Для применения метода простой итерации следует исходное уравнение преобразовать к виду, удобному для итерации . Это преобразование можно выполнить различными способами. Функция называется итерационной функцией. Расчетная формула метода простой итерации имеет вид: .
Теорема о сходимости метода простой итерации. Пусть в некоторой - окрестности корня функция дифференцируема и удовлетворяет неравенству , где - постоянная. Тогда независимо от выбора начального приближения из указанной - окрестности итерационная последовательность не выходит из этой окрестности, метод сходится со скоростью геометрической последовательности и справедлива оценка погрешности:, .
Критерий окончания итерационного процесса. При заданной точности >0 вычисления следует вести до тех пор, пока не окажется выполненным неравенство . Если величина , то можно использовать более простой критерий окончания итераций: .
Ключевой момент в применении метода простой итерации состоит в эквивалентном преобразовании уравнения. Способ, при котором выполнено условие сходимости метода простой итерации, состоит в следующем: исходное уравнение приводится к виду . Предположим дополнительно, что производная знакопостоянна и на отрезке [a,b]. Тогда при выборе итерационного параметра метод сходится и значение
.
ПРИМЕР 5. Приведение уравнения к виду, удобному для итераций (рис. 4.9).
function ex5
% Решить уравнение f(x)=0, где где f(x)= x^2 - 3*x + 3.25 - 5*cos(x) методом простой итерации
% Введём функцию f(x)
f = inline('x.^2 - 3*x +3.25 - 5*cos(x)');
% Нарисуем её график на отрезке [-1,1]
x = linspace(-1,1,100);
% Оси с градуировкой
figure('Name', '[-1,1]');
axes('NextPlot', 'Add');
grid on
plot(x, f(x));
% Приведём уравнение к виду g(x)=x
g = inline('(x.^2 - 5 * cos(x) + 3.25) / 3');
% Начальное приближение
x0 = -0.4;
% Выполним 100 шагов метода
for i = 1:100
x0 = g(x0);
end
% Проверим корень
f(x0)
>>
ans = 5.7730e-007
Рис. 4.9 - Приведение уравнения к виду, удобному для итераций
Под обусловленностью вычислительной задачи понимают чувствительность ее решения к малым погрешностям входных данных. Пусть установлено неравенство , где - относительная погрешность входных данных, а - относительная погрешность решения. Тогда - называется абсолютным числом обусловленности задачи. Если же установлено неравенство между относительными погрешностями данных и решения, то называют относительным числом обусловленности задачи.
Обычно под числом обусловленности понимают относительное число обусловленности. Если , то задачу называют плохо обусловленной.