План лекции

 

1.Производная функции одной переменной.

2.Вычисление производной по ее определению.

3.Правила вычисления производных.

4.Производные элементарных функций.

5.Таблица производных.

6. Производная порядка выше первого.

7. Дифференциал функции.

 

1. Пусть функция y=f(x) определена на (a; b), выберем , дадим приращение (положительное или отрицательное), новому значению аргумента х=соответствует новое значение функции: . При переходе от точки к точке () функция y=f(x) получает приращение (или ), тогда отношение - это функция от Производная функции y=f(x) в точке - это предел отношения приращения функции к вызвавшему его приращению аргумента , если предел этого отношения существует и : (1);производная обозначается: (читается: «дэ игрек по дэ икс»). Символ пока рассматривается как единый, а не как частное двух выражений. Действие нахождения производной функции – это дифференцирование; функция, имеющая производную в точке ,- функция дифференцируемая в этой точке; функция, дифференцируема в каждой точке промежутка, дифференцируема на всем промежутке. Угловой коэффициент касательной в данной точке к данной прямой иллюстрирует геометрический смысл производной.

2.Чтобы вычислить производную функции в точке надо:

1) придать аргументу некоторое приращение ;

2) найти разность значений функции:

3) составить разностное отношение

4) вычислить предел: (1). Например:

(а) y=C, дадим приращение , =С - С=0,

: (2).

(б) y=x, дадим приращение , =,

, , (3).

(в) y=sinx, дадим приращение , =

=; =cosx, (4).Свойство производной функции: если функция дифференцируема в данной точке (имеет производную), она непрерывна в точке.

3. Пусть у функций U=U(x), V=V(x) существуют производные на своих областях определения: и . [1]. y=UV,тогда разделим все члены равенства на и перейдем к пределу: (5). Формула распространяется на любое число функций. [2]. y=UV, тогда откуда ,разделим все члены равенства на , перейдем к пределу при : ,

Функция V=V(x) по условию имеет производную, она непрерывна: ; (6).

[3]. y=CV, или (7).

[4].где тогда

, . Все члены последнего равенства

разделим на и перейдем к пределу при : ,

, (8).

[5].(сложная функция), функция «y» имеет производную по переменной «u», а «f» –производную по переменной «х». Найдем производную функции «y» по переменной «х». В выражении перейдем к пределу при (т.к. u=f(x), то она непрерывна, т.е. при ):, , (9). Например, производная сложной функции: ; .

[6]. y=f(x) и - взаимно обратные функции. Теорема: Если существует то обратная функция имеет производную и . Доказательство. (1) и - взаимно обратные функции, тогда ; (2) по (9): или 1=, откуда или (10).

4.Вычислим производные основных элементарных функций.

(г). y=cosx. Имеем по правилу дифференцирования сложной функции: ; (11).

(д)y=tgx: , (12).

(е).y=ctgx:(13).

(ж). y=lnx () , (логарифмическая функция с основанием «е»). Приращение функции: =, разделим обе части последнего равенства на :

; перейдем к пределу:

(14).

(з). (логарифмическая функция с основанием «а»).

Если то , откуда или из : или (15).

(и).(действительное число) – степенная функция.

Прологарифмируем : ; lny –сложная функция от «х», тогда , (а); , (16).

(к) Пусть , где U=U(x), логарифмируем обе части равенства: ; дифференцируем обе части: lny – сложная функция от «х», тогда ; , ; если U=x, то (17); в частности (18).

(л).y=arcsinx. Функция y=arcsinx - обратна функции x=siny;

(19).

По этому же алгоритму вычисляются производные других обратных тригонометрических функций.

 

 

+5.Таблица производных.

6. Производная первого порядка дифференцируемой функции y=f(x) может тоже быть функцией. Если функция имеет производную, то она называется производной второго порядка :Производная от производной (n-1) – го порядка называется производной n-го порядка: (20).

7. По определению , равенство означает, что выражение неограниченно близко приближается к производной , т.е. разность при становится величиной бесконечно малой. Если , (- бесконечно малая), то ; умножим обе части равенства на (а), где бесконечно малая более высокого порядка чем «»; не зависит от ; - основная часть равенства (а), это - главная часть приращения функции, или дифференциал: (21). - приращение аргумента, геометрический смысл дифференциала показывает, что дифференциал независимой переменной равен её приращению: из (21):(22). Из (21): дифференциал функции равен произведению производной функции на дифференциал независимой переменной. Кроме того, обозначение производной приобретает смысл отношения дифференциала функции к дифференциалу независимой переменной. Например, .