План лекции
1. Уравнение первой степени с тремя переменными.
2. Различные способы задания плоскости.
3. Взаимное расположение двух плоскостей.
4. Расположение плоскости относительно системы координат.
5.Угол между двумя плоскостями.
6.Способы задания прямой в пространстве.
7.Взаимное расположение прямых в пространстве.
8.Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве.
1.Уравнение вида 
(1) определяет в пространстве множество всех точек пространства, удовлетворяющих уравнению (1) (некоторую поверхность). Частный случай поверхности - плоскость. Конкретная плоскость может быть задана различными видами уравнения (1).
2. Каждая плоскость 
в пространстве однозначно определяется точкой 
и вектором 
, перпендикулярным плоскости . Точка 
тогда и только тогда, если 
или 
: 
(2) - уравнение плоскости, заданной точкой 
и перпендикулярным вектором .Уравнение (2)приводится к виду 
(3) – общее уравнение плоскости. Например, плоскость, проходящая через точку М(-1;9;5), перпендикулярно вектору 
из (2)имеет вид: x-y+4z-10=0, проходящая через точку 
параллельно плоскости x+y+z=0, где 
имеет вид x-y+z-1=0. Если плоскость проходит через три точки 
, 
и
,не лежащие на одной прямой, то текущая точка плоскости 
принадлежит плоскости тогда и только тогда, когда три вектора 
компланарны: 
или 
- уравнение плоскости, заданнойтремя точками.Если уравнение плоскости в общем виде записать можно преобразовать к виду 
(4)- уравнение плоскости в отрезках, где числа a,b,c –отрезки, отсекаемые плоскостью от осей координат. Если искомая плоскость проходит через заданную точкупараллельно векторам 
, то произвольная точка плоскости принадлежит плоскости тогда и только тогда, если векторы 
компланарны: 
или 
(5) - уравнение плоскости, заданнойточкой и направляющими векторами .
3. Общий вид уравнения плоскости: Ax+By+Cz+D=0 (1) - уравнение первой степени. Алгебраической поверхностью первого порядка является геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют уравнению (1), где А,В,С не равны нулю одновременно, и обратно: всякая алгебраическая поверхность первого порядка есть плоскость. Плоскость Ax+By+Cz+D=0 параллельна вектору 
, если 
: Am+Bn+Cp=0 (7)–условие параллельности плоскости и вектора 
. Если плоскости 
и 
параллельны, то вектора 
и 
коллинеарны: 
; в координатах: 
, 
, 
, и 
(8)- условие параллельности двух плоскостей; 
(9) - условие совпадения двух плоскостей.
4.Если плоскость (1) проходит через начало координат, то Ax+By+Cz=0. Если 
, то 
и 
, А=0 , поэтому 
. Если плоскость (1) проходит через ОХ, то А=0, D=0, если через OY,то B=0,D=0. Если плоскость (1) совпадает с координатной плоскостью XOY, то A=0, B=0,D=0 –плоскость XOY задается уравнением z=0.
| Оси координат |
Плоскость ( )
параллельна оси
|
Плоскость ()
проходит через ось
| Координатные плоскости | Плоскость () параллельна координатной плоскости
| Плоскость () совпадает с координатной плоскостью
|
| 
| 
| 
| 
| 
|
| 
| 
| 
| 
| 
|
| 
| 
| 
| 
| 
|
5.Угол между плоскостями 
и 
-это любой из двух смежных двугранных углов, образованных плоскостями 
.Угол 
между плоскостями равен углу между нормалями к этим плоскостям: 
: 
(10) . Если 
,то 
и 
,в координатах: 
или (11) - условие параллельности двух плоскостей(см. выше). Если 
,то 
,откуда
(12) - условие перпендикулярности двух плоскостей (см. выше).
6. Если (1)
и (2)- две плоскости и не параллельна 
(
не коллинеарен 
), то система 
(3) определяет некоторую прямую, как линию пересечения двух плоскостей и .Для непараллельных плоскостей и коэффициенты при переменных x,y,z не пропорциональны, тогда г.м.т., координаты которых удовлетворяют системе (3), есть прямая линия l , параллельная вектору 
(4) - направляющий вектор прямой l . Линия пересечения двух плоскостей принадлежит каждой из плоскостей: 
(или 
и 
, для скалярного произведения 
(раскрыв определители, получим тождество 0=0), т.е. - действительно направляющий вектор прямой l.) Для точки 
и направляющего вектора прямой 
:
или 
коллинеарен , 
,в координатах: 
или 
(5)- это параметрическое уравнение прямойв пространстве. С другой стороны, из :
(6) - это каноническое уравнение прямой.Если прямая проходит через точки 
- текущая точка прямой, то векторы 
коллинеарны, 
, в координатах 
, откуда 
(7) – параметрическое уравнение прямой, проходящей через две точки.
7. Угол между двумя прямыми 
, заданными каноническими уравнениями 
; 
(их направляющие векторы
и 
), равен углу между этими векторами: 
(8). Для параллельности прямых необходимо и достаточно, чтобы 
: 
, или 
(9). Для совпадения двух прямых должны быть коллинеарны три вектора: , и 
, где 
Для перпендикулярности прямых необходимо и достаточно, чтобы выполнялось: 
или 
(10).
8. Аналитически же можно выразить условия взаимного расположения прямой и плоскости в пространстве. Если прямая перпендикулярна плоскости, то она параллельна нормали к плоскости: 
. Для 
и 
: 
, в координатах: А=km; B=kn; C=kp или 
(11).