Теория погрешностей и машинная арифметика.

 

Пусть - точное значение, - приближенное значение некоторой величины.

Абсолютной погрешностью приближенного значения называется величина .

Относительной погрешностью значения (при 0) называется величина .

Так как, значение как правило неизвестно, чаще получают оценки погрешностей вида:

 

.

Величины и называют верхними границами (или просто границами) абсолютной и относительной погрешностей.

 

ПРИМЕР 1. Абсолютная и относительная погрешности приближенного числа e.

 

Число e - трансцендентное число, представляется бесконечной непериодической дробью e = 2.71828. Приближенное значение числа e* = 2.7. Граница абсолютной погрешности | e - e* | < 0.019, относительная погрешность числа.

,

Значащими цифрами числа называют все цифры в его записи, начиная с первой ненулевой слева.

 

ПРИМЕР 2. Значащие цифры числа.

 

Значащие цифры чисел подчеркнуты: 0.03589, 10.4920, 0.00456200.

Значащую цифру числа называют верной, если абсолютная погрешность числа не превосходит единицы разряда, соответствующего этой цифре.

 

ПРИМЕР 3. Верные цифры числа.

Верные цифры числа a = 356.78245 подчеркнуты.

Если , то верных цифр в числе 5: a = 356.78245.

Если , то верных цифр в числе 4: a = 356.78245.

Если , то верных цифр в числе 7: a = 356.78245.

Если , то верных цифр в числе 8: a = 356.78245.

 

Для оценки погрешностей арифметических операций следует использовать следующие утверждения:

абсолютная погрешность алгебраической суммы (суммы или разности) не превосходит суммы абсолютной погрешности слагаемых, т.е.

Если а и b - ненулевые числа одного знака, то справедливы неравенства

,

,

где:

,

 

Для относительных погрешностей произведения и частного приближенных чисел верны оценки:

если и , то

, .

 

ПРИМЕР 4. Погрешности арифметических действий.

 

Пусть числа x и y заданы с абсолютными погрешностями x и y

x: = 2.5378;x: = 0.0001

y: = 2.536;y: = 0.001

Тогда относительные погрешности чисел:

, x = 3.94 x 10^-5

, y = 3.94 x 10^-4

Найдем погрешности суммы и разности чисел:

S1: = x + y; S1 : = x + y;

S1 = 5.0738; S1 = 1.1 x 10^-3; S1 = 2.17 x 10^-4

S2: = x – y;S2 : = x + y;

S2 = 1.8 x 10^-3; S2 = 1.1 x 10^-3; S2 = 0.61

Относительная погрешность разности в 2000 раз больше относительной погрешности суммы!

Возьмем теперь другие значения x и y и вычислим погрешности произведения и частного

x: = 2.5378; x: = 0.0001; y: = 0.006; y: = 0.001

Тогда относительные погрешности чисел:

;

S3 = 0.015227; S4 = 422.966667

S3: = x + y; S4 : = x + y

S3: = |S3| x S3;S4 : = |S4| x S4

S3 = 6.604259 x 10^-6;S4 = 0.183452

Абсолютная погрешность частного в 20000 раз больше абсолютной погрешности произведения!

Пусть - дифференцируемая в области G функция переменных, вычисление которой производится при приближенно заданных значениях аргументов . Тогда для абсолютной погрешности функции справедлива следующая оценка . Здесь [x, x*] v отрезок, соединяющий точки x и x* =( )

Для относительной погрешности функции справедливо следующее приближенное равенство , где .

 

 

ПРИМЕР 5. Погрешность вычисления функции.

 

Погрешность функции многих переменных
Пусть x: = -3.59; y : = 0.467 z : = 563.2. По приведенным начальным условиям считаем, что погрешности равны x: = 0.01; y: = 0.001; z: = 0.1 Значение функции равно f (x, y, z) = 6.64198865 f (x, y, z) = 8.196 x 10 -3 f (x, y, z) = 1.234 x 10 -3

 

Задание для самостоятельной работы.

1. Выполнить округление приближенных чисел и записать результат с учетом верных цифр:

a = - 0.5689176, a = 0.005

b = 1.386222, b = 0.02

2. Высота и радиус основания цилиндра измерены с точностью до 0.5%, какова относительная погрешность при вычислении объема цилиндра?

3. Указать правила оценки абсолютных и относительных погрешностей функций: a ^x и x ^a .

Вопросы

1. Сформулируйте правила округления приближенных чисел: по дополнению и усечением.

2. Сформулируйте определение верной цифры числа. Приведите примеры.

3. Докажите утверждение об оценке абсолютной погрешности суммы и разности двух чисел.

4. На основании формулы вычисления погрешности функции многих переменных сформулируйте правило вычисления абсолютной и относительной погрешностей функции одной переменной.

5. На основании формулы вычисления погрешности функции многих переменных выведите формулу для оценки абсолютной погрешности неявной функции.