Матричный метод решения СЛАУ. - раздел Математика, КОНСПЕКТЫ ЛЕКЦИЙ Аналитическая геометрия и алгебра Если Определитель Основной Матрицы Системы Отличен От Нуля, То Ее Решение Опр...
Если определитель основной матрицы системы отличен от нуля, то ее решение определяется формулой:
(15.3)
Где 
- обратная к основной матрице системы, вычисляемая по формуле 
.
Совместность однородной и неоднородной СЛАУ.
Рассмотрим однородную СЛАУ
система всегда имеет хотя бы одно решение, например, тривиальное решение 
.
Когда однородная СЛАУ имеет решения отличные от нулевого?
Заметим, что существует нетривиальное решение ~ линейной зависимости столбцов матрицы однородной СЛАУ (по определению линейной зависимости это означает существует 
что является уравнениями системы), но по теореме о базисном миноре линейная зависимость имеет место тогда и только тогда когда порядок 
базисного минора меньше числа 
её столбцов. Отсюда теорема.
Теорема. Однородная СЛАУ имеет нетривиальное решение тогда и только тогда, когда ранг 
матрицы системы меньше числа 
её столбцов.
Следствие. Квадратная однородная система имеет нетривиальное решение тогда и только тогда, когда определитель матрицы этой системы равен нулю.
Решение СЛАУ размерности 
Рассмотрим однородную СЛАУ:
(15.4)
Данная система всегда имеет хотя бы одно решение, например тривиальное .
Теорема: Однородная СЛАУ имеет нетривиальное решение тогда и только тогда, когда ранг 
основной матрицы системы меньше числа 
её неизвестных.
Следствие: Квадратная однородная СЛАУ имеет нетривиальное решение тогда и только тогда, когда определитель основной матрицы этой системы равен нулю 
.
Если ранг матрицы однородной системы равен , то система имеет 
линейно независимых решений: 
, называемых фундаментальной системой решений.
Решения 
являются линейно независимыми, если ранг матрицы составленной из координатных строк этих векторов равен 
числу этих решений.
Теорема: (о структуре решений однородных СЛАУ). Пусть 
произвольная фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений. Тогда любое решение системы представляет собой линейную комбинацию решений:
(15.5)
Здесь 
общее решение однородной системы, 
- произвольные постоянные, а 
фундаментальная система решений, (частные решения однородной системы), найденная при условии, что свободные неизвестные 
по очереди приравниваются 
, а остальные при этом равны 
. Неизвестные 
называются базисными неизвестными.
Решение неоднородной системы в общем случае определяется следующей теоремой:
Теорема: (о структуре решения неоднородной СЛАУ): Общее решение неоднородной СЛАУ определяется формулой:
(15.6)
где 
- общее решение соответствующей однородной системы, а 
- частное решение неоднородной системы.
Для более простого нахождения частного решения, удобно взять свободные неизвестные равными нулю.
Все темы данного раздела:
И . Системы координат: декартовая, полярная.
Цель: Изучить понятие конечной суммы и ее свойства, понятие определителя и простейшие методы его вычисления. Знать декартовую и полярную системы координат.
В математике часто рассматривают
Вычисление определителя
Определитель (детерминант) матрицы – это число, (обозначаемое , ∆, ) которое
Системы координат
1. Декартова система координат.
Рис.1.1
Возьмем в пространстве произвольную точку
Комплексные числа и действия над ними
Определение.Комплексным числом называется выражение вида
Геометрический смысл комплексного числа
Комплексное число изображается в плоскости точкой
Действия над комплексными числами, заданными в тригонометрической или в показательной форме
1.Умножение:
При умножении двух комплексных чисел заданных в тригонометрической или показательной формах их модули перемножаются, а аргументы складываются:
Понятие многочлена, корни многочленов, кратность корня, основные теоремы алгебры, следствия из теорем.
3.Возведение в степень.
Для возведения комплексного числа в целую положительную степень применяют формулу Муавра:
Свойства умножения вектора на число
1. Для любых действительных чисел и любого вектора верно равенство
Свойства линейной комбинации
1. Если – параллельны, то каждая их линейная комбинация параллельна им.
2. Если
Теорема.
1. Если хотя бы один из векторов , является нулевым, то эти векторы линейно зависимы.
2. Любые два коллинеарных вектора линейно зав
Теорема.
1. Каждый вектор, параллельный какой-либо прямой, может быть разложен по базису на этой прямой.
2. Каждый вектор, параллельный какой-либо плоскости, может быть разложен по базису на этой п
Проекция вектора и ее свойства. Деление отрезка в заданном отношении. Скалярное произведение векторов
Цель: Изучить понятие проекции и ее свойства, методику деления отрезка в данном отношении, скалярное произведение векторов, его свойства, физическое приложение.
Определение.
Свойства проекции
1) Проекция суммы векторов равна сумме проекций составляющих (рис. 5.2).
Свойства скалярного произведения
1) (коммутативность).
Непосредственно следует из коммутативности произведения чисел;
2)
Свойства векторного произведения
1) (антикоммутативность)
Свойство следует из перемены ориентации векторов;
2) Скалярный множитель можно вынести за
Геометрический смысл векторного произведения
Поскольку , то значение длины векторного произведения совпадает с значением площади параллелограмма, построенного на векторах
Смешанное произведение
Определение. Под смешанным произведением векторов подразумевают число обозначаемое
Свойства смешанного произведения
1) , данное свойство позволяет записывать смешанное произведение в виде . Действи
Аналитическая геометрия на плоскости. Алгебраические линии и плоскости. Уравнения прямой на плоскости.
Цель: Изучить понятия алгебраической линии и алгебраической поверхности, виды уравнений прямой на плоскости и их основные характеристики.
Определение. Уравнение
Уравнение прямой через заданную точку и вектор нормали
Определение: Всякий ненулевой вектор ортогональный прямой, с координатами
Неполные уравнения прямой
Если и , то уравнение называется полным, рассмотрим неполные уравне
Уравнение прямой с угловым коэффициентом
Из общего уравнения , выразим Обозначим
Нормированное уравнение прямой
Пусть - единичная нормаль заданной прямой , т.е. . Возьмем на прямой произвольную
Условия параллельности и ортогональности прямых, угол между прямыми, пучок прямых. Уравнения плоскости в пространстве.
Цель: Изучить условия расположения прямых на плоскости, метод вычисления угла между прямыми. Изучить уравнения плоскости в пространстве и основные характеристики.
Расположение прямых на пл
Расстояние от точки до прямой
Выразим расстояние от произвольной точки на плоскости до прямой :
Уравнение плоскости проходящей через точку и вектор нормали
Определение: Всякий ненулевой вектор ортогональный плоскости, с координатами
Неполные уравнения плоскости
– называется полным, если , рассмотрим различные неполные уравнения плоско
Уравнение плоскости через точки и направляющие вектора
Определение: Два произвольных неколлинеарных вектора, лежащих в указанной плоскости или параллельных ей, называются направляющими векторами данной плоскости.
Для того, что
Нормированное уравнение плоскости
Пусть дана – единичная нормаль и расстояние от точки до начала координат
Каноническое уравнение прямой
Ненулевой вектор параллельный заданной прямой будем называть направляющим
Угол между прямыми в пространстве. Условия параллельности и перпендикулярности прямых плоскостей и
Пусть даны две прямые, заданные каноническими уравнениями:
, - направляю
Условие принадлежности двух прямых к одной плоскости
Прямые в пространстве могут быть:
1) Параллельными
2) Пересекающимися
3) Скрещивающимися
Угол между прямой и плоскостью. Условие параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости
Пусть даны плоскость , и прямая (рис 9.5)
Матрицы и действия над ними
Цель: Изучить понятие матрицы, виды матриц, основные понятия, действия над матрицами и их свойства.
Определение: Система действительных или комплексных чисел (или функций)
Свойства умножения матрицы на число
1) дистрибутивность относительно суммы числовых множителей;
2)
Свойства произведения матриц
1) (антикоммутативность);
2)дис
Свойства нулевой и единичной матриц
1) для любой ;
2)
Определители: вычисление и свойства
Цель: Изучить основные понятия темя, методы вычисления определителя, знать и уметь применять его свойства.
Всякую квадратную матрицу можно охарактеризовать числом, которое называется опред
Правила для вычисления определителя 3-го порядка
1. Правило параллельного переноса.
Свойства определителя
Все свойства определителя следуют из определения определителя и свойств конечных сумм, приводятся без общих доказательств с демонстрацией на примере определителей 2-го и 3-го порядков.
Линейные комбинации строк и столбцов. Базисные строки и столбцы. Линейная независимость. Ранг матрицы. Вычисление ранга.
Цель: изучить понятие линейной комбинации и линейной независимости строк и столбцов матрицы, методы вычисления ранга и определения базисного минора.
В теме «матрицы и действия над ними» мы
Ранг матрицы
Определение. В матрице , минор порядка называется базисным миноро
Метод окаймляющих миноров.
Суть метода заключается в последовательном вычислении миноров по возрастанию их порядка.
Пример: Вычислить ранг матрицы
Метод элементарных преобразований матрицы.
Теорема. Элементарные преобразования не меняют ранга матрицы.
Доказательство:
1. При умножении строки на число
Свойства ранга матрицы.
1Ранг произведения двух матриц не превосходит ранга сомножителей:
.
2При умножении прои
Линейные пространства.
Цель: ознакомится с понятие пространства, базиса, размерности, преобразованием координат.
Определение.Множество э
Преобразование координат при преобразовании базиса n-мерного линейного пространства
Пусть и - два произвольных базиса
Евклидово пространство.
Введенные нами линейные пространства существенно отличаются от множества векторов обычного геометрического тем, что в линейном пространстве не определены понятия длины вектора и угла между ними.
Ортонормированный базис.
Определение.Систему векторов в евклидовом пространстве назовем ортонормированной, если
Системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ).
Цель: Изучить основные понятия СЛАУ, методы определения количества решений и нахождения последних.
Систему уравнений вида
Обратная матрица, матричный метод решения системы. Общее решение системы.
Цель: изучить понятие обратной матрицы, ее свойства и метод вычисления. Изучить матричный метод решения СЛАУ.
Определение. Квадратная матрица
Свойства собственных значений и собственных чисел.
1. Каждый линейный оператор имеет собственное значение.
2. Собственные числа и векторы не всегда вещественные.
3. У симметричной матрицы собственные числа всегда вещественны.
Кривые второго порядка
Цель: Изучить канонические уравнения линий второго порядка, их основные характеристики.
Определение. Окружность – это геометрическое место точек равноудаленных от некоторо
Приведение кривой 2-го порядка к каноническому виду.
Рассмотрим общее уравнение кривой 2-го порядка в евклидовом пространстве, с ортонормированным базисом ,
Поверхности второго порядка
Поверхности второго порядка определяются уравнением второй степени. Рассмотрим вращение линий второго порядка вокруг их осей симметрии.
. Поверхность
Приведение кривой 2-го порядка к каноническому виду.
Рассмотрим общее уравнение кривой 2-го порядка в евклидовом пространстве, с ортонормированным базисом ,
Новости и инфо для студентов