Понятие многочлена, корни многочленов, кратность корня, основные теоремы алгебры, следствия из теорем. - раздел Математика, КОНСПЕКТЫ ЛЕКЦИЙ Аналитическая геометрия и алгебра 3.Возведение В Степень.
Для Возведения Комплексного...
3.Возведение в степень.
Для возведения комплексного числа в целую положительную степень 
применяют формулу Муавра:
(3.1)
Данная формула является следствием формулы (2.14).
Пример. Возвести комплексное число в степень:
1) 
.
Решение. 1. Пусть 
, тогда для комплексного числа в числителе и знаменателе найдем модуль и аргумент и перепишем 
в показательной форме, имеем 
, значит 
,а 
, 
, 
, 
, тогда получим
4.Извлечение корня порядка .
Определение. Корнем 
-й степени из комплексного числа 
называется комплексное число 
, такое что 
, где - натуральное число. Обычно используется обозначение 
.
Корень -й степени из комплексного числа имеет различных значений, которые находятся по формуле Муавра-Лапласа:
(3.2)
Или через показательную форму
(3.3)
Где 
.
Точки, соответствующие 
являются вершинами правильного – угольника, вписанного в окружность с центром в начале координат и радиусом 
.
Способ построения для 
(рис.3.1):
1) Из начала координат описываем окружность радиуса .
2) Если 
то из начала координат проводим луч под углом 
к положительному направлению 
. Пересечение луча с окружностью дает точку 
.
3) Вписываем в окружность правильный – угольник, одна из вершин которого найденная точка . Точки пересечения – угольника и окружности есть решения 
.
Рис. 2.2
Пример. Найдем все значения 
.
Решение. Тригонометрической формой числа 1 является: 
.
Значениями являются числа: 
, различными будут лишь корни при следующих значениях 
, 
; 
;
.
Полученные значения являются вершинами правильного треугольника вписанного в окружность радиуса .
Пример. Корни -ой степени из единицы 
есть вершины правильного n-угольника, вписанного в единичный круг.
Определение. Многочленом одной переменной называется функция 
, где 
- действительные или комплексные коэффициенты, а - целое неотрицательное число. Если 
, называют степенью многочлена и обозначают 
, а 
- старшим коэффициентом. Многочлен 
называется нулевым, если все его коэффициенты равны нулю. Коэффициент 
при 
в нулевой степени называют постоянным или свободным членом.
Многочлены степени 
называются соответственно линейными, квадратичными (или квадратными), кубичными и т.д. В дальнейшем рассматриваются только действительные коэффициенты .
Определение. Корнем многочлена 
называется такое 
, при котором 
.
Основная теорема алгебры. Всякий многочлен положительной степени имеет, по крайней мере, один корень действительный или комплексный.
Деление многочленов.Из курса элементарной алгебры известен метод деления уголком для целых чисел, аналогичный алгоритм имеет место и для многочленов.
Пусть даны два многочлена: 
и 
, где 
и, тогда многочленусопоставляется одна и только одна пара многочленов 
, для которых 
, 
, 
называют частным деления, а 
- остатком.
Если 
, тогда говорят, что делится на 
.
Если многочлены имеют действительные коэффициенты, то и 
также имеют действительные коэффициенты.
Пример. Проверить, делится ли многочлен 
на 
.
Решение. Разделим многочлены столбиком, т.е.
_
_
_
:
Итак,многочлен 
делится на и может быть представлен в виде 
.
Теорема Безу. Число 
является корнем многочлена 
тогда и только тогда, когда 
делится на линейный многочлен (
).
Доказательство. В результате деления на () имеем 
. Степень 
, значит 
тогда подставим 
в , получим 
, следовательно 
и 
.
Теорема. При делении на 
, остаток 
, т.е. 
.
Пример. Проверить, делится ли многочлен 
на 
.
Решение. Разделим многочлены столбиком, т.е.
_
_
_
_
;
степень остатка меньше степени делителя, останавливаем деление.
Итак,многочлен не делится на и может быть представлен в виде 
.
Проверить, правильно ли выполнено деление можно, используя предыдущую теорему, согласно которой 
, действительно, 
, значит деление выполнено правильно.
Определение. Число называется 
– кратным корнем многочлена , если делится на 
, но не делится на 
. Корень кратности 
называют простым корнем.
Теорема. Если 
- корни многочлена степени – кратности 
соответственно и 
, тогда 
, где – многочлен степени (
такой, что 
.
Доказательство данной теоремы следует из теоремы Безу.
Правило определения кратности корня
Пусть – корень кратности многочлена степени , тогда
, где 
и 
, где 
, продолжая вычислять производные на – ом шаге получим,
, т.к. 
, следовательно, 
, тогда можно предложить следующее правило для вычисления кратности корня многочлена.
Для того чтобы определить кратность корня 
многочлена , вычисляем значения производных в точке и как только , тогда - кратность корня.
Все темы данного раздела:
И . Системы координат: декартовая, полярная.
Цель: Изучить понятие конечной суммы и ее свойства, понятие определителя и простейшие методы его вычисления. Знать декартовую и полярную системы координат.
В математике часто рассматривают
Вычисление определителя
Определитель (детерминант) матрицы – это число, (обозначаемое , ∆, ) которое
Системы координат
1. Декартова система координат.
Рис.1.1
Возьмем в пространстве произвольную точку
Комплексные числа и действия над ними
Определение.Комплексным числом называется выражение вида
Геометрический смысл комплексного числа
Комплексное число изображается в плоскости точкой
Действия над комплексными числами, заданными в тригонометрической или в показательной форме
1.Умножение:
При умножении двух комплексных чисел заданных в тригонометрической или показательной формах их модули перемножаются, а аргументы складываются:
Свойства умножения вектора на число
1. Для любых действительных чисел и любого вектора верно равенство
Свойства линейной комбинации
1. Если – параллельны, то каждая их линейная комбинация параллельна им.
2. Если
Теорема.
1. Если хотя бы один из векторов , является нулевым, то эти векторы линейно зависимы.
2. Любые два коллинеарных вектора линейно зав
Теорема.
1. Каждый вектор, параллельный какой-либо прямой, может быть разложен по базису на этой прямой.
2. Каждый вектор, параллельный какой-либо плоскости, может быть разложен по базису на этой п
Проекция вектора и ее свойства. Деление отрезка в заданном отношении. Скалярное произведение векторов
Цель: Изучить понятие проекции и ее свойства, методику деления отрезка в данном отношении, скалярное произведение векторов, его свойства, физическое приложение.
Определение.
Свойства проекции
1) Проекция суммы векторов равна сумме проекций составляющих (рис. 5.2).
Свойства скалярного произведения
1) (коммутативность).
Непосредственно следует из коммутативности произведения чисел;
2)
Свойства векторного произведения
1) (антикоммутативность)
Свойство следует из перемены ориентации векторов;
2) Скалярный множитель можно вынести за
Геометрический смысл векторного произведения
Поскольку , то значение длины векторного произведения совпадает с значением площади параллелограмма, построенного на векторах
Смешанное произведение
Определение. Под смешанным произведением векторов подразумевают число обозначаемое
Свойства смешанного произведения
1) , данное свойство позволяет записывать смешанное произведение в виде . Действи
Аналитическая геометрия на плоскости. Алгебраические линии и плоскости. Уравнения прямой на плоскости.
Цель: Изучить понятия алгебраической линии и алгебраической поверхности, виды уравнений прямой на плоскости и их основные характеристики.
Определение. Уравнение
Уравнение прямой через заданную точку и вектор нормали
Определение: Всякий ненулевой вектор ортогональный прямой, с координатами
Неполные уравнения прямой
Если и , то уравнение называется полным, рассмотрим неполные уравне
Уравнение прямой с угловым коэффициентом
Из общего уравнения , выразим Обозначим
Нормированное уравнение прямой
Пусть - единичная нормаль заданной прямой , т.е. . Возьмем на прямой произвольную
Условия параллельности и ортогональности прямых, угол между прямыми, пучок прямых. Уравнения плоскости в пространстве.
Цель: Изучить условия расположения прямых на плоскости, метод вычисления угла между прямыми. Изучить уравнения плоскости в пространстве и основные характеристики.
Расположение прямых на пл
Расстояние от точки до прямой
Выразим расстояние от произвольной точки на плоскости до прямой :
Уравнение плоскости проходящей через точку и вектор нормали
Определение: Всякий ненулевой вектор ортогональный плоскости, с координатами
Неполные уравнения плоскости
– называется полным, если , рассмотрим различные неполные уравнения плоско
Уравнение плоскости через точки и направляющие вектора
Определение: Два произвольных неколлинеарных вектора, лежащих в указанной плоскости или параллельных ей, называются направляющими векторами данной плоскости.
Для того, что
Нормированное уравнение плоскости
Пусть дана – единичная нормаль и расстояние от точки до начала координат
Каноническое уравнение прямой
Ненулевой вектор параллельный заданной прямой будем называть направляющим
Угол между прямыми в пространстве. Условия параллельности и перпендикулярности прямых плоскостей и
Пусть даны две прямые, заданные каноническими уравнениями:
, - направляю
Условие принадлежности двух прямых к одной плоскости
Прямые в пространстве могут быть:
1) Параллельными
2) Пересекающимися
3) Скрещивающимися
Угол между прямой и плоскостью. Условие параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости
Пусть даны плоскость , и прямая (рис 9.5)
Матрицы и действия над ними
Цель: Изучить понятие матрицы, виды матриц, основные понятия, действия над матрицами и их свойства.
Определение: Система действительных или комплексных чисел (или функций)
Свойства умножения матрицы на число
1) дистрибутивность относительно суммы числовых множителей;
2)
Свойства произведения матриц
1) (антикоммутативность);
2)дис
Свойства нулевой и единичной матриц
1) для любой ;
2)
Определители: вычисление и свойства
Цель: Изучить основные понятия темя, методы вычисления определителя, знать и уметь применять его свойства.
Всякую квадратную матрицу можно охарактеризовать числом, которое называется опред
Правила для вычисления определителя 3-го порядка
1. Правило параллельного переноса.
Свойства определителя
Все свойства определителя следуют из определения определителя и свойств конечных сумм, приводятся без общих доказательств с демонстрацией на примере определителей 2-го и 3-го порядков.
Линейные комбинации строк и столбцов. Базисные строки и столбцы. Линейная независимость. Ранг матрицы. Вычисление ранга.
Цель: изучить понятие линейной комбинации и линейной независимости строк и столбцов матрицы, методы вычисления ранга и определения базисного минора.
В теме «матрицы и действия над ними» мы
Ранг матрицы
Определение. В матрице , минор порядка называется базисным миноро
Метод окаймляющих миноров.
Суть метода заключается в последовательном вычислении миноров по возрастанию их порядка.
Пример: Вычислить ранг матрицы
Метод элементарных преобразований матрицы.
Теорема. Элементарные преобразования не меняют ранга матрицы.
Доказательство:
1. При умножении строки на число
Свойства ранга матрицы.
1Ранг произведения двух матриц не превосходит ранга сомножителей:
.
2При умножении прои
Линейные пространства.
Цель: ознакомится с понятие пространства, базиса, размерности, преобразованием координат.
Определение.Множество э
Преобразование координат при преобразовании базиса n-мерного линейного пространства
Пусть и - два произвольных базиса
Евклидово пространство.
Введенные нами линейные пространства существенно отличаются от множества векторов обычного геометрического тем, что в линейном пространстве не определены понятия длины вектора и угла между ними.
Ортонормированный базис.
Определение.Систему векторов в евклидовом пространстве назовем ортонормированной, если
Системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ).
Цель: Изучить основные понятия СЛАУ, методы определения количества решений и нахождения последних.
Систему уравнений вида
Обратная матрица, матричный метод решения системы. Общее решение системы.
Цель: изучить понятие обратной матрицы, ее свойства и метод вычисления. Изучить матричный метод решения СЛАУ.
Определение. Квадратная матрица
Матричный метод решения СЛАУ.
Если определитель основной матрицы системы отличен от нуля, то ее решение определяется формулой:
(15.3)
Где
Свойства собственных значений и собственных чисел.
1. Каждый линейный оператор имеет собственное значение.
2. Собственные числа и векторы не всегда вещественные.
3. У симметричной матрицы собственные числа всегда вещественны.
Кривые второго порядка
Цель: Изучить канонические уравнения линий второго порядка, их основные характеристики.
Определение. Окружность – это геометрическое место точек равноудаленных от некоторо
Приведение кривой 2-го порядка к каноническому виду.
Рассмотрим общее уравнение кривой 2-го порядка в евклидовом пространстве, с ортонормированным базисом ,
Поверхности второго порядка
Поверхности второго порядка определяются уравнением второй степени. Рассмотрим вращение линий второго порядка вокруг их осей симметрии.
. Поверхность
Приведение кривой 2-го порядка к каноническому виду.
Рассмотрим общее уравнение кривой 2-го порядка в евклидовом пространстве, с ортонормированным базисом ,
Новости и инфо для студентов