственных чисел.
1. Каждый линейный оператор имеет собственное значение.
2. Собственные числа и векторы не всегда вещественные.
3. У симметричной матрицы собственные числа всегда вещественны.
Кривые второго порядка
Цель: Изучить канонические уравнения линий второго порядка, их основные характеристики.
Определение. Окружность – это геометрическое место точек равноудаленных от некоторо
Поверхности второго порядка
Поверхности второго порядка определяются уравнением второй степени. Рассмотрим вращение линий второго порядка вокруг их осей симметрии.
. Поверхность
Новости и инфо для студентов