Теорема 2: Графы и , где множество состоит из элементов вида , не допускают плоской реализации.
Теорема 2: Графы и , где множество состоит из элементов вида , не допускают плоской реализации. - раздел Математика, КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ Доказательство: Отметим, Что В Графе ...
Доказательство: Отметим, что в графе нет циклов длины 3, так как любое ребро ведет из группы вершин в группу . Любой цикл на графе имеет, поэтому, длину большую или равную четырем. Предположим теперь, что допускает плоскую реализацию, тогда для чисел получаем равенства , а из условия следует .
Пусть — число ребер, ограничивающих грань с номером ; имеем и , то есть . Полученное противоречие доказывает первую часть теоремы.
Допустим, что допускает плоскую реализацию. Тогда из теоремы 1 имеем равенства: .
Пусть имеют тот же смысл, что и раньше. Очевидно, и поэтому выполнено неравенство: .
Доказанная теорема допускает обращение. Это значит, что она представляет доказательство необходимости в следующем критерии, позволяющем решить вопрос о том, допускает ли граф плоскую реализацию.
ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ
(2 семестр)
(для студентов специальности «Прикладная математика», «Компьютерные системы и сети»)
У Т В Е Р Ж Д Е Н О
на
Основные комбинаторные формулы.
Существует два общих правила комбинаторики: правило сложения и правило умножения.
Правило умножения:
Пусть составляются всевозможные строки
Размещения.
1) Размещения без повторений.
Определение 2: Пусть имеется различных предметов.
Перестановки.
1) Перестановки без повторений.
Определение 3: Пусть - конечное множество из
Сочетания.
1) Сочетания без повторений.
Определение 3: Сочетания из элементов по
Свойства сочетаний. Бином Ньютона.
Одной из наиболее распространённых комбинаторных формул является формула числа сочетаний. Для упрощения подсчётов и для доказательства некоторых утверждений удобно использовать след
Рекуррентные соотношения.
При решении многих комбинаторных задач применяют метод сведения данной задачи к задаче касающегося меньшего числа элементов. Например, можно вывести формулу для числа перестановок:
Производящие функции.
Метод рекуррентных соотношений позволяет решать многие комбинаторные задачи. Но в ряде случаев рекуррентные соотношения трудно составить, а иногда ещё трудней решить. Часто эти труд
Обоснование алгоритма.
Докажем, что после конечного числа применений правила 3° для каждой дуги графа станет справедливым неравенство
Алгоритм построения Эйлерова цикла.
Обратимся к задаче об эйлеровом цикле, уже рассмотренной нами в предыдущем параграфе. Пусть — связный граф, степени всех вершин которого — ч
Обоснование алгоритма.
Пусть мы находимся в некоторой вершине . В исходном графе степень вершины
Потоки на транспортных сетях.
1. Основная задача теории транспортных сетей.
Определение 1: Транспортная сеть есть совокупность
Обоснование алгоритма.
Прежде всего, заметим, что реализация алгоритма состоит из конечного числа шагов. В самом деле, п. 3° может применяться лишь конечное число раз, так как на каждом шаге величина пот
Цикломатическое число графа. Деревья.
Во многих прикладных задачах существенны свойства графов, связанные с существованием в графе замкнутых цепей (циклов). К рассмотрению этих вопросов мы и приступим. Все графы данного
Оценка хроматического числа плоского графа.
1. Теорема о пяти красках. Теорема утверждает, что любой граф, обладающий плоской реализацией, может быть правильно раскрашен пятью красками. Вспоминая задачу, сформулированную в нача
Графы правильных многогранников.
Теория графов позволяет решать задачи из традиционных разделов математики, например, исследовать некоторые свойства правильных многогранников. При этом, используя элементы теории гр
Автомат Мура.
Определение:Конечным автоматом называется набор из 5 объектов , где:
Морфизмы.
Пусть - конечный автомат. Тогда по любой входной строке длины
Машина Тьюринга.
Понятие конечного автомата возникло из близкого понятия, введенного в 1936 г. логиком Тьюрингом. Тьюринг рассмотрел гипотетическую машину, имеющую конечное множество
Примитивно рекурсивные функции.
Операции над числовыми функции назовем операторами. В этом параграфе мы определим ряд операторов, обладающих тем свойством, что, применяя их к функциям, вычи
Машины Тьюринга.
Важный и широкий класс алгоритмов был описан Тьюрингом и Постом в 1936 - 1937 г. Алгоритмы этого класса осуществляются особыми машинами, называемыми сейчас машинами Тьюри
Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
нет циклов длины 3, так как любое ребро ведет из группы вершин 
в группу 
. Любой цикл на графе 
получаем равенства 
, а из условия 
следует 
.
— число ребер, ограничивающих грань с номером 
; имеем 
и 
, то есть 
. Полученное противоречие доказывает первую часть теоремы.
допускает плоскую реализацию. Тогда из теоремы 1 имеем равенства: 
.
имеют тот же смысл, что и раньше. Очевидно, 
и поэтому выполнено неравенство: 
.
Новости и инфо для студентов