Реферат Курсовая Конспект
План лекции - раздел Математика, МАТЕМАТИКА 1.производная Функции Одной Переменной. 2.вычисление...
|
1.Производная функции одной переменной.
2.Вычисление производной по ее определению.
3.Правила вычисления производных.
4.Производные элементарных функций.
5.Таблица производных.
6. Производная порядка выше первого.
7. Дифференциал функции.
1. Пусть функция y=f(x) определена на (a; b), выберем , дадим приращение (положительное или отрицательное), новому значению аргумента х=соответствует новое значение функции: . При переходе от точки к точке () функция y=f(x) получает приращение (или ), тогда отношение - это функция от Производная функции y=f(x) в точке - это предел отношения приращения функции к вызвавшему его приращению аргумента , если предел этого отношения существует и : (1);производная обозначается: (читается: «дэ игрек по дэ икс»). Символ пока рассматривается как единый, а не как частное двух выражений. Действие нахождения производной функции – это дифференцирование; функция, имеющая производную в точке ,- функция дифференцируемая в этой точке; функция, дифференцируема в каждой точке промежутка, дифференцируема на всем промежутке. Угловой коэффициент касательной в данной точке к данной прямой иллюстрирует геометрический смысл производной.
2.Чтобы вычислить производную функции в точке надо:
1) придать аргументу некоторое приращение ;
2) найти разность значений функции:
3) составить разностное отношение
4) вычислить предел: (1). Например:
(а) y=C, дадим приращение , =С - С=0,
: (2).
(б) y=x, дадим приращение , =,
, , (3).
(в) y=sinx, дадим приращение , =
=; =cosx, (4).Свойство производной функции: если функция дифференцируема в данной точке (имеет производную), она непрерывна в точке.
3. Пусть у функций U=U(x), V=V(x) существуют производные на своих областях определения: и . [1]. y=UV,тогда разделим все члены равенства на и перейдем к пределу: (5). Формула распространяется на любое число функций. [2]. y=UV, тогда откуда ,разделим все члены равенства на , перейдем к пределу при : ,
Функция V=V(x) по условию имеет производную, она непрерывна: ; (6).
[3]. y=CV, или (7).
[4].где тогда
, . Все члены последнего равенства
разделим на и перейдем к пределу при : ,
, (8).
[5].(сложная функция), функция «y» имеет производную по переменной «u», а «f» –производную по переменной «х». Найдем производную функции «y» по переменной «х». В выражении перейдем к пределу при (т.к. u=f(x), то она непрерывна, т.е. при ):, , (9). Например, производная сложной функции: ; .
[6]. y=f(x) и - взаимно обратные функции. Теорема: Если существует то обратная функция имеет производную и . Доказательство. (1) и - взаимно обратные функции, тогда ; (2) по (9): или 1=, откуда или (10).
4.Вычислим производные основных элементарных функций.
(г). y=cosx. Имеем по правилу дифференцирования сложной функции: ; (11).
(д)y=tgx: , (12).
(е).y=ctgx:(13).
(ж). y=lnx () , (логарифмическая функция с основанием «е»). Приращение функции: =, разделим обе части последнего равенства на :
; перейдем к пределу:
(14).
(з). (логарифмическая функция с основанием «а»).
Если то , откуда или из : или (15).
(и).(действительное число) – степенная функция.
Прологарифмируем : ; lny –сложная функция от «х», тогда , (а); , (16).
(к) Пусть , где U=U(x), логарифмируем обе части равенства: ; дифференцируем обе части: lny – сложная функция от «х», тогда ; , ; если U=x, то (17); в частности (18).
(л).y=arcsinx. Функция y=arcsinx - обратна функции x=siny;
(19).
По этому же алгоритму вычисляются производные других обратных тригонометрических функций.
+5.Таблица производных.
6. Производная первого порядка дифференцируемой функции y=f(x) может тоже быть функцией. Если функция имеет производную, то она называется производной второго порядка :Производная от производной (n-1) – го порядка называется производной n-го порядка: (20).
7. По определению , равенство означает, что выражение неограниченно близко приближается к производной , т.е. разность при становится величиной бесконечно малой. Если , (- бесконечно малая), то ; умножим обе части равенства на (а), где бесконечно малая более высокого порядка чем «»; не зависит от ; - основная часть равенства (а), это - главная часть приращения функции, или дифференциал: (21). - приращение аргумента, геометрический смысл дифференциала показывает, что дифференциал независимой переменной равен её приращению: из (21):(22). Из (21): дифференциал функции равен произведению производной функции на дифференциал независимой переменной. Кроме того, обозначение производной приобретает смысл отношения дифференциала функции к дифференциалу независимой переменной. Например, .
– Конец работы –
Эта тема принадлежит разделу:
Специальность Информатика... СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ... Р А Александрова Математика Учебное пособие Изд во РГУ им И Канта г РГУ...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: План лекции
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Твитнуть |
Новости и инфо для студентов