рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Реферат Курсовая Конспект

План лекции

План лекции - раздел Математика, МАТЕМАТИКА 1.понятие Комплексного Числа. 2.комплексное Число В Алгебраической Ф...

1.Понятие комплексного числа.

2.Комплексное число в алгебраической форме.

3.Операции сложения и вычитания.

4.Комплексное число в тригонометрической форме.

5.Операции умножения, деления, возведения в натуральную степень, извлечение корня натуральной степени из комплексного числа в тригонометрической форме.

6. Показательная форма комплексного числа.

 

1.Решение уравнения показывает, что в множестве R уравнение решений не имеет. Возникает задача расширения множества R до такого множества, в котором это уравнение имеет решение. Существование взаимно однозначного соответствия между парами действительных чисел (a,b) и точками плоскости привело к идее введения такого расширения R, чтобы в нем выполнялась операция извлечения корня четной степени из отрицательного числа. Элементами этого нового множества считают пару чисел (a,b), , они изображается точками плоскости с их координатами. Пару таких чисел называют комплексным числом. Начало координат–число (0,0); число, противоположное числу -число

2.В построенном числовом множестве вводятся алгебраические операции. Сумма:(1),произведение: (2), разность: (3).Частное чисел и - это число такое, что выполняется:,.После преобразований: (4). Числа и считаются равными, если (понятий «больше» и «меньше» в построенном множестве не существует). Множество чисел вида (a,b) c операциями сложения, вычитания, умножения и деления называется множеством комплексных чисел К.

(a).Рассмотрим связь множеств R и K. С одной стороны: (5).С другой стороны (6), из (5) и (6): комплексное число (1,0) совпадает с действительным числом «1». (b).Точки вида -это точки оси ОХ : комплексное число -это действительное число «а». (с) Из определений операций:,,т.е. операции с комплексными числами совпадают с операциями с действительными числами.(d). Оказывается, среди чисел К содержится корень уравнения , иначе, существует такое число «, что : , при m=(0,1) имеем и число m=(0,1) – это точка оси OY. (е). Обозначим m=i: , ,(f) - точка оси OY. (g)Обозначив комплексное число (7) (z=x+yi) - комплексное число z в алгебраической форме.

3.Число «i» - это мнимая единица, «yi» - мнимая часть, «х» - действительная часть числа «z». Пусть , тогда сумма и разность вычисляются : . Произведение и частное комплексных чисел проще вычислять в тригонометрической форме комплексных чисел.

Число называется обратным числу z. Свойства: [1]. .[2] .[3]. Если , то либо , либо .[4]. Если , то . Числа - сопряженные, и являются взаимно сопряженными. Действительное число х сопряжено самому себе: , если y= 0, z=х – действительное; число, сопряженное числу , если y=0 , то . Сумма двух сопряженных чисел: .

4.Кроме алгебраической формы, комплексное число можно представить в тригонометрической форме. Каждую точку плоскости M(x;y) можно отождествить с комплексным числом . С другой стороны, точка M(x;y) характеризуется параметрами: (а) ее проекциями на оси OX и OY (числами x и y),(в) расстоянием r=|OM| точки M(x;y)до начала координат О (0;0), (с) углом между вектором и осью ОХ. Число r=|OM|=(9) - это модуль комплексного числа : . Угол - это аргумент числа (=арг z, - любые действительные значения), угол отсчитывается против часовой стрелки, если углы и отличаются друг от друга на , то соответствующие точки совпадают, поэтому аргумент комплексного числа принимает бесконечное множество значений, отличающиеся друг от друга на кратное число . Если два комплексных числа равны, то их модули равны (), а аргументы отличаются на целое число, кратное . Для числа z=0: |z|=0, угол - не определен. Из геометрической интерпретации комплексного числа: , тогда (10). Подставив эти выражения в алгебраическую форму комплексного числа, получим: или (11) - тригонометрическая форма комплексного числа. Введение аргумента и модуля комплексного числа равносильно переходу от прямоугольной декартовой системы координат к полярной системе.

5.С комплексными числами в тригонометрической форме осуществляются операции умножения, деления, возведения в степень с натуральным показателем и извлечения корня любой степени с натуральным показателем.

Произведение чисел и : =(12). Например:

Деление =

(13) Пусть , тогда , , методом математической индукции доказывается: (14) - формула Муавра. Пусть надо извлечь корень натуральной степени n из комплексного числа : . Обозначим - это такое комплексное число, для которого выполняется:

, откуда , с другой стороны . У равных комплексных чисел равны и модули и аргументы, поэтому и ; равные аргументы могут отличаться друг от друга на число, кратное , поэтому .

(15), где - это формула для извлечения корня степени n из комплексного числа. Для к=0,1,2,…n-1 значения угла различны, начиная с к=n эти значения начинают повторяться. Все значения расположены на окружности радиуса с началом в точке О(0;0). Например, для корня из числа запишем формулу: . Вычислим значения для различных значений «к»:

(1). ;

(2) , ;

(3) ; ;

(4) ;;

(5) ; =

 

==

=- корни начинают повторяться .

6.Cуществует показательная форма записи комплексного числа. Считаем по определению (*) , тогда если , то - это комплексное число, записанное в показательной форме. Для проверки правомерности этого осуществим операции умножения, деления, возведения в натуральную степень комплексного числа z в тригонометрической и показательной формах и сравним результаты. Пусть числа заданы в тригонометрической и в показательной формах:

Умножение:(а) и (в). Сравним (а) и (в): левые части равны, следовательно равны и правые части:

= , или = (16), формула (*) действительно задает комплексное число. Для деления двух комплексных чисел в показательной форме имеем формулу (17); для возведения комплексного числа в натуральную степень - (18).

 

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

МАТЕМАТИКА

Специальность Информатика... СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ... Р А Александрова Математика Учебное пособие Изд во РГУ им И Канта г РГУ...

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: План лекции

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Конспект лекции.
1. Множество – основное понятие, оно не определяется, вводится на примерах: множество жителей города - конечное, множество натуральных чисел N={1;2;3;…n…}-бесконечное

Конспект лекции.
1. Вектор – это направленный отрезок, (отрезок, имеющий фиксированные начало и конец): , точка А – начало вектора

Лекция 1.
План лекции. 1.Декартовы и полярные координаты точки на плоскости 2.Уравнение прямой на плоскости. 3.

План лекции
1. Уравнение первой степени с тремя переменными. 2. Различные способы задания плоскости. 3. Взаимное расположение двух плоскостей. 4. Расположение плоскости относительно

План лекции
1.Понятие матрицы. 2.Операции с матрицами (сложение матриц, вычитание, умножение матрицы на число ). 3. Умножение матрицы

План лекции
1.Понятие квадратичной формы. 2.Определение знака квадратичной формы.   1.Квадратичная форма от «n» неизвестных - это сумма, каждый член которой является либо квадра

План лекции
1.Понятие системы «n» линейных уравнений с «n» неизвестными. 2.Решение системы «n» линейных уравнений с «n» неизвестными по правилу Крамера. 3.Решение

План лекции
1.Понятие функции. 2.Числовая последовательность, ее предел. 3.Предел функции одной переменной. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. 4.Основные свойства предело

План лекции
  1.Производная функции одной переменной. 2.Вычисление производной по ее определению. 3.Правила вычисления производных. 4.Производные элементарных функций.

Формула Ньютона-Лейбница.
10.Методы вычисления определенного интеграла. 11.Понятие несобственного интеграла.   1.Для операции дифференцирования существует обратная операция – отыскание функци

План лекции
  1.Понятие функции нескольких переменных (двух, трех). 2.Предел и непрерывность функции двух переменных. 3.Частные производные функции двух переменных. 4.П

План лекции
1.Понятие числового ряда. 2.Сходимость числового ряда. 3.Признаки сходимости рядов. 4.Положительные ряды, их сходимость. 5.Признаки сходимости положительных рядо

План лекции
1.Понятие дифференциального уравнения. 2.Уравнения с разделяющимися переменными. 3.Однородные дифференциальные уравнения. 4.Понятие дифференциального уравнения порядка вы

План лекции
1.Элементы комбинаторики. 2.Случайные события, их классификация. 3.Классическое определение вероятности, свойства вероятности. 4.Операции с событиями. 5.Классифи

План лекции
  1.Понятие случайной величины 2.Дискретная случайная величина и её свойства. 3. Основные числовые характеристики случайной величины (математическое ожидание, диспер

План лекции
1.Закон биномиального распределения дискретной случайной величины. 2.Закон Пуассона. Числовые характеристики биномиального распределения. 3.Интегральная функция распределения.

План лекции
1.Понятие о разделе математики «математическая статистика». 2.Основные понятия математической статистики. 3.Статистическое распределение выборки дискретной случайной величины.

Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Education Insider Sample
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Реклама
Соответствующий теме материал
  • Похожее
  • Популярное
  • Облако тегов
  • Здесь
  • Временно
  • Пусто
Теги