План лекции

1.Понятие матрицы.

2.Операции с матрицами (сложение матриц, вычитание, умножение матрицы на число ).

3. Умножение матрицы на матрицу.

4.Транспонированная матрица.

5.Обратная матрица.

6.Ранг матрицы.

1. Матрица – это таблица чисел вида (1), содержащая «m» строк и «n» столбцов, (1)– прямоугольная матрица, её порядок . При m=n матрица – квадратная, порядка «n»:

(2). Числа , где i,k=1,2,…n - элементы матрицы. При n=m=2 имеем квадратную матрицу второго порядка, при n=m=3 - матрицу третьего порядка и т.д. В квадратной матрице порядка «» последовательность - главная диагональ, сами элементы называются диагональными. Нулевая матрица состоит из одних нулей: А=0. В единичной матрице элементы главной диагонали – единицы, остальные - нули. Матрицы А и В равны, если они одного порядка и их соответствующие элементы равны: А=В. Иногда строки (столбцы) матрицы называют словом «ряд». Если m=1, то матрицу () рассматривают как вектор, если n=1, то имеем матрицу столбец. Для квадратной матрицы можно составляется определитель

=, если , то матрица невырожденная.

2. С матрицами проводят операции. Матрицы одного порядка можно складывать. Сумма двух матриц А и В –это новая матрица С того же порядка, ее элементы равны суммам соответствующих элементов матриц А и В: . Свойства:[1]. А+О=А [2]. А+В=В+А; [3]. А+(В+С)=(А+В)+С .

Разность двух матриц А и В одного порядка – это новая матрица С того же порядка, ее элементы равны разностям соответствующих элементов данных мариц. Произведение любой матрицы А и числа «»- это матрица того же порядка, элементы которой равны произведениям числа «» на соответствующие элементы матрицы: .

Свойства:[1].. [2]. . [3].[4].. [5]..[6]..

3.Умножение матрицы на матрицу вводится по определенному правилу, определяемая по этому правилу операция перемножения матриц далее может служить исследованию конкретных соотношений между различными математическими понятиями. Две прямоугольные матрицы . А – порядка mn, В – порядка nl, можно перемножить.

Произведением матриц А и В, у которых число столбцов (n) матрицы А совпадает с числом строк (n) матрицы В, называется новая матрица С, порядка ml:

, где элементы вычисляются по формуле:

(3), где i=1,2,3,…,m – число строк, k=1,2,3,..,l – число столбцов. Из (3): элемент матрицы–произведения, находящийся на пересечении i-ой строки и k-го столбца, является суммой попарных произведений элементов i-ой строки матрицы А на элементы k-го столбца матрицы В. Иначе говоря, число строк матрицы – множимого (первой матрицы) должно быть равно числу столбцов матрицы множителя (второй мтарицы).

Например, для матриц . В результате перемножения двух матриц получаем матрицу, содержащую столько строк, сколько их в матрице–множимом, и столько столбцов, сколько их в матрице–множителе. Свойства:[1]. АВВА . Если - матрицы неперестановочные. Однако две конкретные матрицы случайно могут оказаться перестановочными, например, если , то ,, т.е. AB=BA.

[2]. A(BC)=(AB)C. [3]. Для любой квадратной матрицы А выполняется АЕ=ЕА=А, где Е – единичная матрица.

Замечание. Известно, что произведение двух чисел, ни одно из которых не равно нулю, также не равно нулю. Для матриц аналогичное свойство может и не выполняться: произведение двух ненулевых матриц может быть равно нулю. Например, для матриц , их произведение - нулевая матрица: АВ==

4. В матрице (1) порядка поменяем строки и столбцы местами, получим новую матрицу (4) , матрица содержит n строк и m столбцов. Матрица - транспонированная, ее порядок: . Свойства: [1].Если - определитель матрицы А, - определитель матрицы , то .[2]. Для квадратных матриц порядка n сумма А+В и произведение АВ всегда существуют, это квадратные матрицы порядка «n».[3].Произведение двух квадратных матриц одного порядка является невырожденной матрицей того же порядка тогда и только тогда, когда обе данные матрицы невырождены.

5. В множестве матриц для данной квадратной матрицы, у которой , можно построить обратную матрицу по следующему алгоритму: для матрицы А n-го порядка (2) построим «присоединенную» матрицу: (а) матрица (2) транспонируется в матрицу (4);(в) в матрице элементы заменяются на их алгебраические дополнения ,

(5) – это «присоединенная» матрица. Матрица обратная матрице А, получается из «присоединенной» матрицы делением всех её элементов на определитель матрицы А ():

(6) (следует не забывать, что в i-ой строке матрицы стоят не элементы матрицы А, а алгебраические дополнения к элементам i-го столбца определителя , деленные на определитель ).

Например, для вычисления матрицы , обратной матрице , вычисляем ее определитель и алгебраические дополнения всех элементов матрицы: . Осталось проверить условие: . Вырожденная матрица не имеет обратной матрицы.

6. В каждой матрице А порядка можно вычеркнуть строки и столбцы так, чтобы образовалась квадратная матрица к-го порядка (k<n), определитель этой матрицы – это минор к-го порядка матрицы А. Например, если из матрицы порядка вычеркивать по одному столбцу, то получим четыре квадратных матрицы 3-го порядка. Определители к-го порядка (k<n) матрицы А (порядка n) могут быть нулевые или не равны нулю. Ранг матрицы -это наибольший из порядков не равных нулю определителей, порожденныхданной матрицей: R(A)=. Рангом обладает всякая матрица, за исключением нулевой матрицы. Число определителей, порождаемых матрицей, может быть достаточно большим, что затрудняет их вычисления, но их можно сократить, исходную матрицу преобразовать одним из способов, не изменяющих её ранга. Эти преобразования похожи на преобразования с определителями, но, несмотря на внешнее сходство, они значительно различаются. Элементарными преобразованиями матрицы являются следующие преобразования:[1]. Умножение всех элементов некоторого ряда на число ; [2]. перестановка местами двух соседних рядов матрицы;[3]. присоединение к матрице нового ряда, состоящего из нулей; [4]. исключение ряда матрицы, состоящего из нулей;[5]. прибавление к элементам одного ряда соответствующих элементов другого, параллельного ему ряда, умноженных на число . Применение перечисленных преобразований не изменяет ранга данной матрицы. Если в матрице порядка выделить минор к-го порядка, то минор (к+1)-го порядка, в который входит выделенный минор к-го порядка – это минор, «окаймляющий» минор к-го порядка. Чтобы вычислить ранг матрицы, находят ненулевой минор матрицы, для которого все «окаймляющие» миноры более высокого порядка равны нулю. Правило вычисления ранга матрицы состоит в следующем: 1) При вычислении R(A) надо переходить от миноров меньших порядков к минорам более высоких порядков.2) Если найден , то вычисляем миноры (к+1)-го порядков, окаймляющие .3) Если все окаймляющие миноры (к+1)-го порядка равны нулю, то R(A)=k. Например, для матрицы

вычисления начинаем с миноров второго порядка:

1) . 2) Так как существует минор , то вычисляем миноры третьего порядка, окаймляющие : =-10, поэтому ранг матрицы А не ниже трех. 3) Вычисляем миноры четвертого порядка окаймляющие

=0, =0.

Оба минора, окаймляющие ненулевой минор третьего порядка , равны нулю, это означает, что ранг матрицы равен трем: R(A)=3.