Нормы векторов и матриц

Обозначим через - точное решение системы, а через - приближенное решение системы. Для количественной характеристики вектора погрешности введем понятие нормы.

Нормой вектора называется число , удовлетворяющее трем аксиомам:

1) причем = 0 тогда и только тогда, когда = 0;

2) для любого вектора и любого числа ;

3) для любых векторов и .

Наиболее употребительными являются следующие три нормы:

, , .

Абсолютная и относительная погрешности вектора вводятся с помощью формул:

и .

Нормой матрицы называется величина . Введенная норма обладает свойствами, аналогичными свойствам нормы вектора:

1) причем = 0 тогда и только тогда, когда A = 0;

2) для любой матрицы A и любого числа ;

3) для любых матриц A и B;

4) .

Каждой из векторных норм соответствует своя подчиненная норма матрицы:

, , .

В оценках вместо нормы используется евклидова норма матрицы

, так как .

Абсолютная и относительная погрешности матрицы вводятся аналогично погрешностям вектора с помощью формул:

, .

ПРИМЕР 1. Вычисление норм вектора и матрицы.

 

Даны вектор b = и матрица A =

 

Вычислить нормы вектора и матрицы.

Вычислим нормы вектора: , , .

Соответствующие нормы матрицы:

, , .

 

ПРИМЕР 2. Вычисление норм матрицы.

% Найти различные нормы вектора и матрицы

% Введём вектор

b = [0 3 -4];

% Введём матрицу

A = [-1 0 3;2 5 4; 7 10 -10];

% Вычислим 1-норму вектора b

norm(b, 1)

% Вычислим 2-норму (евклидову) вектора b

norm(b)

% Вычислим inf-норму вектора b

norm(b, inf)

% Вычислим 1-норму матрицы A

norm(A, 1)

% Вычислим 2-норму (евклидову) матрицы A

norm(A)

% Вычислим inf-норму матрицы A

norm(A, inf)

>>

ans = 7

ans = 5

ans = 4

ans = 17

ans = 16.0293

ans = 27

 

Пусть рассматривается система линейных алгебраических уравнений

В матричной форме записи она имеет вид . Будем предполагать, что матрица системы задана и является невырожденной. Известно, что в этом случае решение системы существует, единственно и устойчиво по входным данным.