Морфизмы. - раздел Математика, КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ
Пусть ...
Пусть - конечный автомат. Тогда по любой входной строке длины r и по любому начальному состоянию однозначно определяется строка длины r внутренних состояний, которая получается последовательным применением отображения . Точнее: . Аналогично строка на выходе определяется последовательным применением отображения . Поэтому рассмотрим автомат как устройство, перерабатывающее пары, состоящие из состояния и в строки и . С помощью функций и можно определить функции , , которые строятся по функциям и , заданным в описании автомата М.
Пример. Автомат задан диаграммой:
Пусть входная строка и начальное состояние , тогда ,.
Увеличение числа внутренних состояний автомата в реальном устройстве приводит к росту количества электронных схем, к уменьшению надежности, к усложнению отладки и т. д. Поэтому число необходимых состояний автомата, предназначенного для выполнения определенных действий, стремятся уменьшить, не ограничивая его возможностей.
Этим объясняется важность следующей задачи. Предположим, что входной и выходной алфавиты фиксированы. Возникает следующий вопрос. Можно ли заменить автомат автоматом с меньшим числом внутренних состояний , но с той же функцией, переводящей входы в выходы?
Определение 1: Говорят, что автомат покрывает автомат , если входной и выходной алфавиты у них общие и существует функция , такая что для любого положительного числа имеет место условие:
.
Определение 2: Автомат, который нельзя покрыть меньшим автоматом, называется минимальным. Будем писать: , если покрывает .
Теорема 1: Отношение покрытий рефлексивно и транзитивно.
Доказательство очевидно.
Определение 3: Автоматы и называются эквивалентными, если автомат покрывает и автомат покрывает . В этом случае пишут: .
Это означает, что кроме функции со свойством, указанным в предыдущем определении, существует еще функция со следующим свойством: при и .
Следствие: Отношение эквивалентности автоматов рефлексивно, транзитивно и симметрично.
Пусть и – автоматы с общими входными и выходными алфавитами.
ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ
(2 семестр)
(для студентов специальности «Прикладная математика», «Компьютерные системы и сети»)
У Т В Е Р Ж Д Е Н О
на
Основные комбинаторные формулы.
Существует два общих правила комбинаторики: правило сложения и правило умножения.
Правило умножения:
Пусть составляются всевозможные строки
Размещения.
1) Размещения без повторений.
Определение 2: Пусть имеется различных предметов.
Перестановки.
1) Перестановки без повторений.
Определение 3: Пусть - конечное множество из
Сочетания.
1) Сочетания без повторений.
Определение 3: Сочетания из элементов по
Свойства сочетаний. Бином Ньютона.
Одной из наиболее распространённых комбинаторных формул является формула числа сочетаний. Для упрощения подсчётов и для доказательства некоторых утверждений удобно использовать след
Рекуррентные соотношения.
При решении многих комбинаторных задач применяют метод сведения данной задачи к задаче касающегося меньшего числа элементов. Например, можно вывести формулу для числа перестановок:
Производящие функции.
Метод рекуррентных соотношений позволяет решать многие комбинаторные задачи. Но в ряде случаев рекуррентные соотношения трудно составить, а иногда ещё трудней решить. Часто эти труд
Обоснование алгоритма.
Докажем, что после конечного числа применений правила 3° для каждой дуги графа станет справедливым неравенство
Алгоритм построения Эйлерова цикла.
Обратимся к задаче об эйлеровом цикле, уже рассмотренной нами в предыдущем параграфе. Пусть — связный граф, степени всех вершин которого — ч
Обоснование алгоритма.
Пусть мы находимся в некоторой вершине . В исходном графе степень вершины
Потоки на транспортных сетях.
1. Основная задача теории транспортных сетей.
Определение 1: Транспортная сеть есть совокупность
Обоснование алгоритма.
Прежде всего, заметим, что реализация алгоритма состоит из конечного числа шагов. В самом деле, п. 3° может применяться лишь конечное число раз, так как на каждом шаге величина пот
Цикломатическое число графа. Деревья.
Во многих прикладных задачах существенны свойства графов, связанные с существованием в графе замкнутых цепей (циклов). К рассмотрению этих вопросов мы и приступим. Все графы данного
Оценка хроматического числа плоского графа.
1. Теорема о пяти красках. Теорема утверждает, что любой граф, обладающий плоской реализацией, может быть правильно раскрашен пятью красками. Вспоминая задачу, сформулированную в нача
Графы правильных многогранников.
Теория графов позволяет решать задачи из традиционных разделов математики, например, исследовать некоторые свойства правильных многогранников. При этом, используя элементы теории гр
Автомат Мура.
Определение:Конечным автоматом называется набор из 5 объектов , где:
Машина Тьюринга.
Понятие конечного автомата возникло из близкого понятия, введенного в 1936 г. логиком Тьюрингом. Тьюринг рассмотрел гипотетическую машину, имеющую конечное множество
Примитивно рекурсивные функции.
Операции над числовыми функции назовем операторами. В этом параграфе мы определим ряд операторов, обладающих тем свойством, что, применяя их к функциям, вычи
Машины Тьюринга.
Важный и широкий класс алгоритмов был описан Тьюрингом и Постом в 1936 - 1937 г. Алгоритмы этого класса осуществляются особыми машинами, называемыми сейчас машинами Тьюри
Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Новости и инфо для студентов