План лекции
1.Понятие комплексного числа.
2.Комплексное число в алгебраической форме.
3.Операции сложения и вычитания.
4.Комплексное число в тригонометрической форме.
5.Операции умножения, деления, возведения в натуральную степень, извлечение корня натуральной степени из комплексного числа в тригонометрической форме.
6. Показательная форма комплексного числа.
1.Решение уравнения 
показывает, что в множестве R уравнение решений не имеет. Возникает задача расширения множества R до такого множества, в котором это уравнение имеет решение. Существование взаимно однозначного соответствия между парами действительных чисел (a,b) и точками плоскости привело к идее введения такого расширения R, чтобы в нем выполнялась операция извлечения корня четной степени из отрицательного числа. Элементами этого нового множества считают пару чисел (a,b), 
, они изображается точками плоскости с их координатами. Пару таких чисел называют комплексным числом. Начало координат–число (0,0); число, противоположное числу 
-число 
2.В построенном числовом множестве вводятся алгебраические операции. Сумма:
(1),произведение: 
(2), разность: 
(3).Частное чисел 
и 
- это число 
такое, что выполняется:
,
.После преобразований: 
(4). Числа и считаются равными, если 
(понятий «больше» и «меньше» в построенном множестве не существует). Множество чисел вида (a,b) c операциями сложения, вычитания, умножения и деления называется множеством комплексных чисел К.
(a).Рассмотрим связь множеств R и K. С одной стороны: 
(5).С другой стороны 
(6), из (5) и (6): комплексное число (1,0) совпадает с действительным числом «1». (b).Точки вида 
-это точки оси ОХ : комплексное число -это действительное число «а». (с) Из определений операций:
,
,т.е. операции с комплексными числами совпадают с операциями с действительными числами.(d). Оказывается, среди чисел К содержится корень уравнения 
, иначе, существует такое число «m», что 
: 
, при m=(0,1) имеем 
и число m=(0,1) – это точка оси OY. (е). Обозначим m=i: 
, 
,(f) 
- точка оси OY. (g)Обозначив комплексное число 
(7) (z=x+yi) - комплексное число z в алгебраической форме.
3.Число «i» - это мнимая единица, «yi» - мнимая часть, «х» - действительная часть числа «z». Пусть 
, тогда сумма и разность вычисляются : 
. Произведение и частное комплексных чисел проще вычислять в тригонометрической форме комплексных чисел.
Число 
называется обратным числу z. Свойства: [1]. 
.[2] 
.[3]. Если 
, то либо 
, либо 
.[4]. Если 
, то . Числа 
- сопряженные, 
и 
являются взаимно сопряженными. Действительное число х сопряжено самому себе: 
, если y= 0, z=х – действительное; 
число, сопряженное числу , если y=0 , то 
. Сумма двух сопряженных чисел: 
.
4.Кроме алгебраической формы, комплексное число можно представить в тригонометрической форме. Каждую точку плоскости M(x;y) можно отождествить с комплексным числом . С другой стороны, точка M(x;y) характеризуется параметрами: (а) ее проекциями на оси OX и OY (числами x и y),(в) расстоянием r=|OM| точки M(x;y)до начала координат О (0;0), (с) углом 
между вектором 
и осью ОХ. Число r=|OM|=
(9) - это модуль комплексного числа : 
. Угол - это аргумент числа (=арг z, - любые действительные значения), угол отсчитывается против часовой стрелки, если углы 
и 
отличаются друг от друга на 
, то соответствующие точки совпадают, поэтому аргумент комплексного числа принимает бесконечное множество значений, отличающиеся друг от друга на кратное число . Если два комплексных числа равны, то их модули равны (
), а аргументы отличаются на целое число, кратное . Для числа z=0: |z|=0, угол - не определен. Из геометрической интерпретации комплексного числа: 
, тогда 
(10). Подставив эти выражения в алгебраическую форму комплексного числа, получим: 
или 
(11) - тригонометрическая форма комплексного числа. Введение аргумента и модуля комплексного числа равносильно переходу от прямоугольной декартовой системы координат к полярной системе.
5.С комплексными числами в тригонометрической форме осуществляются операции умножения, деления, возведения в степень с натуральным показателем и извлечения корня любой степени с натуральным показателем.
Произведение чисел 
и 
: 
=
(12). Например: 
Деление 
=
(13) Пусть , тогда 
, 
, методом математической индукции доказывается: 
(14) - формула Муавра. Пусть надо извлечь корень натуральной степени n из комплексного числа : 
. Обозначим 
- это такое комплексное число, для которого выполняется:
, откуда 
, с другой стороны . У равных комплексных чисел равны и модули и аргументы, поэтому 
и 
; равные аргументы могут отличаться друг от друга на число, кратное , поэтому 
.
(15), где 
- это формула для извлечения корня степени n из комплексного числа. Для к=0,1,2,…n-1 значения угла 
различны, начиная с к=n эти значения начинают повторяться. Все значения 
расположены на окружности радиуса 
с началом в точке О(0;0). Например, для корня 
из числа 
запишем формулу: 
. Вычислим значения для различных значений «к»:
(1)
. 
;
(2) 
, 
;
(3) 
; 
;
(4) 
;
;
(5) 
; 
=
=
=
=- корни начинают повторяться .
6.Cуществует показательная форма записи комплексного числа. Считаем по определению 
(*) , тогда если , то 
- это комплексное число, записанное в показательной форме. Для проверки правомерности этого осуществим операции умножения, деления, возведения в натуральную степень комплексного числа z в тригонометрической и показательной формах и сравним результаты. Пусть числа 
заданы в тригонометрической и в показательной формах:
Умножение:
(а) и 
(в). Сравним (а) и (в): левые части равны, следовательно равны и правые части:
= 
, или 
= 
(16), формула (*) действительно задает комплексное число. Для деления двух комплексных чисел в показательной форме имеем формулу 
(17); для возведения комплексного числа в натуральную степень - 
(18).