УДК 681.326.3 – 181.48(075.8)
Синютин С.А. Вычислительная математика. Учебное пособие по дисциплине «Вычислительная математика» – Таганрог: Изд-во ТТИ ЮФУ, 2007. – 123 с.
В пособии рассматриваются математические методы и алгоритмы, применяющиеся во многих инженерных приложениях. В работе изучаются основы работы с пакетом MatLab, основные алгоритмы численного интегрирования, дифференцирования, решения обыкновенных и дифференциальных уравнений и систем уравнений.
Работа содержит примеры, иллюстрирующие, как данные концепции используются при инженерном проектировании.
Пособие написано для студентов или профессионалов, склонных к научной или инженерной деятельности и желающих получить представление о современных методах вычислительной математики.
Табл. 3. Ил. 30. Библиогр.: 5 назв.
Рецензент В.Л.Сахаров, канд. техн. наук, заместитель директора ОКБ «Ритм» ЮФУ.
© Таганрогский технологический институт ЮФУ, 2007
© Синютин С. А.,
ВВЕДЕНИЕ. 7
1 Основы системы MATLAB. 8
1.1 Запуск MATLAB. 8
Матрицы в MATLAB. 8
Ввод матриц. 8
1.2 Генерирование матриц. 9
1.3 Загрузка матриц. 9
1.4 М-файлы. 9
1.5 Объединение матриц. 10
1.6 Индексы. 10
1.7 Подматрицы и оператор двоеточия. 11
1.8 Удаление строк и столбцов. 11
1.9 Операции суммирования элементов, транспонирования и диагонализации матрицы. 12
1.10 Функция magic. 13
1.11 Выражения. 13
1.12 Переменные. 13
1.13 Числа. 14
1.14 Операторы. 14
1.15 Операции со скалярами. 15
1.16 Функции. 16
1.17 Выражения. 17
2 Работа в системе MATLAB. 18
2.1 Командное окно. 18
Команда format 18
2.2 Сокращение выходных данных. 18
2.2.1 Длинные командные строки. 19
2.3 Редактор командной строки. 19
2.4 Создание графика. 20
2.5 Окна изображений. 21
2.5.1 Добавление кривых на существующий график. 21
2.5.2 Подграфики. 21
2.6 Мнимые и комплексные данные. 22
2.6.1 Управление осями. 23
2.6.2 Подписи к осям и заголовки. 23
2.6.3 Функции mesh и surface. 24
2.6.4 Визуализация функций двух переменных. 24
2.6.5 Изображения. 24
2.6.6 Печать графики. 25
2.7 Справка и текущая документация. 25
2.7.1 Команда help. 25
2.7.2 Окно справки. 26
2.8 Среда MATLAB. 26
2.8.1 Рабочее пространство. 26
2.8.2 Команда save. 26
2.8.3 Маршрут поиска. 26
2.8.4 Команда path. 27
2.8.5 Операции над дисковыми файлами. 27
2.9 Управление вычислениями. 27
2.9.1 Оператор if 27
2.9.2 Операторы switch и case. 27
2.9.3 Цикл for 28
2.9.4 Цикл while. 28
2.9.5 Оператор break. 28
2.10 Сценарии и функции. 29
2.10.1 Сценарии. 29
2.10.2 Функции. 30
2.10.3 Глобальные переменные. 31
3 Теория погрешностей и машинная арифметика. 32
Задание для самостоятельной работы. 35
Вопросы. 35
4 Решение нелинейных уравнений. 36
4.1 Постановка задачи. 36
4.2 Локализация корней. 36
4.3 Метод бисекции. 39
4.4 Метод Ньютона (метод касательных) 42
4.5 Метод простой итерации (метод последовательных повторений) 44
4.6 Обусловленность задачи нахождения корня. 46
4.7 Интервал неопределенности корня. 46
4.8 Применение метода Ньютона для нахождения кратного корня. 47
4.9 Методика решения алгебраического уравнения. 48
Задание для самостоятельной работы. 49
Вопросы. 50
5 Решение систем линейных алгебраических уравнений. 51
5.1 Нормы векторов и матриц. 51
5.2 Обусловленность задачи. 53
5.3 Метод Гаусса. 54
5.4 LU разложение матрицы. 55
Задание для самостоятельной работы. 57
Вопросы. 57
6 Решение систем линейных алгебраических уравнений прямыми методами. 58
6.1 Метод Гаусса с выбором главного элемента по столбцу. 58
6.2 Метод Холецкого. 60
6.3 Метод прогонки. 61
Задание для самостоятельной работы. 63
Вопросы. 63
7 Решение систем линейных алгебраических уравнений итерационными методами. 64
7.1 Метод Якоби. 64
7.2 Метод Зейделя. 65
7.3 Метод простой итерации. 66
Задание для самостоятельной работы. 67
Вопросы. 67
8 Приближение функций. 68
8.1 Постановка задачи приближения функции по методу наименьших квадратов. 68
8.2 Определение параметров эмпирической зависимости. 70
8.3 Многочлены Бернштейна. 71
Задание для самостоятельной работы. 73
Вопросы. 73
9 Интерполяция функций. 74
9.1 Постановка задачи интерполяции функций. 74
9.2 Оценка погрешности интерполяции. 75
Задание для самостоятельной работы. 77
Вопросы. 77
10 Интерполяция сплайнами. 78
10.1 Глобальная и кусочно-полиномиальная интерполяция. 78
10.2 Интерполяция сплайнами. 81
Задание для самостоятельной работы. 83
Вопросы. 84
11 Численное дифференцирование. 85
11.1 Первая производная. Двухточечные методы. 85
11.2 Вычисление первых производных по трёхточечным схемам. 87
11.3 Вычисление производных второго порядка. 87
11.4 Вычисление производных третьего порядка. 89
Задание для самостоятельной работы. 89
12 Численное интегрирование. 91
Задание для самостоятельной работы. 94
13 Решение задачи Коши одношаговыми методами. 96
13.1 Постановка задачи Коши для дифференциального уравнения первого порядка. 96
13.2 Численное решение задачи Коши методом Эйлера. 96
13.3 Оценка погрешности метода Эйлера. 97
13.4 Модификации метода Эйлера. 99
Решение систем дифференциальных уравнений методом Эйлера. 99
Задание для самостоятельной работы. 100
Вопросы. 100
14 Численное интегрирование систем дифференциальных уравнений. 101
Задание для самостоятельной работы. 104
Варианты заданий. 104
15 Преобразование Фурье. 107
15.1 Аппроксимация функции по Фурье. 107
16 РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ. 112
16.1 Уравнение Лапласа (эллиптическое уравнение) 112
17 РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ (продолжение) 117
17.1 Уравнение теплопроводности (параболическое уравнение) 117
Задание для самостоятельной работы. 120