Обозначим через - точное решение системы, а через - приближенное решение системы. Для количественной характеристики вектора погрешности введем понятие нормы.
Нормой вектора называется число , удовлетворяющее трем аксиомам:
1) причем = 0 тогда и только тогда, когда = 0;
2) для любого вектора и любого числа ;
3) для любых векторов и .
Наиболее употребительными являются следующие три нормы:
, , .
Абсолютная и относительная погрешности вектора вводятся с помощью формул:
и .
Нормой матрицы называется величина . Введенная норма обладает свойствами, аналогичными свойствам нормы вектора:
1) причем = 0 тогда и только тогда, когда A = 0;
2) для любой матрицы A и любого числа ;
3) для любых матриц A и B;
4) .
Каждой из векторных норм соответствует своя подчиненная норма матрицы:
, , .
В оценках вместо нормы используется евклидова норма матрицы
, так как .
Абсолютная и относительная погрешности матрицы вводятся аналогично погрешностям вектора с помощью формул:
, .
ПРИМЕР 1. Вычисление норм вектора и матрицы.
Даны вектор b = и матрица A =
Вычислить нормы вектора и матрицы.
Вычислим нормы вектора: , , .
Соответствующие нормы матрицы:
, , .
ПРИМЕР 2. Вычисление норм матрицы.
% Найти различные нормы вектора и матрицы
% Введём вектор
b = [0 3 -4];
% Введём матрицу
A = [-1 0 3;2 5 4; 7 10 -10];
% Вычислим 1-норму вектора b
norm(b, 1)
% Вычислим 2-норму (евклидову) вектора b
norm(b)
% Вычислим inf-норму вектора b
norm(b, inf)
% Вычислим 1-норму матрицы A
norm(A, 1)
% Вычислим 2-норму (евклидову) матрицы A
norm(A)
% Вычислим inf-норму матрицы A
norm(A, inf)
>>
ans = 7
ans = 5
ans = 4
ans = 17
ans = 16.0293
ans = 27
Пусть рассматривается система линейных алгебраических уравнений
В матричной форме записи она имеет вид . Будем предполагать, что матрица системы задана и является невырожденной. Известно, что в этом случае решение системы существует, единственно и устойчиво по входным данным.