Методика решения алгебраического уравнения

Мы остановимся здесь подробнее на методике решения алгебраического уравнения, т.е. уравнения вида: , левую часть которого будем обозначать также через ; напомним, что речь идет только о вещественных корнях.

При работе той или иной процедуры часто возникает необходимость вычислить значение при некотором ; организацию вычисления значения удобно проводить по схеме Горнера: строится рекурсия где , , так что .

Далее заметим, что из алгебры известно следующее: существует простая фор-мула, по которой устанавливается интервал (-R,R) такой, что если уравнение имеет какой-либо (напоминаем: вещественный!) корень, то он оказывается внутри этого интервала, а именно:

,

где .

Предположим теперь, что относительно производной многочлена известны интервалы ее знакопостоянства, т.е. такие точки , что на участках функция знак не меняет, а проходя через каждую из точек меняет знак. Нетрудно обосновать в этой ситуации следующие выводы: 1) если внутри интервала (-R,R) точек нет вообще и , то корней (напоминаем: вещественных!) у уравнения нет; если , то корень в интервале есть и его надо уточнить с заданной точностью; 2) если в интервале (-R,R) точки оказались, то надо просчитать в этих точках и в точках ; если среди этих значений нуля нет и все они имеют один и тот же знак, то корней (напоминаем: вещественных!) уравнение не имеет; если же среди этих значений будут числа с разными знаками, то это позволит выделить все участки, на концах которых имеет разные знаки, а внутри которых знак не меняет. К каждому такому участку применима процедура уточнения корня (деление отрезка пополам, методы хорд и касательных).

И еще одно замечание. Если вещественные корни (все) уравнения известны, то по ним полностью восстанавливаются участки знакопостоянства функции : надо просчитать между любыми двумя соседними корнями и по совокупности знаков полученных чисел сделать вывод.

Процедуру выяснения участков знакопостоянства производной можно организовать так. Вычислим производные многочлена : ; заметим, что производная - линейная функция. Поэтому участки ее знакопостоянства вычислимы. Если , то уже возможны формальные действия по описанной выше схеме по уточнению корней исходного уравнения. Если же , то решим по описанной выше схеме уравнение и по его корням установим участки знакопостоянства функции ; затем решим по описанной выше схеме уравнение и по его корням определим участки знакопостоянства функции и так далее, пока не окажется решенным исходное уравнение .

Полученная в процессе решения информация позволяет установить также и кратность каждого корня уравнения ; напомним, что корень уравнения считается имеющим кратность , если , но . В этом случае, как известно из алгебры, имеет место представление , где - многочлен степени .

 

Задание для самостоятельной работы

1. Определить количество корней уравнения и для каждого корня найти отрезки локализации: .

2. Методом деления отрезка пополам найти корень уравнения с точностью 0.3.

3. Сколько нужно сделать итераций для получения точности 0.01?

4. Методом простой итерации найти корни уравнения c точностью 0.1

5. Указание: отрицательный корень найти простым преобразованием уравнения, а положительный корень найти методом простой итерации с оптимальным выбором итерационного параметра.

6. Записать расчетную формулу метода Ньютона и указать критерий окончания итераций для решения уравнения . Вычислить два первых приближения к корню.

7. Указать критерий окончания в методе Ньютона для решения задачи: методом Ньютона найти корень уравнения с кверными значащими цифрами.

8. Записать расчетные формулы для нахождения корней и найти число обусловленности вычисления кратного корня уравнения .

9. Найти радиус интервала неопределенности корня уравнения. Предполагается, что абсолютная погрешность вычисления функции равна .

10. Найти абсолютное и относительное числа обусловленности задачи вычисления функции одной переменной.

Вопросы

1. Сформулируйте постановку задачи приближенного решения нелинейного уравнения и основные этапы ее решения.

2. Докажите оценку погрешности метода бисекций.

3. Запишите расчетную формулу метода Ньютона и дайте геометрическую интерпретацию метода.

4. Что такое итерационная функция?

5. Выведете критерий окончания итераций для метода простой итерации из оценки погрешности.

6. Можно ли найти кратный корень с помощью метода бисекции?

7. Сформулируйте определения абсолютного и относительного чисел обусловленности задачи.

8. Какая задача называется плохо обусловленной.

9. Что такое интервал неопределенности корня.

10. Выведите оценку радиуса интервала неопределенности корня для случая кратного корня.

11. Каков алгоритм поиска кратного корня методом Ньютона.

5 Решение систем линейных алгебраических уравнений