План лекции

1.Понятие дифференциального уравнения.

2.Уравнения с разделяющимися переменными.

3.Однородные дифференциальные уравнения.

4.Понятие дифференциального уравнения порядка выше первого. Уравнение вида .

5. Линейное однородное дифференциальное уравнение «n»- го порядка с постоянными коэффициентами.

6.Линейное однородное дифференциальное уравнение 2 - го порядка с постоянными коэффициентами.

1.В практике встречаются задачи, в которых надо решить уравнение, содержащее производные искомой функции. Например, найти кривую, проходящую через начало координат О(0;0), у которой угловой коэффициент касательной, проведенной в любой точке кривой, равен удвоенной абсциссе этой точки. Если y=f(x) - уравнение искомой кривой, в каждой точке кривой есть касательная с угловым коэффициентом k=2x , , , тогда - дифференциальной уравнение первого порядка; выделяем дифференциал искомой функции и берем интеграл от обеих чсатей: - при различных значениях С – имеем семейство парабол. Дифференциальное уравнение - это уравнение, связывающее независимую переменную, искомую функцию и ее производные. Если независимая переменная одна, то уравнение обыкновенное, если независимых переменных две или больше, то уравнение – это уравнение в частных производных. Наивысший порядок производной, входящей в уравнение, - это порядок дифференциального уравнения. Например, - уравнения 1-го порядка, - уравнение 2-го порядка и т.д. Решением дифференциального уравнения является дифференцируемая функция , которая при подстановке ее в уравнение вместо неизвестной функции, обращает уравнение в тождество. Процесс нахождения решения дифференциального уравнения - это интегрирование дифференциального уравнения. Если через фиксированную точку проходит одна из кривых (решений дифференциального уравнения), то - начальные условия (). Общее решение дифференциального уравнеения 1 го порядка в области D – это функция , обладающая свойствами: [1]. Функция является решением данного уравнения при любых значениях произвольной постоянной С, принадлежащих некоторому множеству. [2]. Для любого начального условия существует единственное значение , при котором решение удовлетворяет заданному начальному условию. Всякое решение , получающееся из общего решения при конкретном значении , - это частное решение. Задача, в которой надо найти частное решение уравнения , удовлетворяющее начальному условию , называется задачей КОШИ . Начальные условия из всего семейства кривых выделяют одну кривую, уравнению которой удовлетворяют координаты точки . Например, в уравнении имеем: - общее решение уравнения, при С=0 имеем частное решение . Если решение содержит всевозможные значения С, то общее решение геометрически представляется семейством кривых. Построенный на плоскости график любого решения дифференциального уравнения – это интегральная кривая уравнения; общему решению соответствует семейство интегральных кривых, зависящих от одного параметра (произвольной постоянной С), а частному решению, удовлетворяющему начальному условию - соответствует одна кривая этого семейства, проходящая через точку .

2.Существует особый вид дифференциальных уравнений, в которых переменные “x” и “y” могут быть «разнесены» по разные стороны знака равенства. Пусть в уравнении ни одна их заданных функций тождественно не равна нулю, оба выражения уравнения разделим на выражение : ; ; оба слагаемых интегрируется каждое по своей переменной: (решение дифференциального уравнения выражено в неявном виде, это - интеграл уравнения). Например, в уравнении (а) имеем: при С=0: при других значениях C:

- это семейство кривых вида: y=2x;…y=8x;..; в уравнении (2) имеем: . По теореме Коши (если функция непрерывна и имеет частную производную в некоторой области D ), решение дифференциального уравнения при начальном условии существует и единственно (через точку проходит единственная интегральная кривая). Особое решение уравнения – это решение, во всех точках которого условие единственности не выполняется (в любой окрестности каждой точки (x;y) особого решения существуют по крайней мере две интегральные кривые, проходящие через эту точку). Особые решения не получаются из общего решения ни при каких значениях произвольной постоянной С.

3. К уравнениям с разделяющимися переменными приводятся однородные дифференциальные уравнения. Функция f(x;y) называется однородной, измерения “m” , если . Например (1); заменим переменные: «х» на переменную “tx”, “y” на переменную “ty”: - однородная функция второго измерения; (2) – тоже однородная функция второго измерения. В соответствии с этим определением, уравнение называется однородным уравнением первого порядка, если функции являются однородными функциями одного и того же измерения. Однородные уравнения приводятся к уравнениям с разделяющимися переменными подстановкой y=ux, y=tx ...,где , поэтому (3). Например, в дифференциальном уравнении (4) надо выделить частное решение при x=0,y=0. Сначала уравнение (4) проверяется на однородность: - обе функции однородные, поэтому данное уравнение однородное. Введем подстановку y=U(x)x , тогда из (3): dy=U(x)dx+xdU(x)(5). Подставим все замены (5) в уравнение (4):. Раскрыв скобки, сократив на и упростив выражения, получаем: Разделим переменные x,U: при подстановке приходим к уравнению: тогда

или - общее решение. Частное решение: если х=0;y=0, то , откуда и - это две прямые, проходящие через начало координат.

4.Дифференциальное уравнение, содержащее производные порядка выше первого, называется дифференциальным уравнением второго, третьего и т.д. порядка: - это дифференциальное уравнение го порядка. Решением этого уравнения является любая дифференцируемая «n» раз функция , решение обращает данное уравнение в тождество: . Задача Коши для таких уравнений состоит в нахождении решения уравнения, удовлетворяющего условиям:

при , где заданные числа - начальные условия. Функция - это общее решение данного дифференциального уравнения го порядка, если при соответствующем выборе произвольных постоянных эта функция является решением любой задачи Коши, поставленной для данного уравнения. Всякое решение, получаемое из общего решения при конкретных значениях произвольных постоянных - это называется частное решение уравнения. Интегрирование дифференциальных уравнений го порядка (в конечном виде) удается провести только в некоторых частных случаях.

Наиболее простой вид уравнения n-го порядка: , - некоторая функция. Решается это уравнения «n» - кратным его интегрированием: ,

и т.д., где . Например, в уравнении : , ; интегрируем это уравнение:

; и ; аналогично, так как то и

; наконец: ;

интегрируем: так как , то

- общее решение (проверка показывает правильность полученного ответа).

5.Линейное дифференциальное уравнение го порядка – это уравнение вида (1), здесь функции и f(x) – заданы и непрерывны в некотором промежутке (a;b). Уравнение (1) - линейное неоднородное уравнение “n” – го порядка, (2) – линейное однородное. Если в уравнении (2) коэффициенты (коэффициенты - числа), то уравнение (3) - линейное однородное дифференциальноеуравнение го порядка с постоянными коэффициентами. Для нахождения его частных решений составляется характеристическое уравнение (4) (оно получается из уравнения (3) заменой в нем производных искомой функции соответствующими степенями «к», сама функция заменяется единицей. Уравнение (4) является уравнением й степени и имеет «n» корней (действительных или комплексных). Общее решение уравнения (3) строится в зависимости от характера корней уравнения:

1). Каждому действительному простому корню «к» в общем решении соответствует слагаемое вида (5);

2). каждому действительному корню «к» кратности «m» в общем решении соответствует слагаемое вида (6);

3). каждой паре комплексных сопряженных корней в общем решении соответствует слагаемое вида (7);

4). каждой паре комплексных сопряженных корней кратности «m» в общем решении соответствует слагаемое вида (8).

6. Уравнение (9) (p,q – числа) – это линейное однородное уравнение 2 - го порядка с постоянными коэффициентами. Частное решение уравнения (9) ищется в виде . Для функции вычислим первую и вторую производные: ; подставим их в уравнение (9): , . всегда, поэтому (10) - это характеристическое уравнение, найдя его корни найдем общее решение уравнения. Если , то общее решение ищется в виде (11), например, для уравнения характеристическое уравнение – это уравнение , его корни ; общее решение - . Если , то одно частное решение имеет вид (12), а второе - (13). (12) – это решение уравнения (9), можно показать, что (13) – тоже решение. Найдем производные функции (13) и подставим их в уравнение : ; ; ()+=0, тогда или - корень уравнения (так как - сумма корней уравнения), то 0=0 и (13) – тоже решение уравнения, общее решение уравнения (9): . Например, в уравнении ; ; ; ; Общее решение: . Если в уравнении (10) D<0, то корни : ; общее решение уравнения - . Например, для уравнения характеристическое - ; D<0; корни , общее решение .